Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Примеры уравнений а криволинейных системах координат 183 ной ортогональной системе координат имеет ввд йт дга/( Ф = 7хФ =- ЛФ == (3А8) Отсюда следует, что в цилиндрической системе имеем 1 д I дФ' ! д»Ф д'Ф /хФ = — — (г — + — — + —, г дг(, дг ) г» д<р» дх» (ЗЛ9) а в сферической имеем Вс ==А.в, ! )/г (3,2() где система трехиндексов и, р, у получается из системы (, 2, 3 круговой перестановкой, а у = Пес((д,в(). Для доказательства этого утверждения рассмотрим формулы преобразования величин В» при переходе от системы координат х' к системе у'.
При атом будем пользоваться тензорными формулами преобразования компонент мензора дп э'эг и компонент тензора А1!э!э/, а также свойством антисимметрии Ая. Для определителя д имеем ') где Ь вЂ” детерминант матрицы )(ду"/ох')1 ») Для дальнейшего важна формула вреобразозааия величавых; связь х с метрикой вообшв несущественна. Рассмотренные примеры иллюстрируют применение общих формул на важных частных случаях. Эквивалентность в трех- П трехмерном пространстве всякому мерном ароетранетве аа антисимметричному тензору второго ранвторого ранга акеиааьао- 'а А по э/ соответствует аксиальныи век- 1 му вектору тор Л =- В!эо контравариантные компоненты которого определены формулами 184 Гл. ЪЧ.
Замкнутые системы мехавячесмвх уравнений Поэтому 1» 1 л ° дум дло =А»»= = А;, 'у д 1/д' ! и! дх дхт ду" ду~ дкд ду« дх» дх» дх» дхт = «з 1а! »стммиоокакие толька оо таким «,З = », 2, 2, что «) Ю. (3.22) Легко видеть, что величины дэ« дкз ддз дло дх» дхт дх» дх» являются дополнительными минорами для элемента дхл/ду» матрицы, обратной матрице ~~ду'/дх»~, и, следовательно, »-д„«д„з д„з дд«1 дх~ д ! а ~ (дх» дх» дх» дхт ) дмт ~ а! причем индексы а, р, у и», у, й должны представлять собой круговые перестановки из 1, 2, 3. Поэтому формулы (3.22) можно переписать в виде д» Д дх а ду» (3.23) компоненты полярного вектора Ь меняют знак: ь'= ь -'Я = — ь, а компоненты аксиального вектора В, как видно иэ формул (3.23), не меняют знака: Вти = — В' — = В".
д» Эти формулы совпадают с обычными формулами преобразования контравариантных компонент вектора только при условии /х) О. Поэтому вектор В = В'э,, определенныйформулами (3.21), называется аксиальным вектором или псевдовектором, в отличие от обычного — полярного вектора. При преобразовании инверсии, например при преобразо- вании 1 3.
Првмеры уравнений в крвволвяейвых свстеках кссрдвват 18Ь Овредслевве ротоРа вев- Вектор о = го1 А вводится по опредесистемах координат лению по формулам о = с'э,„ 1 1'дАв дА„1 с = = (т„Ав — ЪвА«) = = ~ —. — — ) Ух У'д дх" дхз (а, р, у образуют круговую перестановку из 1, 2, 3). Очевидно, что если А — полярный вектор, того1 А является аксиальным вектором. В декартовой системе координат компоненты вектора о = гоФ А вычисляются по формулам дАв дА„ с = — в — —" дх" дхз (а, р, у образуют круговую перестановку из 1, 2, 3). Очевидно, что ротор вектора А = А э« Тсвзср Лева-Чввкта «Вт можно рассматривать как результат с=с тэсс «в« свертки тензора 7 Авэ"эв с антисимметричным по всем индексам псевдотензором третьего ранга е = з"в"э„эвэ„компоненты которого определены формулами если а, р, т образуют четную перестановку иэ 1,2,3, 1 — =, если а, р, у образуют нечетную перестановку из 1,2,3, О, если среди и, р, т есть два одинаковых индекса.
