Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 16
Текст из файла (страница 16)
С помощью разложения в ряд легко получим з1п тп 2еп, (5.15) или (5,16) хм — реп. Главные оси тензоров деформаций С каждым симметричным тензором, в том числе и с тензорами деформаций, можно связать квадратичную форму епЩЫК Известно, что в каждой точке можно найти такую ортогональную систему координат ц', Ч', д», в которой квадратичная форма з;;сЦЧЦ' приведется к виду е „.
И$'Ы$' =ем (НЦ")»+ з»з(дд»)» -'„- езз(с»О»)». (5.17) )! дп ), (! дп (, ) о " '(, ( л" ~, ~ еп ~, (! е.) (, (! з ' ~. Образуемый главными осями ортогональный триэдр при данном перемещении остается ортогональным: углы между главпъпми осямц ие скашиваются, однако ортогональный триэдр Преобразование от з' к»)' зависит от компонент е»д поэтому соответствующип ортогональный триэдр ц» при движении будет вообще разным в различные моменты времени. Возьмем в пространстве дп такие оси и', и', Чз и покажем, что в результате движения они перейдут в пространстве г„(для сопутствующей системы) в такие направления осей Ч', Ч', ц», для которых э.
Л тоже будут оргогональны. Действительно, для таких осен ц', ц», »)» компоненты еп при 1+ у равны нулю, и, следовательно, по (5.14)»(п = О, т. е. оси»)', ц', ц» останутся ортогональными. Ясно, что в таких осях в силу их ортогональности й;; = = дп = ел = О при»'+у', откуда следует, что и е = еп =. О при» чу).
'Гакие оси называются главными осями тензоров деформаций. В них одновременно приводятся к диагональному виду матрицы 1 б. 'Гоорвя деформаций 71 Главные компоненты тев воров деформаций Аначогично в «начальном состоянии» о« ~н( )) (суммированне по 1 отсутствует) и (5.20) з(зо — — з1зоъ ~~ зззоз + зозоз. (5. 21) Взятые таким путем вдоль главных осей элементарные отрезки дз,. и дзо,. могут рассматриватьсл как обычные декартовы координаты в окрестности данной точки в данном состоянии и в «начальном состоянии» соответственно (масштабы координат дз,, как и масштабы координат дзо..
вдоль разных главных осей при этом одинаковы). В пространстве наблюдателя системы азою Нзоз, йзоз и о(з„з(з„йз в общем случае не совпадают. Воспользовавшись (5.18), (5.20) и определением ковариантных компонент тензоров деформаций (5.4), легко получим Нзо — Нзз = 2 ~~' =" Нзз = 2 „Я вЂ”." о(зом (5.22) зм ' зн где штрих у з'„ вверху указывает, что ковариантные компоненты тензора деформаций взяты в главных осях. Матрицы 'Эд«о~~ и (ф«Д имеют в главных осях диагональный вид, поэтому обратные им матрицы ((Д'$ и ((й'о(( в главных осях также имеют днагональный вид и дм = 1/Ь»м, а "" = 1/~з« главных осей может перемещатьсл как твердое тело, т.
е. смещаться поступательно и поворачиваться. Таким образом, с каждой точкой деформируемой среды можно связать ортогональный триэдр главных осей, который при данном перемещении ведет себя как абсолютно твердое тело. Заметим, что элементы й', взятые вдоль главных осей, во время движения могут сжиматься или растягиваться. Подчеркнем, что понятие главных осей тензора деформаций введено нами в случае произвольных конечных деформаций. Главные оси тензоров деформаций с' и сп в соответствующих пространствах проходят через одни и те же индивидуальные точки среды. Вдоль главных осей о)', »1з, дз тензора деформаций в момент времени З о(з« =- оо..
(Й)') (5.18) (суммирование по З отсутствует), и в главных осях квадрат длины произвольно направленного элемента о(з может быть представлен в виде уз озз ) (о + ~зо (5.19) 72 Гл. П. Кинематика деформнруемой среды Поэтому входящие в (5.22) отношения е'ы/ь'ы и е'и/д,„будут соответственно равны з', ам =е' =е и в',ум =з',. =й аш !а (в последних двух выражениях суммирование по 1 отсутствует~ и, следовательно, являются смешанными компонентами тензоров деформаций в соответствующих главных осях. Выражение (5.22) теперь может быть аапнсано в виде й' — йа= 2(е й'„+ е йа + еайа)= 2 (Ъдйаог + вайса + еэйааа) (5 23) йа йа 2г йа '1 а1 Ч а' (5.24) откуда ,1 2 2е;=1 — — ' а с~а (5.25) Аналогично йаа — язва м= 2еа сааа а1 (5.26) Иаа 2е; =- — ', ла ~ Из соотношений (5.25) и (5.27), в частности, видно, и из них же легко получить, что (5,27) чтоб,.
