Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Наоборот, уравнение (7.3) для отыскания распределения температуры Т в случае заданного притока тепла становится определенным только после того, как распределение скорости и (лл, 8)найдено иэ решения механической задачи. з 7. Примеры идеальных и вязких сред. Теплопрозодяость 253 Следовательно, при наличии движения среды решение тепловой задачи зависит от решения механической аадачи. б) Модель идеального газа, т.е.
идеальной сжимаемой жидкости Модель идеального газа Определим идеальный газ, во-первых, как такую среду, в которой тензор напряжений шаровой: р'~ -- рао ° во-вторых, как двухпараметрическую среду, в которой внутренняя знергия зависит только от двух параметров, например риз: У = У (р, з), и, в-третьих, как среду, в которой в случае непрерывных движений все механические процессы обратимы х) и, следовательно, Эти три предположения при условии, что У (р, з) задано. полностью фиксируют модель идеального газа или идеальной сжимаемой жидкости как в термодинамнческом, так и в механическом смысле, Действительно, если массовые силы Х' и внешний приток тепла озу") заданы, то два уравнения (6.2), нааываемые уравнениями состояния, второй закон термодинамики Тсз -- Нд'ю или уравнение притока тепла ау -- рн + дак~, 1 уравнение неразрывности — + р~)ьу о.— О др ш и три уравнения Эйлера до аз — -- Р; — — —. Р дхз представляют собой замкнутую систему для определения семи неизвестных скалярных функций: р, ип р, г и Т.
') Иногда з идеальном газе рассматривают необратимые фиаико-химические процессы, например химические реакции. Прн атом Ыд', сзязаниое с необратимостью таких процессов, может отличаться от нуля. 25$ Гл. у. Основные понятия и уравнения термодинамики (~дТ ) (7.4) позволяет вычислить внешний приток тепла, необходимый для поддержания изотермического процесса. Примером модели идеальной сжимаемой Совершенный гас жидкости может служить модель идеального совершенного газа, которую задают обычно двумя функциями: (7 = с Т+ сопвФ, р = ретТ (с„= сопэь, В = сопзс). Уравнения состояния (6.2) справедливы при любых процессах. Вместо функции Г7 (р, г) можно задавать любой из потенциалов Р (р, Т), 3 (р, г), 1г" (р, Т).
Если в каждом элементе тела процесс обПол"ад системс грасия- ратимый и адиабатический, то Ид' = О иий движения идеального случае сдяс5 стячс и Ы 7 О р поэтому сявх процессов ( (сь1 сьс сьс) т. е. для каждой индивидуальной частицы энтропия сохраняется. Значение энтропии в частицах, подобно плотности в неоднородной несжимаемой жидкости, должно быть задано или определено из дополнительных условий, вытекающих из постановки конкретных задач.
Если при адиабатическом процессе энтропия г у всех частиц одинакова, г = сопз1, то из уравнений состояния (6,2) следует, что давление р и температура Т зависят только от р, т. е. процесс является баротропным, и система механических уравнений оказывается аамкнутой, когда функция (7(р, г) известна. Полная системс уравпс- Если независимыми термодинамически яий движения идеального ми переменными будут р и Т, то для олгаза о случае исотсрпвчс- ределения модели сплошной среды выгодских процессов но задавать свободную энергию Х'(р,Т) --= =- (7 — Тг. Уравнения состояния в этом случае будут иметь вид (6.5). Они также справедливы для любых процессов, но их вид особенно удобен при изучении изотермических процессов.
Действительно, в эхом случае при заданной функции Т (з1, $с, 5с) или при Т = сопгФ иа (6.5) сразу получается, что для каждой частицы р есть известная функция р, причем р является функцией только от р (ине зависит от $'), когда ягад Т=О. Система механических уравнений в атом случае замкнута, если известна функция е" (р, Т).
При этом энтропия определяется из первого уравнения (6.5), а уравнение притока тепла, которое моясно написать в виде $7. Примеры идеальных в вязких сред. Теплопрозслвссть 255 Очевидно, эту же модель можно полностью определить заданием только одной функции У (р, з): / р У =- с.Т„~ ~ '1 е ' —,' сопзз Ро/ (7Х) (сь„у = сп/сп, зю 7п, рп — константы). в)Модель вязкой жидкости Р Ре + т (паз) (7.5) где тп — вязкие напряжения, а 2е,п = д„иа + рап„. Если аависимость тэ от е„з линейная и жидкость изотропная, то тп =- Ь.р; йчп+ 2реп.
(7.6) Таким образом, для изотропной линейной вязкой жидкости р" =- — рес + Хь о й1ч е + 2РИ"ь~ве„з, (7.7) Вместо коэффициента Х можно ввести второй коэффициент вяакости ь: ~+ 3 р' (7.8) Коэффициенты ~, Х и р для различных сред различны и могут быть функциями температуры, либо постоянными для данной среды фиаическими коэффициентами. В некоторых приложениях требуется рассматривать также среды, для которых величины Х и р являются некоторыми функциями скалярных инвариантов тензора еп, температуры Т и других переменных термодинамических характеристик.
