Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 37
Текст из файла (страница 37)
В реаультате получим >(ч>Р ) о>л>1 лт = ~ Ряи1ц~(с с>1 — ')Р"епг($г(т — ~ рба>пе(гг(т, (1.5) р Е У У Р' ыб =- Р юн+ Р ыя == (Р. Р ) ыа. (1.5') п<п [е<л Поэтому в классическом случае, когда тензор напряжений симметричен (ря = ря), последний интеграл в (1.5) равен нулю. Так как р»п>э, = р„, то можно написать ~ Рсвепфс й =- ') р„' г(м да = НА >„(1.6) Работа внешних поверх постных снл где через ЫАя1'>, обозначена работа внешних поверхностных снл, действующих на поверхности Х выделенного объема У, где Х вЂ” поверхность, ограничивающая объем У, а и> — ковариантные компоненты единичного вектора внешней по отношению к объему $' нормали к Х.
Заметим, что в силу антиснмметрии тензора о>,.фэ' верны равенства $1. теорема живых сил и работа еиттреялих сил $91 при бесконечно малых перемещениях г)ч' = н й точек поверхности Х. Последний из интегралов в (1.4), являющийся инвариантной величиной, по определению называется работой внутренних поверхностных сил напряжений в объеме г': — '1 рнр1г;ат' г)т = г(А,",,',. (1.7) Теорема живых сил для Таким образом, равенство (1.1) можно яоиечиого объема силою- записать в виде иой ереды ЫЕ .= ЫА (:) + лА(') + ЫА~')„+ а7А(„),, (1.8) т. е. для действительного движения дифференциал кинетической энергии конечного индивидуального объема сплошной среды равен сумме элементарных работ внешних массовых, внутренних массовых, внешних поверхностных и внутренних поверхностных сил, действующих на этот объем.
Это утверждение носит название теоремы живых сил в применении к конечному объему сплошной деформируемой среды. Нужно иметь в виду, что в формулировке теоремы живых сил (1.8) сЕ является полным дифференциалом функции Š— кинетической энергии объема сплошной среды, а остальные члены ИА~'~, оАбы, г)А~;~е и ЫА~„'е~е в общем случае — просто бесконечно малые количества — элементарные работы соответствующих сил на системе непрерывных бесконечно малых перемещений определенных в каждой точке сплошной среды.
Из (1.4), (1.5), (1.5') видно, что выра- Выражение для работы жение для работы внутренних поверхвиутреииих иоверхиоет постных сил можно записать в следуюиых сил в случае симметричного теязора иаира- шем виде: г(А„'о, = — '1 рое„й с(т — ~ ргюегй г)т, (1.9) й ч или в случае симметричного тензора папряжений в виде лАл~',~„— — — ~ р"'еой лт.
Как известно, антисимметричному тенаору вм в трехмерном пространстве всегда можно поставить в соответствие аксиальный вектор ы — вектор вихря скорости (см. гл. Гг', ~ 3). Из приведенных выше рассуждений следует, что наличие вихрей 192 Гл. У. Основные понятая в уравноння тормоднвамнян в движущейся сплошной среде в случае симметричного тензора напряжений (в частности, при отсутствии внутренних моментов количества движения и внешних массовых и поверхностных пар) не оказывает непосредственного влияния на величину элементарной работы внутренних поверхностных сил, а следовательно, на изменение кинетической энергии.
Запишем теперь теорему живых снл для Геоуема мнлмл снл длл бесконечно малого объема сплошной бесконечно малого объема оплошной среды среды. Для этого применим теорему о среднем ко всем интегралам (1.2), (1.3), (1.4), входящим в равенство (1.8), выражающее теорему живых сил для конечного объема, разделим результат на массу объема М и перейдем к пределу при У'-+. О. Получим — = Р Йт+ — Ч1(р1о1)Ж вЂ” — р Ч1о;й.