(3.24) Нетрудно проверить непосредственно, что формулы (3.24) действительно определяют компоненты псевдотензора, т. е. что формулы преобразования з"в при переходе к другой системе координат ф могут быть записаны в виде Ь ду1 ду1ду» з уй — з«вт дх" дхз дх« ' причем е'пв представляются через г' = Веь'З гц ~! по формулам, аналогичным (3.24). Название тензора Леви-Чивита — псевдотенэор связано с наличием в формуле преобразования знака, определенного множителем Ы~Ь~.
Для собственных преобразований (Л ) О) псевдотензоры неотличимы от обычных тензоров. Итак, компоненты вектора го1А могут быть записаны в виде ст — 3" В 7 Ав. 126 рл. 17. Замкнутые системы мехаввческвх уравяепвй Рассмотрим еще в криволинейной системе координат операцию векторного произведения двух векторов А и .В. По определению примем, что компоненты с векпроизведения А х Я представляются формулами Компоненты провзведенвя в кейной енетеме векторного ярнволм- воордвпат торного с" = з™еА,Вз, т. е.
1 с = —; — (А,В1 — А1В,) )га и, следовательно, г', у, )'обрюуог круговую перзгганозку нз 1,2, 3). Отсюда, в частности, видно, что векторное произведение двух полярных векторов есть аксиальный вектор (псевдовектор). Физическими примерами аксиальных векторов — по с е ву антис ме торов рических тензоров второго ранга — мо- 1 тут служить векторы вихря скорости ю = — гойи, магнитной 2 напряженности Л, магнитной индукции .В к т. и. Эквивалентность антнсимметричного по двум индексам тензора аксиальному по этим индексам вектору имеет место только в трехмерном пространстве.
В в-мерном пространстве при л ) 3 подобной эквивалентности нет. В современной физике наряду с трехмерным пространством с пространственными координатами х', х', х' имеет непосредственный физический смысл пространство четырех измерений с координатами точек пространства х', х', хе и времени г = х~. При формулировании основных физических уравнений требуется рассматривать векторы н тензоры в четырехмерном пространстве с координатами х', х', х', х' и считать, что координаты точек четырехмерного пространства — времени взаимно связаны и в некотором смысле равноправны.
В физических уравнениях в таком чемерном проетра а . тырехмеРном пРостРанстве также встРетневмметрйчпого тевеора чаются и играют фундаментальную второго ранга авональному роль антисимметричные тензоры второго н полярному векторам Пусть г'г„— антисимметрнчный тензор в четырехмерном пространстве. По определению имеем 1 3. Примеры уравнений в криволинейных сне~екал координат )87 хс = 1)(уз), г, й = 1, 2, 3, 4, (3.25) компоненты тензора Р,„преобразуются по обычным формулам: (з) с*) дза дхз Р18» = ~аз двсду» (3.25') Формулы преобразования (3.25') и нижеследующие выводы независимы от способа введения метрики в четырехмерном пространстве. Однако удобно вместе с четырехмерным пространством рассматривать еще трехмерное обычное подпространство х', х', х' с метрикой, определенной обычным способом формулой вида — заз ох с(х и,р =1,2,3.
Для четырехмерной матрицы тензора Р.,» мохсно написать !!Р «)! = где К = Эе» !! без )!. Буквами Н" и Е (и =-1, 2, 3) обозначены соответствующие элементы матрицы Р,». Формулы преобразования (3.25') для компонент Рс» можно рассматривать также как формулы преобразования для величин Н" и Е„. Если наряду с общим преобразованием координат (3.25) рассмотреть частные преобразования координат хз ~з(ус уз уз) (а=1,2,3), ! хз з в которых преобразуются только пространственные координаты и сохраннется неизменной временная координата, то общие формулы преобразования (3.25') дадут специальные формулы преобразования для величин, обозначенных во второй матрице (3.26) через Н" и Е„. Из этих формул следует, что для специальных преобразований (3.27) величины Н' и Е„можно соответственно рассматривать как контравариантные При преобразовании координат О Рм Р)з Рм 1 зс О Рзз Рзз Рзз Рзз Ры Рзз Рзз О О .у' На у',Н Е У„Нз У Нз Е О У'дН Е, — Уенс О Ез — Š— Е О (3.26) 188 Гл.
