Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(3.4) г Е г Е Производная по времени от момецта количества движения проиавольного индивидуального обт ема У сплошной среды (с учетом собственных моментов) Равна сумме моментовавнешних массовых и поверхностных сил, действующих на этот объем, и «ЗЗ Гл. ГЫ. дяяаяячееяяе понятия я дяяаяяческяе ущмп сумме моментов действующих на этот объем расврьченых массовых и поверхностных пар, вызванных внешвзащог ношению к объему материальньвяи объектами. Уравнение моментов количества движения, как вдзенв количества движения, постулируется для индивдтцццо объема К сплошной среды подобно тому, как для з;в~йщж риальной точки постулируется законйьютона .р' =ш Пцчеркнем, что уравнение моментов количества двкяицлз индивидуального объема У сплошной среды не взщж щ уравнения моментов количества движения механнзыажз материальных точен, а является самостоятельным уззяцц, Все предшествующие его формулировке рассужденщццущ рассматривать только как наводящие, эвристнчесзвааРг жепия.
Уравнение (3.4) для любых конечных индивидуалвщщь ленво выделенных объемов принимается наряду с ууявни количества движения в качестве базисного векторного йцаия механики сплошной среды. Это уравнение применяетсццзбых сплошных сред и для любых движений как неяр~щщь так и с наличием характеристик, разрывных по коовшяз точек пространства и по времени. Заметим, что в настоящее время приходится вводщиущ смотрение другие моменты более высокого порядка и (ер~ировать другие новые основные соотношения механики ~цщщз среды, аналогичные уравнению моментов количества ццзш (3.4) первого порядка. В классическом случае при оя1хвщ Ураяяеяяе моментов яе - внутренних моментов количеств~ Вщ„ лячеетва яяяжеяяя в явления и распределенных массовых зщя)ь постных пар уравнение моментовщшь ства двюкения имеет вид — ~(т' Х о) рот = — $(т' Х р')рсй+ ~(т' Х уэ ) й, (35) Производная по времени от момента количества дввяш индивидуального объема Г сплошной среды относвтелщщ которой точки О (связанной с инерциальной системой кооршв) равняется сумме моментов внешних массовых и повйпю.
ных сил, действующих на этот объем, относительно яйю точки О. Коли на тело внешние силы не действуют, то, очевхаз, и момент количества движения аь постоянен. ф в нагни. к~ 1,:,. г~~ «~гннтнтск, „~океана ~~ $~4~~ «,Ине объек '~~ 'г~». г вне1,г ~~ф обънснз~ того ~~ ~е г распре в ф ~~~веские м.~ Й~ 'твв Каюй~в авьи. внепг- того М я„, Редсг Тогда Уъ~~ 152 Гл. И1. двзамвчесввв вовятвя и динамические уравнения сумме моментов действующих на этот объем распределенных массовых и поверхностных пар, вызванных внешними по отношению к объему материальными объектами. Уравнение моментов количества движения, как и уравнение количества движения, постулнруется для индивидуального объема У сплошной среды подобно тому, как для одной материальной точки постулируется закон Ньютона .Р = та.
Подчеркнем, что уравнение моментов количества движения для шщивидуального объема Р сплошной среды не вытекает из уравнения моментов количеств» движения механики системы материальных точек, а является самостоятельным уравнением. Все предшествугощне его формулировке рассуждения следует рассматривать только как наводящие, эвристические соображения. Уравнение (3.4) для любых конечных индивидуальных мысленно выделенных объемов принимается наряду с уравнением количества движения в качестве базисного векторного уравнения механики сплошной среды. Зто уравнение применяется для любых сплошных сред н для любых движений как непрерывных, так и с наличием характеристик, разрывных по координатам точек пространства и по времени.
Заметим, что в настоящее время приходится вводить в рассмотрение другие моменты более высокого порядка и формулировать другие новые основные соотношения механики сплошной среды, аналогичные уравнению моментов количества движения (3.4) первого порядка. В классическом случае при отсутствии Уразяевве моментов ко- внутренних моментов количества движеличестза движения в класния и распределенных массовых н поверхностных пар уравнение моментов количества движения имеет вид — ", ~(г Х е)рот= ~(т Х й')рот+ ~(э Х р„)~Ь. (3.5) Производная по времени от момента количества двиягения индивидуального объема У сплошной среды относительно некоторой точки О (связанной с инерциальной системой координат) равняется сумме моментов внешних массовых и поверхностных сил, действующих на этот объем, относительно той же точки О.
