Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 35
Текст из файла (страница 35)
П). Все уравнения составляются для состояния среды в определенный актуальный момент времени. Поэтому очевидно, что как уравнения импульсов для сплошной среды, так и получившиеся на нх основании уравнения Ламе в компонентах, соответствующих лагранжевой актуальной системе координат, имеют такой же вид, как в системе отсчета. При переходе от актуальной лагранжевой системы координат к начальной латранжевой системе координат уравнения в компонентах изменяют свой вид. Это связано с тем, что формулы перехода от компонент векторов и тензоров в начальной лагранжевой системе координат к соответствующим компонентам в актуальной лагранжевой системе не совпадают с обычными формулами преобразования компонент тензоров при Ъ переходе от одной системы координат к другой в одном и том же пространстве.
Пространства начального состояния и актуального состояния с одинаковыми координатами точек з', э», з» необходимо рассматривать как разные пространства с различной метрикой, дз» + аЪ„ из-за деформаций '). Однако если деформации и перемещения малы, то началы ная и актуальная лагранжевы системы координат отличаются мало, и поэтому с точностью до малых первого порядка можно считать, что уравнения в компонентах, соответствующих актуальной и начальной лагранжевым системам координат, совпадают.
Использование начальной лагранжевой системы координат может оказаться более удобным, чем использование актуальной системы координат, так как при применении ') Этот вопрос применительно к общему уравнению дввжеиия сплошной среды рассмотреи подробно в книге Л. И. С е д о в а »Введение в механику сплошной среды», Физмат»»в, Москва, 1962, стр. 150. 3 3.
Примеры ураояеялй в крнэолвнейвмх системах лоордвяат 177 актуальной лагранжевой системы для полного решения вадачи надо определять еще и положение этой системы координат по отношению к системе отсчета. Обширные разделы гидродинамики и теории упругости развиты в рамках пеняя лрутмх моделей речисленных выше простых моделей. Тем не менее далеко не всегда движения реальных сред могут быть достаточно точно описаны с помощью этих простейших моделей. Например, для изучения движения ионнэованных газов или даже нейтральных газов при отсутствии баротропии требуются более сложные модели.
Во многих случаях закон Гука для «твердых» тел неприменим, например, он несправедлив, когда после освобождения «твердых» тел от напряжений в ннх остаются деформации (асфальт, замазка, а также металлы при болыпих нагруэках). Поэтому необходимо строить модели с учетом пластичности, ползучести и ряда других свойств. Для усложненных моделей сплошных сред введенный выше запас понятий и характеристик, связанных с движением и состоянием частиц среды, недостаточен.
Необходимо рассматривать еще другие характеристики, такие, как температура Т, внутренняя энергия У, энтропия Я, остаточные деформации, характеристики электромагнитного поля и многие другие. Система механических уравнений в этих случаях должна быть дополнена.
Для этого требуется использовать еще дополнительные соотношения фиэики и, в частности, термодинамики. й 3. Примеры уравнений в криволинейных системах координат и дополнительные сведения нэ тенворного анализа Для приложений полезно иметь в готовом виде уравнения неразрывности н уравнения движения в различных конкретных криволинейных системах координат. Выпишем формулы, выражающие символы ортоговальныл м уравнение Кристоффеля Г„э через компоненты метвералрыввоетн в щюязволь- рического тенэора дя в произвольных вых сяетемлх координат ортогональных системах координат.
Символы Кристоффеля в евклидовом и римановом пространствах определены формулами Г дд„, дла дл„э ~ (3.1) 2 ~ дяа дя" де~ ) Отсюда в ортогональной системе координат (дя = 0 при 1+ у) 178 Гл. 1Ч. Замкнутые системы мехааическкх уравнений легко получим 1 «« д«« д е «« дха дав — ьа« 2 д.« 1 «« К«« д — Ы««вЂ” 2 дх" Г„",= (3.2) Гь = (3.3) Г„"« = (3.4) Га„= О при и+~, ~+7, а+у. (3.5) С помощью формулы (3.2) для суммы '~~~ Г„"а можно получить следующую формулу в ортогональных системах координат: дд 1 д ЬГд Г«, = — —.= —— 2д дха р'д дхв (3.6) где д — опРеделитель матРицы 1Уо~(. Приведем доказательство формулы (3.6) в произвольной системе координат. Имеем даа х д =- ( дп ~ = ~ (эо э ) ~ и — = Гваэ„. дха При составлениипроизводной дфдхв необходимо дифференцировать в каждом элементе детерминанта д скалярное произведение двух векторов э, и эя При дифференцировайии первого фактора э, получим три детерминанта, в каждом из которых члены одной строки с номером 1 заменены членами вида Г;а д„;.