си* 1 2 р Р Величину от/2 можно назвать плотностью кинетической 1 1 знергни, а величины Г ят, — Ч. (рио,) Й1, — — рйЧ г,й— Э р Э плотностями работы массовых и поверхностных внешних н внутренних сил. В теорему живых сил для бесконечно малого объема сплошной среды не входит элементарная работа внутренних массовых сил, так как она во всех известных случаях стремится к нулю при т' — ~ О. Пусть, например, внутренние массовые силы суть силы ньютоновского тяготения между частицами объема К Тогда работа внутренних массовых сил в объеме г' с массой М, очевидно, записывается в виде ~~~1 ~Ж2 ~'1 Э'с 'от, мм (э г — г,) (:г~ — тч ) Предел этого выражения, разделенного на М, при М-+ О равен нулю. Таким образом, теорема живых сил, имеющая место для каждой бесконечно малой частицы, формулируется так: в каждой точке сплошной среды дифференциал плотности кинетической энергии равняется сумме плотностей злементарных работ внешних массовых, внешних поверхностных и внутренних поверхностных сил, действующих на зту среду.
Как видим, теорема живых сил является непосредственным следствием уравнений импульсов и представляет собой уравнение баланса механической энергии. Теорема живых сил имеет знергетическую природу, но зто соотношение не является в общем случае ваконом сохранения энергии. Его можно 1 1, Теорема нснвых снл н работа внутренних снл 193 трактовать как закон сохранения энергии (в рамках механической постановки задач) только в том случае, когда механическая энергия рассматриваемой системы не переходит в тепловую или в другие виды энергии. Заметим, что общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два — законы сохранения механической и немеханической энергий в отдельности.
Получим выражения для плотности работы внутренних поверхностных сил — „о(А„о„в нокоторых частных случаях. (в) Имеем: — (1А„' = — — р 1~"(й — — р он "(й = (() Н пов = , Н , о 1 ( 1 = — — р()е, с(1 — — (рн — рп) с)яо(1 Р ' Р (<) Если среда движется как твердое тело, то все ен =- О и С) '"пов = (Р 1 р( )(Оя. (н (щ пов Р П<П Если тензор напряжений несимметричен (рн + р)'), то прп движении среды как абсолютно твердого тела работа внутренних поверхностных сил может отличаться от нуля, так как угловая скорость е) и, следовательно, е)() могут быть не равными нул)о (при вращении), Если тензор напряжений симметричен, то верно равенство (1.1() Плотность работы внутрен- ~их сил в случае идеальной жидкости где г' — удельный объем. 7 л.и, Седов т.
е. в этом случае работа внутренних поверхностных сил обусловлена, вообще говоря, деформациями. Если среда с симметричным тензором напряжений движется как абсолютно твердое тело, то работа внутренних поверхностных сил в ней всегда равна нулю. для идеальной среды рн = — раз, поэтому = — ' йч т) ((1. Р Заменяя ((1ч т) с помощью уравнения неразрывности, получим — НАйов = в +с)1 = р() — = рддр, (1А2) 49'г Гл. Ч.
Основные вовятмл в ура»меняя термоданамики Для бесконечно малой частицы идеальной среды теорема живых снл в областях непрерывного движения среды имеет вид = ХЧ'г «г«?1 — — р» (рг») сй + р ьг — . (1 13) Р Р Небесполезно отметить, что при движении сплошной средьг относительно фиксированной подвижной илн неподвижной системы координат велнчина плотности работы внутренних сил вообще не равняется с обратным эпаком плотности работы всех внешних поверхностных и массовых сил. $ 2. 11ервое начало термодинамики (закон сохранения энергии) и уравнение притока тепла параметры состояния Начнем с выяснения понятий, лежащих в основе термодинамики и тем самым всей механики сплошной среды, а именно понятий «состояпия» системы и «параметров состояния>. Мы будем говорить, что состояние нашей системы (например, некоторого объема сплошноп среды) задано, если заданы значения некоторых параметров (»г, р'„ , р", которьгмн полностью определяются все интересующие пас характеристики системы (среды).
