Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Г7еь — „-,— О, дс~ ~ поэтому все Г';; могут обратиться в нуль только при условии выполнения равенств (5.60) дцс Д~~3 д11' два зз Гл. Н. Кинематика деформируемой среды Переставив индексы суммирования г и р' и индексы и и у и воспольаовавшись симметрией символов Кристоффеля по нижним индексам, получим другие аналогичные равенства: < дГ«»»» л о л 1 дйе дГ«дГ» де~»» — — Г Г а — Г„лр,) —.—.— + ., =О.
ща " / дЧ» дЧ» дцл дв» два до» Вычитанием соответствующих равенств исключим третьи производные. Иоспольаовавшись еще тем, что детерминант преобрааования от $», к т)» должен быть отличным от нуля, получим необходимые и достаточные условия интегрируемости системы (5.60) в следующем виде: д«» д5Й Если пространство эвклидово„то зти равенства должны выполняться в любой системе координат. Если пространство не евклмдово, то равенства (5.61) не удовлетворяются. В общем случае риманова пространства введенные таким путем величины Вз„,.
можно рассматривать как компоненты тензора четвертого ранга. Для доказательства этого утверждения возьмем некоторьгй дифференцируемый вектор а и рассмотрим два следующих тензора: Теизор Римана Кристоф- феля Т = т;реа«э„э'э' и Т' = 7,7ги«э„э'э~. очевидно, достаточно положить à — $" = б." (Ч' — л)',) — —.Г ."а(т) — т),") (т)з — т),') +... условие евкладовоети Если же потребовать, чтобы равенства пространства (5.60) выполнялись во всем пространстве, т. е. потребовать, чтобы пространство было евклидовым, то эти равенства будут представлять собой систему дифференциальных уравнений для определения преобразования данной системы З' в декартову систему ц» во всем пространстве, В общем случае эта система неинтегрируема.
Условие евклидовости пространства совпадает с условиями интегрируемости системы дифференциальных уравнений (5.60). Выпишем эти условия. Для этого продифференцируем (5.60) по цл и исключим из полученного равенства вторые производные с помощью (5.60), будем иметь ! ~ ~ ~ ~ ~ а в ~ а ~ ~ Б « ~ ~~ а дГ„Е «л»» л 1 дй де«деа д~»» — — Глар«» Г«лрз» ) — — —. + . л = О.
дЕ' "' " ) дял д 1' дц д~~'дцтдвл т й. 'Геория деформаций Очевидно, что вообще Т + Т». Коли непосредственно вычислить разность Т вЂ” Т», то получится, что Т вЂ” Т' =- Лц"".а»э э'э'. Так как Т вЂ” Т» — танзер, а а — произвольный вектор, то величины Лц ". должны преобразовываться как компоненты тензора четвертого ранга. Этот тензор носит название тензора Римана — Кристоффеля. Для евклидова пространства тепзор Римана — Кристоффеля тождественно равен пулю, и результат повторного ковариантного дифференцирования в еекяидовом пространстве не зависит от порядка его выпоянени .
Чисто ковариантные компоненты тензора Римана — Кристоффеля имеют вид дГчи дГ,„ Лцэ = в Лце = . + х~ ' д 3 д~Е + й"" [Гхе; Гхн — Г»евГ»ц], (5 61') Выражение компонент теизора Римана — Кристоф феля через компоненты метрического теизера где согласно (5.53а) В любой заданной точке можно выбрать систему координат так, чтобы Г„„=О, однако производные от Г„„, если пространство не евклидово, отличны от нуля, поэтому и в связи с тем, что Г„„; = Г„ц, для компонент тензора Римана — Кристоффеля в такой системе координат лд всегда можно написать следующую формулу: д»ен д'В„; Ли „вЂ” г 1дх~ дхе дх1дх" д»ве» д»йц дхе дх' дхв дх" — Ляеп Лиг~ = О, Лце = — Лц.ь Лц. = О, Лце. = Л;,ц, Лце, + Лец» + Лгем — — О.
Отметим, что не все из отмеченных здесь свойств симметрии независимы между собой. Свойства симметрии ком- Из этой формулы непосредственно вытенонеит тензора Римана — кают следующие свойства симметрии, которые по свойствам тензорпых преобразований выполпяютсн в любых системах координат и в любой точке пространства: 90 Гл. 11.
Кинематика дсфоринрусмой среды Л1212~ Л1313г Л23231 Линз 1'зыз Лзззз. (5.62) Для перечисления этих компонент можно использовать следующие соображения. Согласно указанным выше свойствам симметрии Лнм — О. Если среди индексов имеется только два различных, то для фиксированных двух индексов все компоненты выражаются через одну. Таким образом, при и = 3 с двумя различными индексами имеются только трн независимые компоненты, например указанные в первой строке (5.62). Если различны три индекса, то при и == 3 среди четырех индексов компонент два всегда одвпаковы. Эти равные индексы для компонент, отличных от нуля, долзкны принадлежать разным парам. Их можно считать расположенными па первом и третьем местах.