+ем (5.28) 1 2еа 2еа.= 1— 1 + 2е 1+ 2ее т. е. найти искомую связь главных компонент тензоров 8 и с'. Установим еще связь между коэффициентами относительных Й:1 — аЬ удлинений в направлениях главных осей 7, = ' "' и глав- ~Ь . аа Итак, с каждой точкой движущейся среды можно свяаать обычную ортогональную декартову систему координат (гы, га„еаа), направленную вдоль главных осей тензора деформаций, которая в процессе движения будет переходить также в обычную ортогональную декартову систему координат (аы а„га). Расположение индексов (вверху илм внизу) в этих системах, поскольку они являются ортогональными декартовыми, несуществепно.
Соответствующие компоненты тензоров деформаций е. и е, в этих системах являются главными компонентами. а Тензоры деформации с' и и имеют разные Связь главных компонент главные компоненты, т. е. е,. + е., но тевзоров деформацвй и и в между е,. и е, существует связь. установимм ее.
Из (5.22) для направления й,, взятого вдоль 1-и главной оси, будем иметь $ б. Теория деформаций ными компонентами тензоров деформаций. Из (5.25) следует (5.29) зГ и аналогично иэ (5.27) (в = в' 1+2е,— 1. (5.30) Формулы (5.29) и (5.30) верны для конечных деформаций. Если же деформации бесконечно малы, то малы компоненты тензоров деформаций 3 и е' и из (5.29) и (5.30) после разложения в ряд получим 1, = е; = е„ С = $ св,.( = $ ХЬ в — е' ~, где Л вЂ” некоторый числовой параметр, и будем под ней подра- зумевать как матрицу э'ХЬ,— е;9, так и матрицу 5Лб; — з'вИ.
В главных осях матрица С имеет вид Х вЂ” О О С" = 0 Х вЂ” е, 0 0 0 Х вЂ” ев Если взять вве$ Се и приравнять его нулю, то мы, очевидно, получим кубическое относительно Х уравнение (Х вЂ” ев) (Х вЂ” ев) (Х вЂ” ез) = 0 или, в развернутом виде, Хз — в'вХз+ АХ вЂ” Уз = О.
(5 31) Корни Х„Х„Х этого уравнения будут главвыми компонентами ем е„ез соответствующего тепзора деформаций. Так обстоит дело, если (5.31) составлено в главной системе т)в, т)в, т)з. т. е. коэффициенты относительных удлинений вдоль главных осей в случае бесконечно малых деформаций совпадают как с главными компонентами тепзора деформаций 3 в актуальпом пространстве, так и с главными компонентами тензора деформаций е' в «иачальпом» пространстве. Поэтому разница тепзоров Ж и $ в случае бесконечно малых деформаций пропадает. Теперь напомним способ, с помощью Способ оцрецеяевия гааз- которого можно найти главные комповвых яомцоиевт темзора кенты теизора деформаций.
Ради краткости возьмем матрицу Гл. 11. Кинематика дсформируемой среды 74 Возьмем произвольную, не главную, систему координат й', $з, йз и в ней составимматрицуС. Рассмотримпреобразование от т)', т)з, цз к й', йз, йз. Компоненты матрицы С, как разности компонент двух тензоров б и с', являются компонентами тензора, и согласно формулам преобразования смешанных компонент тензора мы получим С' = 1 сз Ь*' аЯ = ВСВ ', откуда видно, что Ве1 Сз =- Ве1 С, и, следовательно, уравне- ние (5.31) или ( Хбз.— зс( = О (5.32) Хз = ез + ез + ез -- е"., 1 Хз =- еззз + сззз+ з~з 2 ((~~") — в~вез„) (5.33) Хз = ззезез =- Ва1 ~(е'1 '1. Итак, для определения главных компонент тензоров деформаций следует составить в данной системо координат $', $з, йз вековое уравнение (5.32) с коэффициентами (5.33) и найти его корни.
Инварианты 1ы 1з, Хз длн тензора е будем обозначать через Х„Х„Х„а для тепзора с через Х„1„1з; инварианты Х, 1„1„ очевидно, выражаются через еы е„ез, а 1„1„Хз — через е„е„й„и, поскольку е,. + е,, Хз чь. Х, Главные компоненты Й, и з, связаны друг с другом, поэтому и инварианты У„. связаны с инвариантами 1, В случае бесконечно малой деформации е,.
= е,. и инварианты 1,. и Хз совпадают. В случае конечной деформации по (5.28) и (5.33) легко найти следующую связь между инвариантно относительно выбора системы координат и корни его всегда определяют главные компоненты тензоров деформаций. Воли в (5.32) вместое'; стоят е'в то получим корни е; 1 '1 в если вместо е; взять е;, то получим корни й,. Уравнение (5. 32) называется характеристическим или вековым уравнением; как известно, д,п симметричного тензора оно всегда имеет трн действительных корня. Коэффициенты векового уравнения (5. 31) являются инвариантами относительно преобразования координат, так как они полностью определяются корнями, т. е. главными значениями тензора деформаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
