Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 34
Текст из файла (страница 34)
з) Ось зз, например, очевидно, можно перевести в положение *а поворотом системы координат вокруг оси зз иа 90'. 170 Га. 1т. Замкнутые системы механических уравнений тензора скоростей деформаций совпадают с главными осями тензора напряжений, а все коэффициенты Вд>на выражаются через два коэффициента Лд и )дд. Теперь закон Гука рм = Аеа Заа т,=Лд(е +е,+еа)+29,ед, т =- Лд (е, +е, +е,) +2)ддет, та = Лд(е, +ед +е,) +29,ез. (2.8) Выведем теперь закон Гука для изотропной (гиротропной) среды в произвольной системе координат.
Для этого умножим равенства (2.7) соответственно на (д(хд)з, (д(хз)з, (ддхз)з, сложим их и при произвольных ддхд, дха, ддхз будем иметь р (ддхд)а ->- р (д(ха)д + р (ддхз)з = = ЛХд (е)д(с-' + 2р, [ед (Нхд)а+ з, (д(хд)д + ез (т(ха)а!, (2.9) где Йз = (>1тд)з + (Ихд)з + (йа)а, а 1д (з) — первый инвариант тензора деформаций. Так как р, (Нхд)д + р, (Ихс)з + ра (Ихз)з = 2Ф (с>хд, дхз, Иха) — инвариантная относительно выбора системы координат квадратичная форма тензора напряжений, записанная вглавных осях тензора напряжений, а з (е(хд)з + ез (~Ьа)з + е (Нхз)т = 2Р (д(хд, дхз, дЬа) — инвариант на я относительно выбора системы координат квадратичная форма тензора деформаций, записанная вглавных осях тензора деформаций, то равенство (2.9) представляет собой инвариантное соотношение и может быть записано в любой криволинейной системе координат т)д, т1з, 71з в виде 2Ф(с(т)д, ддт)а, ддт)а) = ЛТд(з) е .
Нт~дс(т~>+ 4(дР (Ит)д, с>т)з, с>т~з), (2.10) для изотропной среды в главных осях тенаора деформаций и тензора напряжений имеет вид рд = Л (з, + з, + ез) > 2(дз„ р, = Л (зд + е, + еа) + 2рз,, (2.7) рз — — Л (зд + зд + ез) + 2рза' Л и (д называются коэффициентами Ламе. Аналогично закон Навье — Стокса для нзотропной среды в главных осях тензора скоростей деформаций и тензора напряжений запишется следующим образом: 1 2. Лввейвое упругое тело н линейная вязкая жалкость 111 где 2Ф = рпг(т)'й)~, 2Р =- зг стт)гг(т)У, Р, (з) = е'„' = е"Зз,, сузе — ~т г гуто Выражение (2.10) справедливо при произвольных г)ту', г(т)е, г(т)е, и поэтому в любой системе координат будем иметь рп =- ХУ,(е)дт + 2реп (2Л1) или рн = у,у,(з) оон+ 2руу'уме„е. (2Л1') Формулы (2.11') или (2.11) представляют собой запись закона Гука для изотропной среды в произвольной криволинейной системе координат, Из (2.11') легко получить выражение для коэффициентов Ап"З в произвольной криволинейной системе координат: Ап"~ =- Убпу"д+ ут (и'"бУ" + и'И*), (2Л2) Проведя аналогичные рассуждения применительно к закону Навье — Стокса, получим, что закон Навье — Стокса для изотропной среды в произвольной криволинейной системе координат будет иметь вид тп = Х,Х, (е) лп+ 2р еп (2,13) или гп = Учрт (е) бп + 2ртет" етае„з.
(2.14) р" =- — рбн + у т йч ттдп + 2)ьтбу"оузе„з. (2.15) В декартовой (не главной) системе координат закон Гука для изотропной среды имеет вид (2.16) р,, = ХУ, (е) + 2)ьен и при г'чьу р, = 2реп а закон Навье — Стокса — вид ди р . = — р + Х~ йч и + 2)е,— е дог и при (+у У до ди 'т р . = 2)т е . = )т ~ — «+ — ') . П тп т~д» ' дет (2Л7) На основании (2.2) получим следующую связь между компонен- тами тензора напряжений и скоростей деформаций для изотроп- ной вяакой жидкости в произвольной криволинейной систем- координат: 172 Гл. !т'.