При фиксированных равных индексах только одна компонента Ляз, независима. Всего таких независимых компонент получается три. Все они перечислены во второй строке (5.62). Условие евклидовасти пространства заключается в равенстве нулю тензора Римана — Кристоффеля. Условие об обращении в нуль тензора Римана — Кристоффеля, а следовательно и условие овклидовости пространства, равносильно шести уравнениям, которые получаются приравняванием нулю шести компонент, например (5.62). Компоненты тепзора деформации определяются равенствами 2з, =.д — д При условии существования вектора перемещения ззз обе квадратичные формы Урввясвня совместности деформаций сЬ2 =- з 1122 1122 и 1133 =-- 3„314 сзьзз определяют квадрат элемента длины в евклидовом пространстве. Поэтому тензоры Римана — Кристоффеля, составлонные для фундаментальных тензоров я„з и со,ю должны обращаться в нуль.
Это приводит к уравнениям Лз;в„— — О и Лз;„, == О. Один из координатных бааисов в, или з,. можно выбрать произ- Число независимых кои- В трехмерном пространстве (и= 3) тензор вонзят тснзсра рвизив- Римана — Кристоффеля имеет только шесть независимых компонент, которые в общем случае риманова пространства могут отличаться от нуля. Это, например, следузощне компоненты: 3 й. Теория деформаций рл вольно, второй после этого вполне определяется деформацией. Следовательно, одни из уравнений (5.63) удовлетворяются автоматически в результате выбора координатного базиса в евклидовом пространстве, а вторые можно рассматривать как уравнения для компонент тензора деформаций. Эти уравнения носят название уравнений совместности деформаций. Их можно легко выписать в развернутом виде с помощью формул (5.61').
В частности, если в актуальном деформированном состоянии выбрана прямолинейная декартова (вообще не ортогональная) система координат, то дед„з/д$~ = О, поэтому уравнения совместности Ви,= О можно записать в следующем виде: дае . д'е . дае . дае„. 4 у ез о1 "'+ дЧ д5е дГдГ д1'дГ дГд5е + У (г еГСти а Сае1бии) = О (5.63а) где да„, де;, де»; дГ~ дч" д5' а компоненты йа определяются кан элементы матрицы, обратной матрице с компонентами 䄄— 2е„: Ь* ~~=!а.
— 2 ..)~ ' Аналогично записываются уравнения совместности Лме, = О, когда лагранжева система в начальном состоянии прямолинейна и я„д: — совет. Уравнения (5.63а) представляют собой дла шести функций е„д (З', $', $а) дифференциальные уравнения с частньгми производными второго порядка, линейные относительно вторых производных и нелинейные относительно первых производных. При всевозможных значениях индексоз 6 (, р, т из набора 1, 2, 3 система уравнений (5.63а) состоит всего из шести независимых уравнений. Ясно, что формулы (5.57), выражающие ем через ю„, являются общим интегралом системы уравнений совместности (5.63а).
уравнения совместности в В случае бесконечно малых деформаций случае бееломечво малых уравнения совместности (5.63а) имеют вид деформаций О (5.63Ь) д5з д5е д~а д5" дУЦ' т'д~' и называются уравнениями совместности Сен-Венана. Непосредственной подстановкой формул (5.58) в уравнения (5.63Ь) 92 Гл. 11, Кинематика деформируемой среды можно проверить, что формулы (5.58) при произвольных трех функциях и~, являются общим интегралом системы уравнений (5.63Ъ).
Уравнения совместности (5.63Ъ) в случае бесконечно малых деформаций представляют собой шесть независимых линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка относительно еп. Итак, в том случае, когда между начальным и рассматриваемым состояниями сплошной среды можно ввести вектор перемещения тс, должны выполняться уравнения совместности, и выражения для ем через компоненты тс можно рассматривать как общие решенйя этих уравнений. Остановимся теперь более подробно на геометрической картине деформации сплошной среды при перемещении.
Рассмотрим сначала перемещения абсо- ,ю,о твер лютно твердого тела. Возьмем два его дого тела произвольных положения 1 и 11 (рис. 14). Если точку М совместить с точкой М, т. е. исключить из рассмотрения поступательное перемещение, то это преобразование будет простым поворотом. Рис.
14. Преобразование при перемещении абсо- лютно твердого тела. В положении 1 возьмем вмороженные в тело оси координат х', х', х', с началом в точке М, в положении 11 они перейдут в оси у', у", угз с началом в М' (см. рис. $4). Обозначим через у', у', у' оси, получившиеся при поступательном смещении у", у", уга из точки М' в точку М. Преобразование поворота при переходе от х' к у' может быть записано в виде у' = с';х1, где ))с Д вЂ” одна и та же ортогональная матрица для всех то- т чек М твердого тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
