Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Сложив уравнения количества движения (2Л) для всех л точен, получим а о о Я~ ' ' —— - — ~,~~ тр~) —.:,~~ Е~'~, ,1 ". ",1 1=1 где справа стоит сумма всех только внешних по отношению к системе сил, так как внутренние силы взаимодействия по третьему закону Ньютона существуют попарно и при суммировании сокращаются.
Сумма Я = ~~~~ т~ть = тв', где т = ~~~~ т, — масса всей системы, а п* — скорость центра масс системы из и точек, Ю = 4=!с 1 называется количеством движения системы, и мы приходим к уравнению количества движения для системы из и материальных точек: » з ~ Е, или т ~~~~ ~Е, Сеа ( 1 Производная по времени от количества движения системы материальных точек равняется сумме всех действующих насистему внешних сил. Или иначе — масса, умноженная на ускорение центра масс системы, равняется сумме всех внешних сил, действующих на систему. Таким образом, движению любой системы материальных точек можно поставить в соответствие движение одной материальной точки — центра масс системы. При малых размерах системы для далеких наблюдателей движение системы точек во многих вопросах можно свести к движению одной точки— пентра масс системы.
Уравнение движения материальной точки имеет универсальное аначение, его можно применять к всевоаможным механиче- 133 Гл. Ш. динамические понятия и динамические уравнения скин системам: галактикам, авездам, планетам, любым летательным аппаратам, человеку, птицам, насекомым и т. д. и т. п. Обобщим теперь уравнение количества движения на случай конечного объема 7 сплошной среды, ограниченного поверхностью Х. Напишем ото уравнение, так как Уравнение количества дюнкеиня для коночного объема синюшной среды от — (вр~)т) =- ~ — с(т = — ~ пйт = — ')ир1т И Г Но Л Г ЫГ ,)а ш) ш,1 р ЗХ в виде д, —— ~ Грс(т+ ~ у„Ыа, где по определению есть количество движения сплошной среды, занимающей объем К, а .Гр~(т и ~ р„сЬ вЂ” суммы внешних массовых и поверхностных сил, действующих на среду в объеме У, соответственно.
Таким образом, для любого индивидуального объема Р сплошной среды можно написать уравнение количества движения: (2.2) т. е. проиаводная по времени количества движения объема У сплошной среды равняется сумме всех внешних действующих на него массовых и поверхностных сил. Выделяемый мысленно объем У является проиевольным субстациональным подвижным де4ормируемым объемом, состоящим по определению иа одних и тех же частиц среды. Если на массу в объеме У, кроме внешних распределенных сил, действуют еще внешние сосредоточенные в точке силы или силы, сосредоточенные вдоль некоторых линий, то их сумму следует добавить в правую часть уравнения (2.2). Равенство (2.2) является основным постулируемым динамическим соотношением механики сплошной среды.
Подобно тому как второй закон Ньютона является исходным уравнением в механике точки, уравнение количества движения (2.2) положено $2. Уравнения двяжевяя сплошной среды 139 в основу механики сплошной среды. Все предшествующие рассуждения следует рассматривать как наводящие эвристические соображения, связывающие уравнение (2.2) для сплошной среды и уравнение Ньютона для материальной точки. В обоснование уравнения (2.2) можно привести также следующее соображение.
По формуле тт»' = прЫт можно ввести скорость т»* центра масс объема У сплошной среды и сформулировать уравнение количества движения (2.2) как уравнение движения центра масс индивидуального объема»г сплошной среды: т — „=-. ~ Рр Йт-) ~ у„сЬ. Заметим, что соотношение (2.2) часто называгот уравнением импульсов, так как его моягно записать еще в следующем виде: д ердт = лердтд1 -'; — 2»„д1сЬ. На соотношение (2.2) можно смотреть как на равенство, определяющее силы. Действительно, все известные для сил законы получены из этого уравнения, т. е. обобщенного второго закона Ньютона '). Эти законы поясно получать на основании наблюдений в опытах, с помощью различных гипотез или с помощью «мысленных экспериментов ~, формулируемых как обобщение практических данных.
Определив законы для сил с помощью (2.2) в предварительных исследованиях, в других случаях, уже зная силы, из (2.2) моя~но находить соответствующие этим силам движения. Уравнение количества движения (2.2) является исходным уравнением для любых движений сплошной среды, в том числе и для разрывных движений, когда характеристики движения и состояния сплошной среды не являются всюду в объеме У непрерывными функциямикоординат,и для ударных процессов, когда характеристики движения и состояния в рассматриваемом объеме среды являются разрывными функциями времени.