Замкнутые системы мехакических уравнений Модуль Юита, кезффицвеит Пуассойан коэффициенты иязиости Вместо коэффициентов Ламе Х и р в тео- рии упругости принято вводить следую- щие характеристики материала: модуль Юнга (37н + 2(а) Л+р н коэффициент Пуассона Х 2(Х+р) " В теории движения вязкой жидкости принято вводитьдинамический коэффициент вязкости р = р, и кинематический коэффициент вязкости т = (х/р, а также второй коэффициент вязкости 1=7х+ 3(а 2 В дальнейшем коэффициент Ламе Х, в случае движения вязкой жидкости мы будем обозначать просто через 7ь.
Приведем числовые значения Е, о, р, т для некоторых сред. 0,3 0,34 0,31 20 000 7 000 10 000 Железо Алюминий Бронза ь амтеек Среда 0,01 0,15 6,3 0,0012 Вода Воздух Гнтицерик Ртуть 0,01 1,8 10 а 8,5 0,156 (2Л8) Законы Гука и Навье — Стокса при Т = сопз1, 7(1 = сопз1 позволяют замкнуть систему уравнений движения для изотропных упругих сред и вязкой несжимаемой жидкости. Для того чтобы выписать полную Уравнения Пакье — Сток- систему уравнений движения сплошной среды в случае вязкой несжимаемой жидкости, выведем предварительно уравнения движения вязкой, вообще сжимаемой жидкости, удовлетворяющей закону Навье — Стокса (2.15) или рн = — рбн+ Ь. б(ч туп+ 2реЦ $2. Линейное упругое тело и линейная вязкая жидкость !та которые называются уравнениями Навье — Стокса и получаются в результате подстановки закона Навье — Стокса (2.18), в уравнение импульсов.
Предварительно заметим, что в евклидовом пространстве верны равенстна Действительно Т;;еи7,71п' — 7;Чспх являются компонентами тензора третьего ранга; в декартовой системе координат Т"! =- Эвх" Зех" = — —. = О, и, следовательно, Т' = О в любой криводхг дх1 дх! дх' Ц линейной системе координат. Таким образом, результат неоднократного ковариантного дифференцирования не зависит от порядка проведениядифференцировання, если в пространстве можно ввести единую для всего пространства декартову систему координат, т.е. если пространство является евклидовым г). Вычислим теперь Чгр'~', когда рп определяются по (2.18), а Л и р постоянны: 7;рн = — де)7;р+ Лймр; й)т и + 2рЧ;еп = = — ИПЧ;Р+ ЛИНЧ!Чау" + рЧ!б'"К" (7хпв+ Ч,пх) = = — бе71р+ Лд'7;Ч,о" + рй "Ч,Ч,й + рб' 7)Чзп = знЧ Р + (Л + Р) еНЧ!Чхп ! РЧврвп~ = — Ч'р+(Л+ р) 7~й!пи+ )лап.
= Чв — оператор Лапласа. В Здесь Ч' = дн 7; и Ь = ЧвЧв декартовой системе координат деев Ьи = — + дх" д х! д~хг — +— ау ахт В векторном виде будем иметь 7;)о)= — ягайр+(Л+ р) ягай й!ти+)тли. (2 19) Таким образом, уравнения Навье — Стокса в произвольной криволинейной системе координат на основании (2 11) гл. И1 и (2Л9) будут иметь вид и1 — Р бн — у ! бм ! тяп. . зл Л+р За!тх р дх р Ы г) В римановом пространстве тенвор Т~ отличеиот нуля ив-ва кривнвны пространства, так как в искривленном йространстве невозможно обратить в нуль в Ленной точно одновременно Г< и дгфдхх (си.1 5 гл.
