Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 24
Текст из файла (страница 24)
21, а, то циркуляция по нарисованной на рисунке линии тока отлична от нуля, Квяематичеехве теоремы Гельмгольца о вихрях Примеры вихревых те чеявй Гс = ~ о,й+О, ф = ЙО = Ь агс1я— и л (8.10) Это течение потенциально, и = ягабф, его линии тока ортогональны поверхностям ф = сопз1 и являются, следовательно, в плоскости хОу окружностями. Скорость направлена в сторону роста ф, и поэтому, если к ) О, течение направлено так нак подынтегральное выражение на всем промежутке интегрирования не меняет знака; по теореме Стокса на поверхности, натянутой на контур С, должны суп1ествовать точки с а„+ О, течение вихревое.
Но этот вывод справедлив только в условиях применимости теоремы Стокса, т. е. тогда, когда на С можно натянуть поверхность Х, на которой полее вместе со своими частными производными непрерывно. Например, нельзя сделать вывода о том, что течение при наличии распределения скоростей (рис. 21, а) вихревое, если контур С охватывает твердое цилиндрическое тело с образующей, параллельной оси г (рис. 21, б). Нельзя сделать такого вывода и тогда, когда поля и или ю имеют внутри С особенности. В этой связи остановимся подробнее на примере течения Ги. П.
Кинематика деформируемой среды так,как показано на рис. 24,в. Циркуляция Г по любой окружности, совпадающей с линией тока, отлична от нуля, хотя течение потенциально всюду, кроменачала координат, где потенциал не определен. Если мы подсчитаем вектор вихря для этого течения, то увидим, что он будет равен нулю всюду, кроме оси в; на оси з величину ю нужно приравнять бесконечности. Таким образом, вдоль оси з поля и и ю имеют особенности, б) в) Рис. 21. Примеры вовможвых вихревых течений. Вдоль оси и имеется изолированная вихревая нить конечной интенсивности Г = 2лй.
Это течение носит название течения от изолированного вихря. Не следует думать, что вихревые течения обязательно связаны с наличием в потоке замкнутых линий тока. Рассмотрим течение (рис. 21, г) в=в=О, и =ау, где а — постоянная положительная величина.
Траектории, совпадающие с линиями тока в этом течении, — прямые, параллельные оси х. Распределение скоростей вдоль любой прямой х = сопев линейное. Непосрественное вычисление компонент ю в декартовых осях координат дает а аь =сов=О, юв= — —, т. е. течение вихревое, ю направлен против оси з и не меняется от точки к точке.
Бесконечно малая жидкая частица, взятая в момент т в виде квадрата АВСВ, в момент г + Ьт перейдет в ромб А'В'СЪ'. Можно показать, что главные оси тензора скоростей деформаций в момент 1 совпадают с диагоналями квадрата, а в момент т + Лт они переходят в диагонали ромба. Углы между главными осями в процессе движения остаются, очевидно, прямыми, но их ориентация в пространстве меняется. Они вращаются с угловой скоростью ю = — — ю. 2 т 8. Теоремы Стокса и Гаусса — Остроградского 119 Теорема Гаусса †Острог- радского Рис. 22. К теореме Гаусса — Остроградского. Изменение объема У' — У, очевидно, будет равно т — Г = ОоЫ бб. Уменьшение У' по отношению к Уучнтывается при этом автоматически условием о том, что нормаль всегда внешняя к К Скорость изменения объема равна 11Ш = побб. р' — р ш о Аналогично для бесконечно малого объема $'е, ограниченного поверхностью Хе, будем иметь р» р ° 11ш = особ.
ы с ЛФ Воспользовавшись определением дивергенции вектора скорости (7.28) и вспомнив ее механический смысл, в декартовой системе координат получим о„дб = ~ (исоа(п, к)+ исоа(п, р)+ юсов(п, з)1Иб = в Е = У* йт и + т"э = ~ — + — + — ~ т" + т'"е (дм де де 1 ° ~дх др дг) где е — бесконечно малая величина. (8Л 1) Напомним теперь теорему Гаусса — Остроградского. Возьмем в движущейся среде в момент 1 индивидуальный объем У сплошной среды, ограниченный поверхностью Х.
В каждой точке поверхности Х выберем внешнтоюпо отношению к нормаль тс. В момент 1+ Лд этот объем перейдет в объем т', а Х вЂ” в поверхность Е', ограничивающую $" (рис. 22). 120 Гл. 11. Кинематика деформнруемой среды Конечный объем У всегда можно разбить на бесконечно малые объемы У» и для каждого иэ них написать равенство (8.11), вски и внутри Р' непрерывно и дифференцируемо. Просуммировав (ЗА1) по всем составляющим уе и взяв предел при числе разбиений, стремящемся к бесконечности, и Уе -е О, получим (исоа(и, х)+ исоа(и, у)+ юсов(и, 3)) дб =- -- ~ (,' + —,'" + ф) А, (8А2) т так как в левой части интегралы, взятые по смежньпе поверхно стям Хе, в силу противоположных направлений нормалей к ним сократятся н в пределе останется интеграл только по внешней поверхности Х.
