Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Напомним, что ранее мы получили четыре универсальных уравнения, описывающих движение сплошной среды. Теперь к ним добавились три уравнения моментов количества движения. В классическом случае эти три дополнительных уравнения не содержат новых неизвестных, а просто уменьшают число независимых компонент тензора напряжений до шести.
Однако полученная система уравнений движения все еще незамкнута. В дальнейшем мы увидим, что для компонент тензора напряжений р'" в ряде случаев можно написать дополнительные формулы, связанные с физическими особенностями конкретных моделей сплошных сред, и после этого значительно продвинуться на пути получения замкнутой системы уравнений. Сделаем еще следующее общее замечание по поводу понятий векторов количества движения 9 и момента количества движения .Х. Вньютонианскоймеханике векторы О. и Х можно рассматривать как ннвариантные объекты, так как эти величины и соответствующие уравнения сохраняются при переходе от одной системы координат к любой другой декартовой или криволинейной системе, неподвижной относительно первоначальной.
Однако эти «инвариантные» объекты существенным образом связаны с выбором системы отсчета наблюдателя. При переходе от одной системы отсчета к другой, подвизкной относительно первоначальной, этивекторыизменяются, даже если этот переход происходит от одной инерциальной системы к другой, также инерциальной. В общем случае при переходе к произвольной подвижной (неинерциальной) системе координат соответствующие уравнения (уравнения количества движения и момента количества движения) изменяются за счет появления в правых частях добавочных внешних сил инерции. Подчеркнем, что хотя векторы 9 и Х в указанном выше смысле инвариантны, однако они не могут быть определены незави- 156 Гл.
111. Динамические понятия и динамические ураввеввя симо от выбора системы отсчета в классе систем, движущихся друг относительно друга'). Если рассматривать все процессы для среды в сопутствующей системе координат, то в атой систе- ме количество движения всегда равно нулю. 5 4.
Главные осп и главные компоненты симметричного тензора напряжений Тенэсрвая поверхность тевзсра вапряжеввй Будем пользоваться для простоты декартовой системой координат, в которой, как известно, расположение индексов несущественно. Введем векторы т = х,.з', выходящие из точки О и направленные по п:, тогда, очевидно, и, = сов (пхг) .== х,/г. Выберем длину векторов т так, чтобы Р„„г' = Рмхгхг —— 2Ф (х, У, з) = сопз1, где 2Ф (х, у, х) — квадратичная форма, соответствующая симметричному тензору напряжений Р.
Геометрическое место точек, для которьгх рмхгх; = 2Ф (х, у, з) = сопзь, образует поверхность второго порядка, которая является тензорной поверхностью тензора напряжений. Основное свойство внутренних напряжений (2.4) можно записать в виде 2г =Рпг=У— г х, И Г или, в проекциях на оси х„декартовой системы координат в виде гр" = рмхе П Это обстоятельство (зависимость уравнений и глобальных характеристик 11 и Х от выбора системы отсчета) проявляется особенно парадоксально в'общей теории относительности — с одной стороны, в связи с осложвевием вопроса с суммировании трехмерных векторов, эаданвмх в рвзлвчвых точках рвыаиова пространства, и, с другой стороны, в связи с теы, что нельзя, вообще говоря, выделить физически какие-либо преимущественные системы отсчета.
Построим тензорпую поверхность тенаора напряя<сний. Выберем любую точку О среды и рассмотрим проходящие через нее площадки дп, характеризуемые разными нормалями тз. На каждой из этих площадок действует поверхностная сила плотности 1с„, которую иногда называют напряжением. Спроектировав напряжение 1т„на соответствующую нормаль в, получим р„„= р„н = (у~.та) пг = рмп„по $4. Главные оси и главные компоненты тензора напряжений 157 Непосредственной проверкой можно установить, что дФ рмх» =— дев и, следовательно, дФ гр" = —, и де т. е. г»о = ягайФ.