11). 174 Гз. 1Ч. Йамввутые свстемы мехаввческкх ураввеввй В векторной форме уравнения Навье — Стокса можно написать в виде — = К вЂ” — бган р + †Йо() й1чи + — (тт(. (2.20) де Х+ д1 р Р Р Полная сметена уревне ввв движения неежвмае мой вязвой жвавоетм Для вязкой несжимаемой жидкости уравнения Навье — Стокса упрощаются: — = Х' — — втаб р+ — Лп. (2.21) Ых д1 р Р Эти уравнения вместе с уравнением неразрывности о1ч и=О (2.23) где кр — компоненты вектора перемещений, а Г, (е) — первый инвариант тензора деформаций (1, (е) = р,в'), носят название уравнений Ламе. Дальше примем, что модули Ламе Х и р можно считать заданными постоянными. Для вывода уравнений Ламе в уравнения импульсов (2РН) гл.
П1 следует подставить закон Гука в случае бесконечно малых деформаций (2.23). Вывод этих уравнений вполне аналогичен приведенному составят полную систему уравнений движения однородной вязкой несжимаемой жидкости, подчиняющейся закону Навье— Стокса, в случае постоянного коэффициента вязкости р. В декартовой ортогональной системе координат полная система уравнений движения вообще неоднородной вязкой несжимаемой жидкости имеет внд др др др др д1 дх др дх — + и — + Р— + ю — =- О ди ди дш — + — + — =О, дх др дх ди ди ди ди 1 др, (д~и дии дииз — + и — + о — +и — = г"„— — — + т~ —,+ — + — ~, д1 дх ду дх " р дх (дх' дуи дхи( ' ди ди ди дх 1 др (дхи дхи дии ~ — + и — + о — + 1Р— =- г, — — — + т ~ —, д~ дх др дх и р др (,дх~ дф ' дхэ~ 1 дш дш дш дш 1 др (диш диш дхш~ — +ы — + — + — =х',— — — + ( —,+ — +— д1 дх дд дх ' р дх (,д - ди д (2.22) Ураввеввя двюиевмя в Уравнения движения в перемещениях веремещеввях дия увру- для упругого тела, удовлетворяющего закону Гука в случае малых дефор.иауий рн = Х1 (з)ем + 2р.е11, еи =.
— (Ч(иФ + Ч1кр), 1 2 3 2. Линейное упругое тело и линейная вязкая жидкость 175 вьппе выводу уравнений Навье — Стокса. Уравнения Ламе имеют вид (Л+р)пгабй1чтс ' рйи +рхе=ра. (2.24) В декартовой системе координат они записываются следующим образом: д / ди ди дм' Ра.— Р+р) —,~ —,+ —,+ —,)+ д /ди дх ди~ ра, = (Х + (з) — ( —.
+ — + — ) + ду ( дх ду дх ) Г дзх , дзх дзх г + р — -' —.+ —. +РР, (, дхз ' дуз дзз ) д !ди дх дх1 ра, = (1+ р) — ( — + — + — )+ дз,дх ду дг) / д'х дзх дзх ' (2.25) дх (дя „дх ж дз /хз дхх ' Уравнение неразрывности в теории упругости с малыми деформациями можно не рассматривать. Оно служит для определения р', которое не входит в основные уравнения Ламе.
Уравнения (2.24) установлены для малых деформаций, при этом перемещения, скорости и ускорения могут быть конечными. Однако часто рассматривают случай, когда малы не только деформации, но и сами перемещения, скорости н ускорения. где через и, щ и обозначены компоненты вектора перемещений ш. Уравнения Ламе выведены в предположении, что деформации малы, в частности, мало изменение плотности (р =. Рз + р, р' ~'- рз).
Поэтому в этих уравнениях с точностью до малых первого порядка нузкно писать р, вместо р. Система уравнений Ламе для динамических задач становится замкнутой, если к ней добавить определение ускорения: 176 Гл. 1». Замкнутые системы механических уравиеввй В атом случае после пренебрежения нелинейными членами получим д»»» а=— ше а упрощенные уравнения Ламе приобретают вид ()= —,), = Г+ — ятаа а(ттв+ — Лто. (2.2б) д»ю~ Х+ р Ш» )е4 Ро Ро В задачах теории упругости, как правило, требуется найти смещение индивидуальных частиц среды, например изменение формы внешних границ етвердото» тела. Поэтому в теории упругости обычно используют точку зрения Лагранжа и лагранжеву систему координат. Раньше было выяснено, что можно применять две лагранжевых системы координат — начальную и актуальную (см. гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