Легко видеть, что каждый из этих детерминантов равен Г;а д, где 1 — фиксированный индекс, равный номеру соответствующей строки. (Детерминанты при фиксированных с7 + 1 равны нулю.) Сумма трех детерс минантов Равна ~ Г1а д. Из симметРии УП очевиДно, что 12 т при дифференцировании вторых факторов э7 получится точно такая же сумма. Отсюда следует, что дв — = 2дГге, дха причем в этой формуле по индексу 1 производится суммиро- вание, 1 3. Йрныеры уравнений з криволинейных системах координат 179 Выражение для дивергенции любого вектора в проиавольной системе координат можно теперь записать следующим образом: даз „ дх" ЗВ д У д т дх" Р у; Дгттг= узих= — +ПВГзВ з + и дх" рд дхз уд дх" (3.7) Уравнение неразрывности в произвольной криволинейной системе координат принимает вид з,з — др дрз' Р'д дрз' Г' д дрз' Рд о дЗ дхз дхз дхз Напомним, что гз являются компонентами вектора и при разложении его по векторам ковариантного базиса э„ которые не являются, вообще говоря, единичными векторами.
Для вектора скорости и можно написать также формулу и=газ==и =+и =+и =, эз з аз з эз р'а р'ЬЪ р'а з ' Фнзнческне компоненты векторов н тонзоров (3.9) где е, = — = — единичные векторы. Если система коорэз динат ортогональная, то компоненты и'=игу'лп з) Напрнпер, для тенаора Т = Та ода физические компоненты можно определить следующим образом: аз Ухи Газз (суммированиепо 1 отсутствует) равны проекциям скорости тз на касательные к координатным линиям и называются физическими компонентами вектора око рости.
Очевидно, что для ортогональных систем координат величины и, = и, у лзз (суммирование по з отсутствует) совпадают с введенными физическими компонентами и'. Аналогично можно ввести физические компоненты любого вектора, например ускорения зх или ягаб р, и вообще тензора любого ранга '). При использовании физических компонент уравнение неразрывности (3.8) в произвольной ортогональной системе координат приобретает вид — 0 (310) з К дз + дхз < дхг дхз 180 Гл.
1т'. накинутые системы механических уравнений ураввенне нераерынностм н цнлнндрнческой я сферической системах ко- ординат В случае цилиндрической системы коор- динат хс = г, х' =- »р, х' =х Йза = с(ге+ гв()грв+ »Ьв, ) ас ~ = 1, ) эв) = г, (эа) = 1, д = ', яа =1, ~»;=9 пр»+). т. е. б»» = 1 Уравнение неразрывности в цилиндрических координатах записывается следующим образом: др дригг дри дрие д»т дг тдр + да В случае сферической системы координат х' = г, х' =- »р (широта), х' = Х (долгота), дуе = Й' + гасйфа + гусов'(р (»йа, дсс =1, дав =г', рва =гасоза»р и уравнение неразрывности будет иметь вид др дригге дри„соа»р дри„ г'совр — + соз»р " +г " +г — =О. д» дг д»р дХ Преобразуем последний член атой формулы: о»нВГ»~В = 2нсоВГ)В'+ (из)в ГВ)В = Втеу (оуммированив оо С огоутсгвует) = 2о)иВГ)В) + (н))вГ5 + (и")'ГВ)В. Вте) Свез (суммирование но С отсутствует) В ортогональной системе координат с помощью формул (3. 2) (3.5), выражающих символы кристоффеля Г',В через я»я получим дв) да) „)„В для ') (е))' для ( З)а даВВ дм» дп дмз З дй д Здп дн' Вте) (суммирование во ) отоутотвует) (3.11) Отсюда физические компоненты ускорения в цилиндрической системе координат, если вместо и» по (3.9) ввести физические ааомнонеитм ускорения Для тото чтобы написать в ортотоортотоналвввах свете нальных криволинейных системах коормах координат дннат уравнения движения Эйлера, получим формулу, выражающую компоненты ускорения ото»(о)С через йи) и о'.
