Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 38
Текст из файла (страница 38)
При введении таких моделей считают, что напряжения ря зависят не только от деформаций и температуры в данный момент, но от всей предыстории деформирования тела, т. е. от функций е;; (~) и Т (~). Зто равносильно утверждению, что рн зависят от .,;, Т и всех их производных по времени, т. е.
число параметров состояния таких сред бесконечно. Другим, более сложным примером могут служить континуумы, встречающиеся в кинетических теориях, развиваемых в статистической физике, например гаэ, описываемый уравнением Больцмана. Однако такого рода модели сложны, и опыт теории и практики показывает, что в большинстве практически важных случаев для задания состояния малой частицы можно обойтись конечным и, вообще, небольшим числом параметров. В сложных кинетических теориях при построении решений также часто применяются приближенные методы, равносильные с физической точки зрения переходу к моделям с конечным числом степеней свободы для бесконечно малых частиц.
Заметим, что для определения состояния конечного объема сплошной среды нужно, вообще говоря, всегда эадавать функции (а не числа) — распределение деформаций, температуры и т. д. Задание функции равносильно заданию бесконечного числа параметров (напрямер, коэффициентов Фурье для этой функции). Поэтому число определяюших параметров для конечного объема в общем случае для любых моделей сплошных сред всегда бесконечно. Однако в малом все функции, падающие состояние тела, можно приближенно считать либо линейными, либо квадратичными, либо полиномами не очень высокой степени. Поэтому коэффициенты этих полиномов обраэуют конечное число параметров, задающих состояние бесконечно малых элементов сплошной среды.
При построении механики сплошной среды бесконечно малые частицы рассматриваются как термодинамические системы, для которых определены механические понятия о положении и характеристиках движения, а также физические понятия о внутреннем состоянии. Ниже мы примем, что для бесконечно малой частицы существует конечная система характеристик — определяющих па- з 2. Первое начало термодинвмини '1 вт раметров, задаваемых в употребляемой системе координат и системе единиц намерения числами.
Некоторые из этих параметров могут быть геометрическими или механическими, как, например, пространственные координаты, скорость, плотность, характеристики деформации и т. п., а другие — физическими или химическими, как, например, температура, концентрации различных компонент, параметры структуры, фазовые характеристики вещества, коэффициенты теплопроводности, вязкости, модули упругости и т. д. и т.п. Условимся через р' обозначать параметры, которые в принятой системе отсчета могут быть переменными, а через й' — физические постоянные.
Некоторые из параметров )г', й' могут быть компонентами различных векторов и тензоров. По определению для фиксированной маПолиая висте"а оиреле- лой частицы величины )в1, ф, ... р,о й', з', ..., й"' образуют базис (полную систему определяющих параметров), т. е. они могут быть заданы независимо н в известных диапазонах произвольно, а их набор обладает тем свойством, что все другие рассматриваемые в данном классе задач характеристики состояний и движений можно' выразить в универсальной, не зависящей от частной конкретной задачи, форме через них. Например, ниже мы увидим, что плотность и температура для частицы газа в известных пределах могут быть заданы произвольно, а другие термодинамические функции, например энтропия и давление, определяются через них. Следует различать систему определяющих параметров в данной конкретной задаче и систему параметров, определяющих состояние среды.
В первом случае это система параметров, характеризующих условия задачи, выделяющан единичное глобальное явление для конечных тел на основании системы уравнений и добазочпых краевых и других условий (выделение атой системы связано с постановкой конкретных задач); во втором — это характеристики состояния, для которых необходимо составить уравнения, выполняющиеся для всевозможных конкретных задач, процессов. Фиксирование системы параметров, определяющих физическое состояние элементов среды, является важным и в логическом смысле первоначальным этапом в определении модели сплошной среды, предназначаемой для описания движения некоторой реальной среды при некоторых определенных классах внешних условий. С математической точки зрения параметры состонния )г',~Р,...,)в", й', й',..., й"' представляют собой аргументы функций, входящих в заминутую систему уравнений, описываю- $98 Гл.
Ч. Основные понятия и уравнения термодинамики щих поведение среды г). ясно, что эти функции могут зависеть от разного набора независимых переменных, и в соответствии с этим система определяющих параметров„фиксирующих данную модель сплошной среды, может составляться из разных величин. Например, в случае газа это могут быть р и р, или р и Т, или р и Т и т. п.
С физической же точки зрения эти различные системы определяющих параметров дчя данной модели сплошной среды могут оказаться неравноправными. Как мыувидим в дальнейшем, в заданиях внутренней энергии как функции р и энтропии о' или р и р содержится разное количество информации. Нри введении системы определяющих параметров необходимо подразумевать и иметь в виду систему величин и характеристик, которые рассматриваются как определяемые величины.
Очевидно, что система определяющих параметров по своему числу и составу для различных определяемых величин может быть вообще различной. О голоиомных и иегоао ионных термодннамиче свих системах г) По самому смыслу понятия определяющих параметров подрааумевается, что фактические функциональные связи устанавливаются соответствующими авионами, гипотеаами и непосредственными определениями. Можно провести аналогию между понятиями числа степеней свободы в теоретической механике и числа определяющих параметров в механике сплошной среды.
В самом деле, число степеней свободы определяется обычно как число независимых параметров, определяющих положение механической системы. Например, абсолютно твердое тело обладает шестью степенями свободы. Заметим, что если абсолютно твердое тело рассматривается как физическая система, то для его задания необходимо задать еще десять постоянных параметров — массу, положение центра масс в теле и компоненты тензора инерции в центре масс. В теоретической механике рассматриваются неголономные системы. В механике сплошной среды также возможно такое положение, когда определяющие параметры р' изменяются в определенных пределах произвольно, а их приращения брг по условиям рассматриваемого класса задач связапы между собой, например, яг неинтегрируемыми соотнопгепиями вида А,брг == О, где Аг — некоторые функции определяющих параметров.
Тогда число гг — т независимых приращений Ьр' оказывается меньше, чем число независимых переменных определяющих параметров рг, и термодинамическая система называется неголономной. $2. Первое начало термодинамики 199 Для неголономных систем число степеней свободы определяется как число независимых приращений б)г. Рассмотрим пример неголономных соотношений, вытекающих только из определения параметров )а'.
Пусть, для примера, (а' ($', $а, $а, 1) — некоторый скалярный параметр (например, плотность частицы р), 1 — время, $', $', за — лагранжевы координаты центра выдоленной частицы, а параметры ра и )аа являются первой н второй производной от (а' по 1, т. е. определены формулами да' (2.1) По естественному физическому условию, примем, что время 1 явно не входит в систему )а'. Ясно, что в различных внешних условинх возможны состояния с различными произвольными в некоторых пределах (аа, (аа, 1аа, тогда как приращения Нд' я Нра за счет изменения времени Ю при постоянных $', $а, $а всегда связаны одним и тем же неголономным соотношением (2.2) рЧр — рЧра —.
О, которое при наличии равенств (2.1) выполняется тояадественно. Из равенств (2.1) следует, что для произвольных б)а' и и 6)га соотношения (2.2) не выполняются. Такого рода неголономные соотношения встречаются при использовании моделей сплошных сред, для которых среди определяющих параметров имеются последовательные производные по времени. Уравнения (2 1), (2.2) не связаны с наблюдениями или опытами, но как опытный результат надо рассматривать то, что последовательные производные можно и целосообразно вводить в число определяющих параметров при построении моделей сплошных сред и что их следует рассматривать как аргументы некоторых функций, которые в конечном счете черпаются яз данных, полученных в опытах. Введем в рассмотрение пространство соПроетранетзо состояний стояний, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