Поэтому, зная тензорную поверхность Ф = сопз1, можно геометрически следующим образом найти направление напряжения »о„, действующего на площадке»4о с нор- 6 малью т. Из точки О перпендику- г лярно к заданной площадке прово- »Гд дится вектор т' (рис. 28). В точке 0 пересечения г с поверхностью Ф = сопзс проводится касательная плоскость о к тензорной поверхно- Рис. 28. Тевзорная позер*- сти; очевидно, что вектор »о„перпен- ность тензора напряжений. днкулярен касательной плоскости о. Как известно, поверхности второго поГпаввые оси симметричного тензора иапряж»жай рядка имеют по крайней мере три направ- ления г, для которых касательные плоскости а перпендикулярны к г. Такие направления называются главными направлениями, и для них, очевидно, у»„ортогонально»4а. В общем случае таких направлений только три.
Они образуют ортогональный триэдр и называются главными осями тензора напряжений. Если тензорная поверхность Ф = сопя»в поверхность вращения, например сфера, то таких направлений бесконечно много. Для площадок, ортогональных главным направлениям, т»„ коллинеарно тз, и, следовательно, должны выполняться равенства (4Л) т» =- р"» п»э„= Ъ»ть = )»л»э» о вли р'п»эа = ХЬ'„п»э", » откуда (𻄠— )Х4)п»э" = О, 158 Гл. »П. Двяамичесвяе понятия и динамические ураввевия Мы получили однородную систему трех алгебраических уравнений для определения направляющих косинусов трех главных направлений лк Зта система будет иметь нетривиальное решение только при условии Л = 0ез~р» — ЛЬ»»,$ = !р', — Лбу!= О, Р» — Л р» Р» Рз Рэ Рз =О (4.3) или, в развернутом виде, (4.4) — Лз + Х»Л' — Х»Л + Х„ =- О, а где р„= Х„ и называются главными компонентами тензора напряжений.
Зная р„р„р„из системы уравнений (4.2) найдем компоненты л,, векторов т», определяющих главные направления (при этом надо использовать так>не условия ортогональности и условия и' = 1). Очевидно, что формула (4.1), уравнения (4.2) и (4.3) верны в любой криволинейной системе координат. Уравнение тензорной поверхности 2Ф = сопзС приводится в главных осях л, р, з к каноническому виду: 2Ф = р»х' + р,у' + рзг' = сонэ». Для компонент тензора напряжений в главных осях имеем Р» =Р;=Ри=Л,=Р, р"» = р»„= р„= О при й+».
На площадках, перпендикулярных к главным осям напряжений, отличны от нуля только нормальные составляющие на- Мы получили вековое уравнение. Как известно, если тензор рп симметричный, то это уравнение имеет три действительных корня. Корни Л„Л„Лэ этого уравнения, по (4.1), определяют напряжения на площадках, ортогональных главным направлениям (главных площадках): Лт=Ро=р' Ла=ро=р~~ Лэ=Р~~=Р~ $4. Главные осн н главные компоненты тевзора напряженна 159 ! пряжений, а касательные составляющие напряжений равны нулю. Если Рз =Рз =Рз, то тензоРнап повеРхность тензоРа напряжений — сфера. Мы ввели в рассмотрение главные оси тензора деформаций, наора напряжений и тензора скоростей деформаций.
В общем лучае все зти оси разные. Условия их совпадения связаны, как мы увидим в дальнейшем, с сильными физическими допущениями относительно свойств рассматриваемых сред. Если р, + О, а рз = р, = О, то в данной точке сплошной сРеды мы имеем чистое РастЯжение вдоль оси хы если Р, ) О, и чистое сжатие, если р, (О. Таким образом, лзобое напряженное состояние в данной точке сплошной среды можно рассматривать как совокупность трех чистых растяжений или сжатий вдоль главных осей тенаора напряжений. Козффициевты векового уравнения (4.4) являются инвариантами тензора напряжений. Они, очевидно, выражаются через корпи векового уравнения по формулам т з = Р1 + Рз + Рз тз = Рзрз + Рзрз + РзРз зз = РзРзРз.
ГЛАВА 1у ЗАМКЕЕУТЪ|Е СИСТЕМЫ МЕХАНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ МОДЕЛЕЙ СПЛОШНЪ|Х СРЕД. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА й |. Идеальнгзе жидкость н газ Дифференциальные уравнения неразрывности, движения н моментов количества движения выполняются при любых непрерывных движениях всех сплошных сред. Однако различные реальные среды при одних и тех же внешних условиях ведут себя по-разному. Следовательно, одних этих уравнений, даже с добавлением соответствующих граничных условий, недостаточно для описания двюкения конкретной сплошной среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
