Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Бесконечно малое аффкн- Возьмем бесконечно малую частицу оплошное преобразование малой ной среды и изучим вопрос о распределечастицы сплошной срсдсы нии скоростей в атой частице. Под бескоза время Лс печно малой частицей будем понимать совокупность точек среды с координатами эс + с1$1 = ьс + р', удаленных от данной точки 0 с координатами $с, йв, эа, называемой центром частицы, на бесконечно малые расстояния р.
Поле скоростей тс предполагаем непрерыв- ным и имеющим производные по 4Ябс/б,с крайней мере первого порядка. Пусть скорость точки 0 сс,1/ есть тс„а любой точки О, массЖЖ~ дой частицы среды — тс . За бесконечно малое время И ввсСбс ° т ы все время состоящий из од- С у' в них и тех же частиц среды ввкг+дг тор 00, = р превратится в вектор О'0', = р', и, очевидно Рис. 1о.
Перемещение бесконечной (ркс 15) малой частицы сплошной сроды Лс. р' = р + (тс, — тсо) Ь1. (7.1) Возьмем разложение тс в окрестности 0 с точностью до ма- лых первого порядка по р: $7. Распределение скоростей в бсскоисчко малой частице 99 В последней формуле (7.4) выделены членьд, содержащие симметричный тензор еа,. и антисимметричный тензор ода,.'.
1 ~доз додд ода = — (р и. — р л.) = — ( — — — ) 2 (дуд ду" д'' (7.5) Рассмотрим теперь механическое истолкование каждого члена формулы (7.4) для скоростей точек малой частицы сплошной среды. В связи с этим для наглядности перепишем (7.4) в проекциях на декартовы оси координат, считая, что р = х'Х + хз,у + хаус = хб+ уо + зус.
Получим ид =.: и, + емхд+ одддхд, ид = оо + ез,х'+ одздх', юд = — део + ездх + <сзтх ° (7.6) Компоненты едд и од;, в этих формулах не зависят от х', а члены более высокого порядка по х', чем первый, опущены. Введем квадратичную форму: 1 Ф = — — ерохвхо; 2 очевидно, будем иметь дФ емх = д,л. (7.7) (7.8) Формулы (7.6) можно переписать в виде дФ о + дхд + одддх, дФ ддд = д о+ х з+ юздх дФ кдд = жо + — + сдаст длз (7.9) 4о расиределоиис скоростей Перепишем (7,2), выраядающее скорость в бсскоксчио малой час- дпобой точки О бесконечно малой частитицс дсуормирусддой цы сплошной среды тд через скорость ее центра тдо, производные от тд в центре и координаты рассматриваемой точки, в другом виде: тдд = ис -~- д до„р'э'-+ рО(р) =- = тд + —, (р,.в,,+ рзод)р'э" + —., (рдел — удод)рэ + + О( ) +е, 'эи+ дяр'эо+рО(р).
(74) з л. 11. Кинематика деформируемой среды О оз,з еззз — о — оззз — аззз О 0 оз„з оззз оззз О оззз оззз зозз О 0 — юз озз т. е. введем обозначения озз = оззз озз = оззз езз = юзз (7.10) По (7.5) и (7ЛО) в декартовой системе координат будем иметь 1 !дх дала ез 2 (,ду дз!' (7Л1) Непосредственной проверкой можно убедиться, что формулы (7Л1) легко получаются из следующего символического представления: 4,1 уе д д д дх ду дз и у зл 1 4+ д+ (7.12) После введения обозначений юз, а„озз по (7ЛО) формулы (7.9) перепишутся в виде дФ пт = из+ д + еззи — оззу, 1 дФ уз = уе + — + оззх — еззи~ ду дФ юз = зле+ — + юзу — юзх дз (?ЛЗ) Таким образом, скорость точек бесконечно малой частицы сплошной среды разбита на три составляющие, первая ие которых тзе (ие, ие, ю ) не еависит от координат х', х', хз и, следовательно, представляет собой скорость поступательного движения всей частицы (она совпадает со скоростью движения центра частицы), а вторая составляющая (дФ/дх', дФ/дхз, дФ/дхз) имеет потенциал Ф.
