Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 46
Текст из файла (страница 46)
цикла Карно имеем Ч(01 Ва)=— -4 9л Ь Введем вместо Ч (Оа, Оа) функцию 1(О„О,) = 1 — Ч (В„В,), т. е. 7 (0„0,) — — — '=' . Ж Получим для 7 (О„, Оа) функциональное уравнение. Для атого рассмотрим три тела большой теплоемкости с температурами О„Ва, Оа и три обратимых цикла Карно, в которых зги тела служат нагревателями или холодильниками.
Очевидно, у(в„, О,) == ь = % ъ =-у(в,, О,И(о„в,), (5,6) где, например, У (Ва, О,) = 1 — Ч (О„О,) для цикла Карно, в котором тело с температурой Ва служит нагревателем, а тело с температурой Оа — холодильником, и т. д. Заметим, что порядок указания аргументов функции существенен, напервом месте всегда стоит температура нагревателя, а на втором — температура холодильника рассматриваемого цикла Карно.
В случае О, = Оа уравнение (5.6) сводится к условию 1 =7(ва, Ва) 7(вы Оа), т. е. при перестановке аргументов функция 7 превращается в 1//. Используя это свойство функции 7, из уравнения (5.6) получим (5.7) — '=7(В О) =— Ъ ' )(Ои О) Из уравнения (5.7) следует, что отношение ~',Щ, не зависит от В„а зависит только от значений температур Вт и Ва Решение функционального уравнения (5.7) имеет вид в (02) 232 Гл. 7. Основные понятия и уравнения термодинамики Следовательно, так как Оа можно считать постоянной для всевозможных О, и О„будем иметь ю~) Ое ' ю(бг) ' Нааовем значение функции о) (О) абсолютной температурой ') Т и тогда будем иметь <?т Т.
О Т т. е. отношение тепла ),)ю отданного термодинамической системой при обратимом цикле Карно холодильнику, к теплу Цд, полученному системой от нагревателя, равняется отношению абсолютных температур холодильника и нагревателя. Этим самым устанавливается свяаь между понятием температуры, как характеристики изотерм, и энергиями, полученньпан и отдаваемыми в соответствующем цикле Карно. Соотношение (5.8) для обратимого процесса напишем в виде — — —: — О.
Ое Ое Т Т Количественная формулировка второго закона термодинамики применительно н обратимому циклу Карно Дальше, в соответствии с общими определениями, условимся считать количество тепла е,), = е,е), полученное системой, по (е) ложительным, а количество тепла †),)а = )')е , отданное системой, отрицательным; в этом случае предыдущее равенство примет вид О)е) )-))е) — + — =- О. 1 2 т, т, (5.9) е) Легко проверить непосредственным вычислением, что если в качестве рабочего тела в цикле Карно используется совершенный газ с уравнением состояния р = еерТ (Т вЂ” температура по Кельвину), то 4)е)Ог = 'тить следовательно, вводимая адесь абсолютная температура пропорциональна температуре по Кельвину.
Это универсальное утверждение вытекает из второго закона термодинамики и может служить количественной формулировкой второго закона термодинамики для любого обратимого цикла Карно, в котором рабочим телом может быть произвольная двухпараметрическая среда. Количественная формули- Рассмотрим некоторый обратимый цикл ровна второго закона тер- Х, нзображающийся в пространстве сомодинамикг применительно стояний р, 1/р ломаной кривой, совпапронзвольне)му ооРа™ дающей с внешней границей суммы обратимых циклов Карно (рис.
34). Так как равенство (5.9) будет верно для каждого отдельно взятого з 5. Второе начало термодинамики и понятие энтропии 23з цикла Карно, то, сложив эти равенства для всех циклов Карно, получим члены ЩТо соответствующие внутренним по отношению к У путям, при суммировании, очевидно, выпадут, так как каждый из этих путей, например АВ, будет проходнться » дважды в разных направлениях, причем один раз тело с температурой Тз будет служить холодильником, а второй раз— нагревателем. Поэтому окончательно получим ~~', + =- О, (5.10) 1/р Рлс.
Зоь Процесс 2', сововде.ощзй где суммирование проводится ' вво'"пей "ропоцеи су"и" """'"" Карпо. только по потокам тепла >",>с, поступающим вдоль ломаной кривой, ограничивающей суммарный цикл .т. Пусть теперь М вЂ” произвольный обратимый цикл. совершаемый двухпараметрической термодинамической систе- мой. Для осуществления такого ,» цикла нам понадобится большое л' .в' число тепловых резервуаров с бес- 4 хс конечно мало отличающимися температурами.
Система последовательно приводится в соприкосно й> .>> вение с теми резервуарами, тем пература которых совпадает с >>' температурой системы на данном элементе пиала, и в то же время у~~ подвергается бесконечно медлен- ному сжатию или расширению. Рис. 35. Произвольный обре„„„- ци„'л ' ' Пусть на бесконечно малом участке АА' замкнутой кривой Я (рис. 35) система получает элементарное количество тепла Щ'>. Проведем через точку А иэотермуАС, а через точку А" адиабату А" С и обозначим через Ь>>„з то тепло, которое система получила бы, если бы прошла бесконечно малый изотермический процесс АС, Соотношение между > АЛ' =Л>зи> и ЛЧ„„с, можно получить иэ рассмотрения малого 234 Гл.