Для компоненты ускорения отт)/с»С имеем а» = — + о 7»о) = — + о' — + о»нВГнн дв' » ) дв) да) дс дх» 1 3. Примеры уразвевий з криволинейных системах координат 181 компоненты скорости и', будут иметь вид ди„ а =- — "+ д» ди и диг ди, и, ц,— '+ — ' — г+ц,— ' — —, г дг г д,р т дв г ди„ и ди ч ди ии, цг — "+ —" — + ц, — «+ — «, «г « дг г д»р ' дв г ди а = — — «+ дС (ЗЛ2) дит дит и«ди, а т +ц т + «т +ц д» г дг г д»р * дс физические компоненты ускорения в сферической системе координат запишутся следующим образом: ив + ивх г ди — — +ц — '+ г д» " дг и ди «г и„д „ + — —" г д»р гсов»р дх их ди, гсов»р до их дих г дФ гсов»р дй г « и и — и»»$»р г и ди„ д»р и дих ди«ди« а« д + цг д + « — д» г дг дих дих +ц д + игих+ Сй»р и«их + ' (ЗЛЗ) Определим проекции вектора игай р на оси ортогональной системы координат.
Имеем Комиокевты вектора-тра диеита скаларвой»)рувиции в ортогональном системе коердвиат игай р = —, э' = (7»р) э' = А, = др а» дх» ~д»» А, = — Р р б»» = = Р = А'. дх» д дх» н (суммвровевие ио» отсутствует) Физические компоненты вектора дуайр в цилиндрической системе координат будут следующими." К й Р!. = д. ° др др б йР!.=т д драй Я, = — „, др (3.14) Отсюда физические компоненты А, вектора йтайр в ортогональной системе координат будут равны 182 рл.
1у. Замкнутые системы мехаквческкх ураввеввй а в сферической системе координат — следующими: пгай р~„=— др др нгай р! д~р др огай р '(л = — —. гсов ср дЛ ' ураеневвя Эйлера в ци лкндрической н сферяческой скстемах координат С помощью (3.12) и (3.14) легко ваписать уравнения Эйлера в цилиндрической, а с помощью (3.13) и (3.15) в сферической системах координат. Уравнения Эйлера в цилиндрической системе координат имеют вид и дит диг и'„ ди„ и„+ — ' — т+ — ги, — —" + —" г а~р дв ' г дс ди 1 ди ди ди — ~и,+ — —.и„+ — и +— дг ' г дср е дв ' дс ди, 1 ди, ди ди — 'и,+ — — 'и + — 'и + — ' дг т г д~р е дв * дс ди„ дг 1 др — Я' рсдт ' и„и т 1 ар гр дср 1 др дв а в сферической — внд ив + ивл ди„ ди„ и ди„ ил ди т и г + е г дс ' " дт г ду тсовср дЛ +, + г др =Рл— рг сов ср дЛ ' (3.17) Окератор Лакласа от ека- Положив ларкой фукквнв в ортогональной системе координат тт = дгайФ, с помощью формулы (3.7) легко получим, что оператор Лапласа от скалярной функции Ф в проивволь- ди ди и ди ил ди — + и„— + — — + —— с л дс " дт г д<р г сов р дЛ дил дил и дил ил дил — + и„— + —" — 'т(- дс " дг г ду геохи дЛ 1 ар т р дг си сот + — ' — — ил= т г 1 др гр аср ' и ил Ссср и ит й 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