Для более детального исследования третьей составлЯющей (ю„хц озз,х', озз,.хз) введем в декаРтовой системе координат антисимметри сную матрицу 1 7. Распределение скоростей в бесконечно малой частице 101 или согласно (7Л2) в виде иг = ив + — + (е Х р)„, дФ иг =- ио + д„+ (ю Х Р)а дФ дФ ю,— в,+ — +( Х р),. (7Л4) В векторном виде имеем окончательную формулу и, = но + ягаб Ф + ю Х р +рО (р), (7.15) где ио — скорость некоторой определенной точки абсолютно твердого тела, и, — скорость произвольной точки тела, Й— вектор мгновенной угловои скорости твердого тела, р — радиус- вектор 00,.
Формула (7.15) для скоростей точек бесконечно малой частицы сплошной среды отличается по виду от формулы Эйлера присутствием членов атаг( Ф и р О(р), последний иа которых бесконечно мал по сравнению с р, и его в первом приближении моокно не учитывать. Выясним роль члена огай Ф. В результате движения сплошной среды вектор р переходит в р . Изменение вектора р, т. е. р' — р = Лр, может быть обусловлено только тем, что разные точкибесконечно малой частицыдвижутся с разными скоростями; действительно, из (7Л) в пределе при А1 -ь О имеем Скорость относительного удлинения Нр ~~1 оо дг (7ЛО) Вычислим отличную от нуля для деформируемого тела величину, называемую скоростью относительного удлинения отрезка среды в направлении р: 1 д)р~ 1 др 1 1 грт е = — — =- — — =— ! Р( СГ р до 2 р* дг 1 1 д(рр) 1 г' до~ заменяющую формулы (7.4) и (7.14).
Для распределения скоростей в абя солютно твердом теле, как известно, имеет скоростей в абсолютно место формула Эйлера твердом теле иг= по+О Х р, 102 Гл. 11. Кинематика дсформирусмой среды Воспользуемся равенствами (7.16), (7.15) и, так как р (ю Х р) = О, получим 1 / Нр~ 1 УдФ дФ дФ е = — (р — ~ = — (р ягаг(Ф) = — ( — х+ — у+ — з~ = р г( 'дт~ г р' (,де ду дг 2Ф ег еу = —, =- еп — — = епиЪ., (7.17) хг где сг' =- — = сов(р,х ).
Р Итак, если известны компопенты тензора скоростей деформаций е и направление р, то можно вычислить скорость относительного удлинения ер в этом направлении. Из (7Л7) непосредственно вытекает кинеКинеггатнческое истолкоэа- магическое истолкование компонент тенине комионент тснэора вора скоростей деформаций с одноименными индексами.
Пусть р направлено по оси х', тогда все члены, кроме одного, в правой части (7.17) обратятся в нуль, и мы получим е г=еп. х Таким образом, е„ = егы ее — — е,г, е, = егг т. е. компоненты тензора скоростей деформаций с одноименными индексами являются скоростями относительных удлинений отрезков среды, первоначально направленных параллельно соответстнующим координатным осям. То же самое истолкование получается и в результате другого рассуждения. За время Лг бесконечно малая частица среды, по (7.1), претерпевает бесконечно малую деформацию по отношению к состоянию сплошной среды в момент времени и Можно ввести тензор деформаций е' по отношению к состояниям средыв моментыуи 1+ Ь1, и тогда будем иметь еп = е,1г11. Отсюда ясно кинематическое истолкование компонент емо с точностью до множителя Ь1 совпадающих с компонентами еп тенэора бесконечно малых деформаций. Величины е„при (+у характеризуют скашивание прямых углов между отрезками среды, первоначально расположенными вдоль координатных осей х, у, з.