У. Основные понятия и уравнения термодинамики цикла АА'СА. Применим к нему закон сохранения энергии Л~ы) — Л~яе„= ЛА (отрезок иаотермы АС в цикле АА'СА проходится в направлении СА, поэтому в законе сохранения энергии для цикла АА'СА стоит ( — Лф,,„т)). Количества тепла Лфо и Л©„„для бесконечно малых элементов цикла бесконечно малые первого порядка, а работа ЛА, совершаемая в малом цикле, представляется площадью АА'СА н является поэтому бесконечно малой второго порядка, т. е. бесконо малой по сравнению с Лфы и Лф,е„.
Продолжим адиабату А'С до пересечения ее с Т во второй точке В" и проведем адиабату через точку А. Тогда с той же степенью приближения тепло Л~", полученное системой в части ВВ' процесса .У, равно тому теплу, которое отвечает отрезку изотермы В'Л. Мы видим, что два элемента теплоты Лф"> на участках процесса АА' и ВВ' с точностью до малых второго порядка равняются количествам тепла ЛД„„„которые система получила бы от нагревателя и холодильника, если бы она была рабочим телом машины Карно, совершающей обратимый цикл Карно А СВ'ВА. Если мы разделим всю пло1цадь, лежащую внутри кривой ,У, на полоски с помощью системы адиабат (рис.
35) и проведем соответствующие изотермы, то получим процесс М", который в пространстве состояний будет иаображаться ломаной линией, состоящей из отрезков адиабат и изотерм. К этому процессу можно применить равенство (5.10): Ое ласт Х (5А1) где суммируются потоки тепла Лф„,,„„поступающие вдоль границы .У'. Если число проведенных адиабат стремится к бесконечности, а отрезки цикла У, через концы которых проводятся адиабаты,— к нулю, то,с' — М, а Л()кзот + Л0 и так как разница Лф'> — Лфы„, есть малая второго порядка (площадь бесконечно малого криволинейного треугольника), то иэ (5.11) в пределе получим соотношение (5 А 2) которое точно выполняется для любого обратимого цикла, совершаемого двухпараметрической средой.
1 Б. Второе вачало термодинамики и покатав ватропии 2зэ Из равенства с В(В) =- В)Р— ) — ' ~ т + о (А), А (5ЛЗ) называемую энтропией. Согласно (5.13) энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной Б (А). Из (5.13) получим, что для приращения энтропии при любом изменении координат точки В верна формула с)В = лЕм) Таким образом, хотя элементарный приток тепла, выражающийся через параметры состояния и их дифференциалы, не является, вообще, полным дифференциалом, для него имеется интегрирующий множитель 1)Т (р, 1/р) — величина, обратная абсолютной температуре. ВоспользовавшиСь уравнением притока тепла, получим для дифференциала энтропии выражение й') о) иу + лАи) Т Т (5Л4') или, в расчете на единицу массы, 1 и () лгг+гл— ))8 = Т (5.14) которое можно использовать для вычисления энтропии двух- параметрической среды, если внутренняя энергия У среды известна как функция параметров состояния. ))~ и) по любому обратимому циклу С следует, что ~ т для л в<и) любого обратимого процесса 2 между состояниями А и В не зависит от пути интегрирования 2.
Введение энтропии с пе- Фиксируя точку начального состояния мощью обратимых процес- системы А для любого состояния В сев для двухпвраметриче- двухпараметрической среды, в которое свих сред можно перейти из состояния А обратимыми путями, моя<но ввести функцию параметров состояния— координат точки В: 236 Гл. т. Основные понятия и ураввевия термодинамики совершен- Например, для совершенного газа с постоянными теплоемкостями (р = рЛТ, У = сгТ) будемиметь т с, дТ 1 в "==",' +,' = ~' Р 1 Энтропия для ного газа пчи Т г =- с,!и Т + сопзВ =-. с )и — — + сопг~,.=- Р т !п ~ + сопз)е =.— сг)п Є— с„!п Р', +ге, (5.15) Р' Рт Ро где вс, Ре, ге — соотвеествУюЩие постовннтае. головин, налагаемые фак- Равенство (5.14) накладывает ограиичетом существования ситро- иия иа функции У (р, р) и Т (р, р), т. е.
вии ва вии уравнения со- основные термодинамические функции стояния состояния среды. Так как стг должно быть полным дифференциалом, то условие иитегрируемости (5.14) имеет вид д ~1 дгт д~т ди Р дР ~Т дР ) дР ~ Т др Р'Т ! или дт дСт др!ди р, т дР дР дв ( дР Р') Р' (5.16) откуда — — < О. о,' е,' Т Т При задаияой функции ЕУ (р, р) функции Т (р, р) должны быть решениями (5.16), следовательно, такие функции ие произвольны, хотя существует много различных решений уравнения в частных производных (5 16). Теперь в качестве примера рассмотрим, как формулируется второй закон для необратимого цикла Карно.
коливествев ая форму Пусть два резервуара с температурами ровна второго закона тер- Т, и Тг (Т, ) Тз) служат нагревателем модииамвви вримеивтель- и холодильником в двух циклах КарнО, но " необратимому авилу один из которых обратим (к.п.д. т)), а второй необратим (к.п.д т) ) Тогда, так как т)" ( т) = 1 — Тг!Тт то 1 св1 — — =, или —,) — —, Т Т Тт О; Т' 1 5. Второе начало термодинамики и иокятие эвтролии 237 Считая тепло 0;, притекающее к системе, положительным, а тепло 4 отдаваемое системой, отрицательным, получим з=1 (5.17) г( уе -=- —,—, л~ Тз — л() Т~ Изменение энтропии всей системы 1 + 11 можно подсчитать, предполагая, что полная антропия 8 является аддитивной функцией, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