Равенство (8.12) и представляет собой теорему Гаусса — Остроградского о преобразовании интеграла, взятого по замкнутой поверхности Х, в интеграл, взятый по ограниченному этой поверхностью Х объему У. Равенство (8.12) можно написать в виде, независимом от выбора системы координат: (8 18) впуб Е т Очевидно, любой непрерывный и имеющий первые непрерывные производные внутри У и на поверхности Х вектор А можно трактовать как скорость и и получить для него формулу Гаусса — Остроградского: А тедб= ~ й1тА Ыт. Более того, так как в данной системе координат любые три величины Р, ф Л можно трактовать как компоненты вектора, теорему Гаусса — Остроградского можно написать для любых трех непрерывных и дифференцируемых функций Р, О, В от х, у, э, а именно: (Рсоа(и,,х)+ асов(и, у)+ Ясов(и, зЦс(б = ~(дР 8е дВ) Под интегралами в формуле Гаусса — Остроградского как справа, так и слева стоят инвариантные, не зависящие от т 3.
Теоремы Стокса и Гаусса †Остроградско 121 выбора системы координат величины. Если они известны вде- картовой системе координат, то их легко вычислить в любой другой системе координат. А именно, пусть в любой систе- ме ц', т)», тг' А = А "э», та =- л,э'; тогда А.тз = А»я 1 81тА = Ч»А =- — + А Г»о » дА» „» з~» где символы Кристоффеля Г»; вычисляются согласно полученным вьппе формулам по дн в пространстве Ч', т)', Че (л,.~ можно вычислить по формулам преобразования от декартовой системы координат н данной системе т~', т)», т)е). Теперь теорему Гаусса — Остроградского можно написать в следующем виде: А»и»бс = ~ Ч»А»(И, »» Ъ (8Л4) Дх, р,з, ~)ат по подвижному объему Р.
Вычислим производную — ~(х, у, г, 1)Ит, где от г зависит не только подынтегральная функция, но и область интегрирования У. По определению производной (см. который справедлив в произвольной криволинейной системе координат. Заметим, что число измерений пространства при выводе теоремы Гаусса — Остроградского может быть произвольным. В механике и в физике зта теорема часто применяется для двумерных, трехмерных и четырехмерных областей. ,р мула двфф . Выведем еще одну полезную для дальвавия во времеви вв- нейтего формулу векторного анализа. те»рака, взятого ио вод. Пусть имеется произвольная функция ввжвому объему (она может быть и тензором), зависящая от координат точек пространства и от времени т. Рассмотрим интеграл $8.
Теореки Стокса н Гаусса — Остроградского 123 Применим формулу (8.16) к частному случаю. Пусть 1 у= —, У где г" — объем сплошной среды. Очевидно, в этом случае функ- пия / зависит от переменного объема У вЂ” области интегрирова- ния (8 15), т. е. она зависит только от 1 и не зависит от коорди- нат. Ясно, что всегда верно кинематическое тождество и по (8 16) — + 7, (у и'Лот.= 0 (8.20) нлн 1 +,' а(ти~Ь =6. (8.21) Это тождество может быть написано как для всего объема $' движущейся среды, так и для любой его части. Применяя (8.21) к бесконечно малому объему Л г', получим (8.22) где й1т и взята в той точке, к которойстягивается ЛК Подчерк- нем, что это равенство верно для любых сред и никак не связа- но со свойствами движущейся среды.
В частности, оно верно и для нематериальных сред, например фазового пространства. Г Л А В А 111 ДИНАМИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ з 1. Уравнение неразрывности Перейдем к изучению движения физических объектов, т. е. материальных тел и полей. Вэтом и в ряде последующих разделов в основном будут рассматриваться законы движения только материальных тел. Материальными телами называются тела, обладающие свойством инерции. Свойство инерции характеризуется массой. Массу можно ввести как для всего тела в целом т, так и для любой его части тг По определению масса всего тела т равна сумме масс т,.
всех составляющих тело частей. Фундаментальным законом ньютонианЗаков сохранения массы; ской механики является закон сохранения паотвееть1 Ураввевве ве массы т любого индивидуального объема, разрыкпестн в переменных Эклера т. е. объема, состоящего из одних и тех же частиц среды. Этот закон можно рассматривать как опытно установленный закон природы, верный в определенном приближении. Одно из основных уравнений механики сплошной среды заключается в том, что для любого нндшищуального объема т = сопз1. Это уравнение можно записать еще в другой форме, а именно: — = о. (1.1) Введем среднюю плотность Ьт реа =,~, где А г — объем, занятый массой'Ат; истинную плотность определим нак следующий предел: Ат р = 1ив —. агВ механике сплошной среды почти всегда вместо массы т рассматривают плотность р. Для малого объема верно равенство Ат ~- рДУ; $1. Уравнение неразрывности для конечного объема — равенство т= рот, — р(т= Э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