Компоненты еп прир+у равны половине скорости скашивания первоначально прямых углов, образованных отрезками среды, в данный момент времени параллельными соответствующим координатным осям. Иэ (7Л7) видно, что член огай Ф в формуле (7Л5) для $7. Распределенно скоростей в бесконечно малой частице 103 скоростей точек бесконечно малой частицы сплошной среды ответственен за деформацию частицы.
Введем обозначение и" = йгай Ф (7.18) и нааовемэтускоростьскоростью чистой деформации. Если по =О, товсе е, = О и деформация отсутствует, т. е. длины отрезков р, взятых в любом направлении, не меняются. Наоборот, если деформация отсутствует, то все ее = О, и тогда по (7.17) огай Ф = ио =- О. Как для всякого симметричного тензора второго ранга, для тонэора скоростей деформаций можно ввести главные оси; в декартовон системе координат, направленной по главным осям, матрица компонент ея тенаора скоростей деформаций будет иметь вид Глаааыв оси н глазные компоненты тенаора ско- ростей деформаций егО О О ее О О Оеа Можно указать главные оси тензора скоростей деформаций в любой данный момент времени 1 и в любой точке О среды.
Величины е„е„е, называются главными компонентами тенэора скоростей деформаций. Для нахождения главных осей тенаора скоростей деформаций следует привести к каноническому виду квадратичную форму Ф (х', х', х') (7.7). Очевидно, е. ) О соответствует растяжению, а е~ Π— сжатию вдоль 1-й оси. Как и со всяким симметричным тенэором, с тензором скоростей деформаций можно связать тенэорную поверхность. Она будет эллипсоидом, если все е,. одного знака, и гиперболоидом, если е,. имеют Разные знакй. Главные оси тензора деформаций и скоростей деформаций, вообще говоря, разные.
Рассмотрим третий член формулы (7.15), вектор ня оляаь антиоим- т. е. ю Х р. Прежде всего покажем, что мотрнчнык твизороа с авк- введенная выше в декартовой системе торамн в тре™рвом координат величина ю является вектором. В самом деле, формула (7.15) представляет собой векторное равенство и, следовательно, ю Х р— вектор, а скалярное произведение (а Х р) с, где с †проиавольный вектор, — инвариантная величина. Очевидно, в записи инвариантной величины (го Х р) с можно переставить члены и записать ее в виде ю ° (рХс) = (го, Ь), где р, с и р Х с = Ь— произвольные векторы. Из того, что скалярное произведение ю на произвольный вектор Ь вЂ” инвариантная величина, следует Гл. И.
Квнематвка деформвруемой среды что ю — вектор, и по общим правилам преобразования компонент вектора с помощью (7.11) ю,. могут быть найдены в произвольной системе координат. Из проведенных рассуждений вытекает, что полю скоростей ивсегда можно поставить в соответствие тензоре,аа'Ф и вектор ю. Из способа введения ю получается общий вывод, а именно: в трехмерном пространстве любому антисимметричному тензору второго ранга всегда можно поставить в соответствие вектор') ю так, что в декартовой системе координат компоненты й и ю будут связаны формулами (7.10). О коммутатяввостн бс- Как было показано вытс, бесконечно сконечно малых аффвн- малая частица среды во время непрерыв; ных преоб зоваввй ре ра ввй ного движения за бесконечно малое время Ж испытывает бесконечно малое аффинное преобразование, которое теперь можно записать в виде р' = р + дгаб Ф сЫ+ (ю х р) ~й -(- рО (р)сЫ, (7 19) где второй и третий члены имеют порядок малости рат' Равенство (7.19) можно переписать следующим образом: х" = (Ь~, + с';) х' = х' + с',х', (7,20) где х' и х' — компоненты р' и р соответственно, а с; имеют порядок Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