В дальнейшем для простоты будем рассматривать практически очень важный пример вязкой среды, для которой коэффициенты ь, р — заданные постоянные. Для определения модели вязкой жидкости следует еще задать внутреннюю энергию как функцию, например, р и ьч У= У(р, а), а также дать сведения о величине Й~', так как движение вязкой Определение модели влз- Вязкой жидкостью (см. гл. 1Ч) называиой жидкости ется среда, в которой компоненты тенаора напряжений и компоненты тензора скоростей деформаций связаны соотнов~ениями вида 256 Гл. М.
Освсввые понятия и ураввсввл термодввамвкв ~7.1! ) Вследствие уравнения неразрывности: бр йч е ==- —— Р Гн будем иметь и сйи Р Р Давквюю темпеуатУРа Из (7.10) и (7 12) получим в вязкой жидкости т 'ео И= — р ! — + о )г+ТЬ вЂ” 0!. Р Р (7.12) (7.13) Примем по определению, что для вяакой сжимаемой жидкости (в|экого газа), так же как для идеальной сжимаемой жидкости (идеального гава), давление р и температура Т для любых процессов определяются из соотношения ') с!ь! =- — рс! — + Т Йх, (7.14) р ') Это сувгсствсввсв допущение, называемое формулой Гиббса, позволяет немедленно установить формулу для некомпенсированного телла Ыд'.
жидкости является, вообще говоря, необратимым процессом (дд + О). Уравнения движения линейной вязкой жидкости с постоянными коэффициентами вязкости — уравнения Навье — Стокса имеют, как известно, вид Ыс 1 — = Х' — — ягабр+ ( — -- — ) дгаб йчи+ т Ли (7,9) ш где т = р/р — кинематический коэффициент вяакости. Уравнение притока тепла с учетом второго закона термодинамики можно написать в следующем виде: ~ГА0! Лу = „- + Т,(з а7Ч, (7.10) Работа внутренних сил в Подсчитаем элементарную работу внут- вязкой жидкости ренних напряжений, отнесенную к единице массы вязкой жидкости.
подставим ри из (7.5) в общее выражение для работы внутренних поверхностных сил, получим Рп,о — — — е.; с!! .—.. — о1ге" й -- — г й .-- !' ~ Р Р т еи =- — д1т и с)! — — й. Р Гл. Ч. Основные понятия и уравнения термодинамики деформаций, определяемые следующими формулами: 1т = о' е., 1т =- е"екь Легко проверить, что в главных осях тензора скоростей деформаций выражение Г' 12 з может быть представлено в виде суммы квадратов, а именно: 1о Отсюда непосредственно вытекает, что для произвольных движений в произвольной системе координат 1з — — ~ О.
Так Я 2 как формула (7.1б) применима для произвольных движений и по условию Ь и д не зависят от еп, то из второго закона термодинамики (Нд" ) О) следует, что ~ ) 0 и и ) О. В самом деле, если жидкость двигается так, что объем каждой частицы не меняется, то 1,=0 и Гд = йр1,— >О. РЛ Р Но 1, ) 0 всегда, и поэтому р ) О. Для всестороннего сягатня или расширения частицы, т. е. когда е„= ед;1, 1т 1,— — '=О, з и, следовательно, ь ) О. ! Рассмотрим теперь еще вопрос о способах передачи тепла к объему сплошной среды.
Тепло к среде может поступать с поКектор потока тепла мощью рааличных механизмов: за счет теплопроводности, излучения, электрического тока, химических реакций и т. д. Рассмотрим процесс теплопроводности, т. е. процесс передачи тепла за счет неравномерности распределения температуры в теле.
В атом случае тепло к любому выделенному в среде объему Лт поступает только через поверхность Е етого объема. Таким образом. имеем т 7. Примеры идеальных и вяаких сред. Топлопроаодиость 259 где >~ — некоторая функция точек поверхности Х, ограничивающей объем Лт. Из уравнения притока тепла следует, что прн стягивании Х в точку величина Н(.>1'> пмеетпорядок Лт>)1, т. е. л>фс> = Ыд">рот, где с)др> — малая порядка с>д Отсюда следует '), что поверхностный интеграл ~ () с(а должен сводиться к объемному, т.
е. для величины О на Х должна иметь место следующая формула: (3 = — (дЪ~ + д'л~ + услал где дй — ковариантные компоненты единичного вектора внешней нормали к Х. Так кан Π— сналяр, то конечные величины д' (х', ха, х", 1) можно рассматривать как контравариантные компоненты вектора >у, опреде- 9 ленного во всех точках среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