Если на тело внешние силы не действуют, то, очевидно, т о. Уравнения момевтов количества движения ЫЗ Гироматиитяый аффект и уравнение моментов коли- чества двяжеиия Уравиеиие моментов количества дкижеиия я дифференциальной форме (ю х тз„) Ис = ~ (г х тр) и< Ыс = ~0, (т х у') Ыт. Можно показать, что, аналогично внутренним напряжениям р„, моменты распределенных поверхностных пар Я„можно представить в виде (з =9'пь Тогда с помощью теоремы Гаусса — Остроградского получим Рассмотрим опыт, который укааывает на то, что внутренние моменты количества движения и распределенные массовые пары, вообще говоря, нужно учитывать.
Если в магнитное поле поместить желеаный стеряеень, то он намагнитится, и можно показать, что сумма внутренних моментов й вием станет отличной от нуля. В самом деле, пусть этот стеряеень свободно подвешен при наличии магнитного поля в пустоте н находится в покое. Снимем магнитное поле. Тогда из-за хаотического теплового движения распределение внутренних моментов ге в стержне через некоторое время станет беспорядочным, и позтому сумма внутренних моментов количества движения обратится в нуль. При этом, так как на стержень не действуют никакие внешние объекты, полный момент количества двшкенвя должен сохраниться.
Позтому должон возникнуть момент количества движения за счет вращения стержня как целого, и стержень должен начать вращаться. Опыт показывает, что после снятия магнитного поля такой стержень действительно начинает вращаться. Это так называемый гнромагнитный эффект. Его нельзя объяснить без учета внутренних моментов количества движения и распределенных массовых пар.
В случае непрерывных движений сплошной среды можно воспользоваться равенством (2.4) и теоремой Гаусса — Остроградского иполучить для суммы моментов внешних поверхностныхсил выражение в виде интеграла, взятого по объему У: 1са Гл. 111. Динамические понятия и динамические уравнения Воспользуемся еще преобразованием 7; (т х ф) Ы с = ~ (т' х р,ря) ~(т + Г)(р,т х рт') Ыт = т Ъ = )(з' Х уды~)Ит+ ')(з; Х эл)ржет, так как 71к=- — =за д~ М Теперь при условии, что масса Йи = — р дт постоянна, теорему моментов количества движения (3.4) можно записать в виде ~~т Х ( о —.Р' — — Г;Р1)~Рс(т -(- ~ о РНт.= т =- ') 1ьр дт+ ) т;9' Ыт -(- ~ (э, х з„) р" Ыс ч нли, в силу уравнения количества движения (2.11), в виде ~ — рот =- ~1тргй + ~7~9'а'с + ~(э; х з~) ржет. Отсюда, так как объем т' сплошной среды произволен, получим уравнение моментов количества движения в случае непрерывных движений сплошной среды в дифференциальной форме: р,~ = рй + Г;(у' + (э; х зт) рм.
(3.3) (з, х э„) р" = О. (3.7) Уравнение моментов (3.7), очевидно, можно записать еще следующим образом: (эе Х эт) Рм+ (эе Х эт) Р"' = О. Ф<1 т)Ф Симметрия тевзора вапряиеввй в классическом случае В последней сумме заменим индексы суммирования я на 1, а 1 на й и получим (э, Х э„) Рм+ (эт Х э,) Р'" = О а<4 о< 1 или, по свойству векторных произведений, (э, х э„) (рм — ры) = О.
т<$ В классическом случае, при отсутствии внутренних моментов и массовых и поверхностных распределенных пар, уравнение моментов количества движения (3.6) приобретает вид 'з 3. Уравнення моментов количества движения 1оо Отсюда вытекает, что рз' = р™ при й+ з, т. е. р зз рзз рм зз зз зз Таким образом, уравнение моментов в классическом случае сводится к следствию — тензор напри(пений симметричен. Очевидно, что уравнение моментов количества движения (3.7) удовлетворяется тождественно, если тензор напряжений симметричен. Подчеркнем, что симметрия тензора напряжений вытекает из уравнения моментов количества движения, вообще говоря, только в случае отсутствия внутренних моментов количества движения и внешних массовых и поверхностных пар взаимодействия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