Г». Замкнутые системы мвхаввческкх уравнений компоненты трехмерного аксиального вектора .И = Н» э» (у = 1, 2, 3), 1 Н'= — Р— аа (а, р, у образуют круговую перестановку иэ 1, 2, 3) и ковариантные компоненты полярного вектора Ж=Е»э' (у=1,2,3), й» й»А Очевидно, что формулы преобразования для Н' и Ь» в общем случае четырехмерного преобразования (3.25) не являются векторна»ми, С точки зрения четырехмерного пространства трехмерные векторы Н и Х не являются инвариантными объектами. Ниже мы увидим, что векторы электрической напряженности и магнитной напряженности можно рассматривать как векторы Ж и Н для соответствующего четырехмерного тенэора Р = Рд э~эь.
Подчеркнем, что предыдущие связи между Рц„Е» и Н независимы от метрики четырехмерного пространства. В (3.26) вместо трехмерного метрического тензора д,вэ"эа можно было бы воспользоваться любым другим пространственным трехмерным тенэором второго ранга, для которого составленный из его компонент детерминант не равен нулю.
ГЛАВА У ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УРАВНЕНИЯ ТЕРМОДИНАМИКИ $ $. Теорема живых снл и работа внутренних поверхностных снл Одним иэ наиболее важных общих следствий динамических уравнений движения сплошной среды является теорема живых сил. Пусть г" — произвольный конечный объем, движущийся вместе с частицами материальной среды, Š— ограничивающая его поверхность. Предположим, что внутри объема У компоненты тензора напряжений Р = Рна,.э~ и вектора скорости и = э'а,.
= и,.а' — непрерывные дифференцируемые функции прострайствейных координат и времени. Возьмем вектор Нг = е й — вектор перемещения бесконечно малого объема сплошной среды Нт эа время й; умножим скалярно уравнение импульсов на от' и проинтегрируем по объему У.
Получим ~ р йс = ')рй' ~( (т+ )(Чин)эФст. ((.1) т т Преобразуем каждый из входящих в это соотношение интегралов. ) о г / рВ ~ г оо а прг(тга= ~о'~ — )0~ = Ит~ — о'т = ЙЕ, ~2) где по определению 1 2 т — кинетическая энергия объема Е сплошной среды. (1.2) Скалярную (инвариантную) величину кннетнческав эиоэг"" ооъ и а можно вычислить, испольэуя любую ема %' сплошной среды систему координат. Например, в декартовой системе координат легко получим Так как масса шп = рпт постоянна, то, очевидно, что 190 Гл. Ч. Основные понятия н уравнения термодинамики Массовые силы Х' разобьем на две группы: Хч>> — внутренние и Х'и> — внешние по отношению ко всему объему У. Тогда Работа внутренних и внеш- них маесоаых сил ')рхл А'~(т = ~ррч'>.й от+ 1рллп> сЬ с>т =- с>А~'~+ о>А~~~, (1.3) Ч р й где ЫА и ИА — злементарные работы внешних и внутренних [е> и> по отношению к объему т' массовых сил, действующих на зтот объем, при бесконечно малом перемещении.
Заметим, что сумма всех внутренних массовых сил, действующих на весь объем т', всегда равна нулю, а работа стих сил может отличаться от нуля. Последний интеграл в выражении (1.1) запишем в виде следующих двух интегралов: ~ (Ч;ре) и,й~(т = ~ Ч; (РЪ>)~(гс>т — ~рлЧ>о,йс>т. У Ч Ъ (1.4) Для преобразования первого из написанных справа в (1.4) интегралов воспользуемся теоремой Гаусса — Остроградского, а для преобразования второго — очевидным тождеством 1 1 Ч»>, = ~ (Ч»>1 + Ч>е;) + х (Ч>ие — Ччоз) = ел + юп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