В частности, в области непрерывных движений интегральная теорема количества движения (2.2) эквивалентна дифференциальным уравнениям движения сплошной среды, которые мы установим ниже; из уравнения (2.2) следует также, что поверхно- В Более подробно этот вопрос освещен »книге Л. И. С ел о в а»Иетсди подобия и размерностя в механике»,яэд. б-е, гл. 1, $5, стр. 19 — 25, Иэд-эо »Наука», 1967. 140 Гл.
1И. Динамические понятия и дииемачесиие уравиевия Оеиовиое свойство ввут реввих иапрямеввй — р Ь' = ~ Г'р Ь + ~ Ыа + ~ ут„Ва, Ув У~ 1 в (фоа.= ( ~и;-)м.-~~ т. (фри =(три, ~т.е, У У где через г и Х'" обозначены плотности массовых распределенных сил, действующих соответственно на объемы Ф; и т',. После сложения двух первых равенств и вычитания из их суммы третьего при условии, что для внутренних массовых сил всегда выполняется закон равенства действия и противодействия, т. е. ~тра*<-~три =~яр~. У; будем иметь ~ (Р„+ 1о ) Ыс = О.
Б Отсюда в силу произвольности объемов У, У, Ге и сечения Я вьпекает, что (2.3) Отметим, что предположение о непрерывности движения существенно. Например, равенство (2.3), как будет покааано ниже (см. гл. У11), не выполняется, если внутри т' имеется поверхность разрыва скорости е, через которую переходят ча- стные напряжения ут„для любых сред и любых движений должны удовлетворять йекоторым универсальным соотношениям, к выводу которых мы и переходим. Итак, перейдем к выводу ограничений, которые накладывает уравнение количества движения (2.2) на возможный вид зависимости напряжений 1т„от ориентации соответствующих площадок, взятых в данной точке, в случае непрерывных движений сплошной среды, Возьмем мысленно объем У и разделим его произвольным сечением Я на две части У и те (рис. 23).
Применив уравнение количества движении (2.2) отдельно к 1', и 1", и ко всему объему Ув целом и замечая, что взаимодействие резделенных частей может осуществляться с помощью массовых распределенных спл и посредством поверхностных сил, распределенных по сечению Я, можем написать: г 2. уревневвя двкжеввя сплошной среды 141 стицы материальной среды. В атом случае его надо заменить другим соотношением. Уравнение количества движения (2.2) применимо к любому, в том числе и сколь угодно малому, материальному объему Р.
Выясним те ограничения, которые накладывает на подынтегральные функции, входящие в уравнение количества движения (2.2), применимость етого уравнения в написанной форме к любому сколь угодно мааоггу индивидуальному объему сплошной среды. Для етого, предположив характеристики движения непрерывными и конечными, составим выражение которое для любого индивидуального объема г' должно точно равняться нулю.
Очевидно, что прн стягивании в точку объема г'независимо от вида подынтегральных функций верно предельное равенство Пшй О. т е Оно выполняется при любых конечных функциях, входящих в подынтегральные выражения Й. Возьмем теперь в данный момент времени произвольную точ- гг ку М сплошной среды и проведем из нее направления, параллельные осям декартовой системы о координат (рис. 25). Отложим на л них произвольные бесконечно У малые отрезки ог = МА, др = = МС и Иг = МВ и рассмотрим объем Р в виде построенного таким путем бесконечно малого тетраэдра МАВС.
Его грани МВС Рве. 25. К свойству внУтРен- МАВ, МАС перпендикулярны пнх напряжений. к соответствующим осям координат, а грань АВС ориентирована произвольно. Ее ориентация определяется единичным вектором нормали и = соз (пг) е + сов(ир) у + сов (пг) ю = п,э'. Напряжения на площадках с нормалями е, у, й, тг обозначим соответственно через угг, йгг,.угг и уг, а площадьграниАВС— через Я. Площади граней МВС, МАФ, МА С при атом, очевидно, будут равны Ясов (лг); Ясов(ку), Ясов(яг), а объем тетраздра 142 Гл. 111. Динамические понятия и дввамвческио уравнения 1 $' = — ЬЮ, где Ь вЂ” высота, опущенная из вершины М на грань АВС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