Определяющие параметры р', которые могут принимать вообще в некоторых диапазонах проиэвольные эначения, называются при этом параметрами состояния. Набор параметров состояния и их число раэличны для различных моделей сплошных сред. Что эначит энать состояние среды? На этот вопрос можно дать следующий ответ. Все тела состоят иэ атомов и молекул, и, если в каждый момент времени известно положение и двигкение всех элементарных частиц, составляющих голо, известно и состояние всего тела.
Однако этот ответ не может нас удовлетворить. В самом деле, если мы эахотгьм, например, эадать состояние одного кубического сантиметра покоящегося воэдуха, то нам придется эадать 3 27 10" функций от времени координат молекул (считаемых материальньпми точками), содержащихся в этом объеме, так как молекулы даже покоящегося газа движутся. В то же время известно, что с макроскопической точки зрения во многих случаях состояние покоящегося воэдуха (и других гаэов) определяется эаданием всего только двух параметров — давления р и плотности р. Макроскопическая точка эрения — это точка эрения, в которой учитываются процессы, эффекты и свойства сущест- $2. Первое начало термодннамнкн 195 венные ') только для конечных тел, которые мы наблюдаем или применяем в различного рода явлениях в природе и в технике.
Отнюдь не тривиальная проблема перехода от болыпого числа параметров, определяющих состояние среды, рассматриваемой как дискретная система, к меньшему числу параметров, подобных р и р для газа и определяющих макроскопическое состояние среды, составляет важнейший предмет физики жидкостей, газов и твердых тел. Разрешение этой проблемьг всегда связано с дополнительными гипотезами — законами вероятностной и другой природы, гипотезами, которые должны проверяться и черпаться в опытах и наблюдениях.
Макроскопические параметры могут строиться как статистические средние, вычисленные при некоторых допущениях по отношению к совокупностям большого числа молекул, движущихся и расположенных вообще произвольно. Например, в газах макроскопическую скорость и можно вводить как скорость центра тяжести совокупности молекул в физически малом объеме; температуру Т вЂ” как среднюю энергию хаотического движения атомов и молекул относительно макроскопического движения, приходящуюся на одну степень свободы; напряжение р„на некоторой площадке — как среднюю характеристику импульса, переносимого молекулами через эту площадку при их хаотическом движении, и т.
п. В общем случае определяющие параметры вводятся для определенных рассматриваемых классов задач с помощью гипотез, при этом опираются на опытные данные и теоретические исследования. Во многих сложных случаях проблема введения определяющих параметров еще открыта и является предметом исследования, например для моделей вязко-пластических твердых тел, для неравновесных явлений в усложненных физических, химических или биологических системах, в различного рода явлениях, сопровождаемых излучением, и во многих, многих других проблемах.
Внутреннее состояние малой частицы ма- 0 чнсле параметров состояння для сплощныл сред териального континуума, вообще говоРя, можно характеризовать конечным и гоРаздо меньшим числом определяющих параметров, чем дискретную систему элементарных частиц. Например, внутреннее состояние частицы твердого деформируемого тела в классической теории упругости характеризуется только семью переменными параметрами — шестью компонентами тензора деформаций е„и температурой Т, а также постоянными для В Понятие о существенности свяаано спостановкой задачи, с разумной н целесообразной точностью нркнятыл кзмерзняй н опродзлеююй.
7' 196 Гл. 7. Основные покатил и уравиеиии термодинамики данной конкретной среды фиэическими константами — модулем Юнга Е, коэффициентом Пауссона и и теплоемкостью с. Вместе с тем не исключается возможность того, что число параметров, определяющих состояние даже бесконечно малой частицы континуума, в какой-нибудь модели континуума (сплошной среде) будет бесконечным. Примерами такого рода моделей являются модели тел с наследственностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
