Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Пусть требуется вычислить Ч, (и~и~к). Для этого необходимо воспользоваться правилом ковариантного дифференцирования контравариантных компонент тензора, так как произведения и~кок, как известно из Гл. П. Кинематика деформируемой среды предыдущего ($ 4 гл. 11), являются компонентами тензора второго ранга. Итак, Ф д(им) с Е г, г г,й тт'т(ггги )= . +эю Гя+эи 1я = дч == ( т'тэ ) жэ т э' т'тгэ", что и доказывает требуемое утверждение. Совершенно аналогично будет дифференцироваться в коваркантном смысле произведение произвольного числа членов. Рассмотрим вопрос о ковариантном дифференцировании в в том случае, когда вектор задан не коптравариантными, а ковариантными комтюнентами.
Пусть тт = ю,э' д дггг и требуется вычислить —. Тогда дчт ' д лг дэг; дэ' дт1~ дат дтгт (5 48) где Гтч — введенные ранее символы Кристоффеля. Для установления справедливости (5.49) возьмем скалярное произведение эг' э„= б'» и продифференцируем зто равенство, верное во всех точках пространства, по координате т1т: — э„+эг (Гетэ,) = О.
дэг дч' В последней сумме отличен от нуля только тот член, в котором 1 .=.1; поэтому дэ' — да= — )м. дат Очевидно, дэг/дт)т, так же как и дэ;/дтпл', будет вектором; разложим его по эе. В случае евклидова пространства и в более общем случае рнмановых пространств верна формула -=- — Гттэ, дэ' г е (5.49) двт з 5. Теория деформаций Очевидно, что зта формула равносильна (5.49).
Формула (5.48) с учетом (5.49) примет вид дю — = —.э' — и;Гз э . д ~' дч' После замены в последней сумме индексов суммирования ) на Й, а Й на ) получим дю /д~; з~ дЧ' дЧ' дм,. т Выражение ' — юзГя определяет ковариантную производд1р ную от ковариантных компонент вектора: ~"з а 7роу = —; -- ирам(. дЧ' Аналогично можно ввести ковариантную производную от ковариантных компонент любого тензора. Заметим, что 7гют являются ковариаптными, а 7,.ю~— смешанными компонентами одного и того же тензора второго ранга Г =-,.
э'.= 7;й;э~э'.= 7ро~э;э'. дЧ Отсюда следует, что компоненты метрического тензора д,~ и уо, несмотря на то что они зависят от Ч', Ч', Чз, должны вести себя по отношению к ковариантному дифференцированию как постоянные величины. Иначе говоря, не меняя результата, нх можно вносить и выносить за знак 7о Действительно, между 7,.в' и 7гюю как между различными компонентами одного и того же тензора, существует связти 7;ю' = дгз7хгюз, (5.50) но ю' = оь' шю и (5.51) и, следовательно, 7;(цмюз) — -- цм7 аю т.
е. 7;дм =-О. Аналогично получится, что если вместо (5.50) взять 7,юь = да~7,.ио', а вместо (5.51) а~а .= Кз~ш~. 84 Гл. П. Кинематика дефорвируемой срезы Г'; =-- Г,' . Покажем зто, В евклидовом пространстве всегда существует радиус-вектор г (т)т, т1т, т1е) и э, =. дт!дт!т, а дэ; дт,. д „дэ дт!~ дпт дт1' дЧ' дв" ддт (5.52) откуда ! Гтвэ! =- Гмэт. Дадим формулы для вычисления символов Кристоффеля по компонентам метрического тензора д.
Возьмем соотношение дд;, дэ, дэ, '; =- — ",'.+ —,' дв~ дт~~ ' дЧ и из него получим ад,, дэ, —.' — — '.. э; =- Г:аэ! э, =- Гтео аЧВ дЧл ' ' !' ' ' ' и и аналогично дйы дэ, — — — эе = Гмэ, э, = Гд . ' !т' Сложив зги два равенства и воспользовавшись симметрией символов Кристоффеля по нижним индексам, равенством (5.52) и тем, что дэе дэ; де т, те дпт став дпт СвойетваевмвоаовКриетоф- Остановимся теперь на вопросе о вычислефеля нии символов Кристоффеля в метрическом евклццовом пространстве и выясним свойства символов Кристоффеля. Заметим, что существуют более сложные пространства, чем евклидовы или римановы пространства, в которых символы Кристоффеля не вычисляются, а задаются, и способ их задания входит в определение пространства. Символы Кристоффеля не являются компонентами какого- либо тензора.
Зто видно, например, из того, что в одном и том же пространстве они в декартовой системе координат равны нулю, а в криволинейной отличны от пуля. Очевидно, что компоненты тензора таким свойством обладать не могут. В свклидовом пространстве символы Кристоффеля симметричны по нил'ним индексам: 3 й. Теория деформацвй получим д»с дз и дРм с з+ иа с йр 1 Свернув последнее соотношение с —,двс, получим требуемые 2 формулы: (5.53) Выражение теязора де Вернемся теперь к формуле (5.43) и полу- формаций чесжз комво- чим формулы, выражающие компоненты взяты вектора яереяе- тензора деформаций через компоненты щеявя вектора перемещения. Вектор перемещения асс можно разложить как по актуальному эс, так и по начальному э, базису и соответственно этому ввести два сорта компонент одного и того же вектора мс, т.
о. ши и йи: тсс =шиэ = шиэ . и — и Можно ввести и два сорта ковариантных производных: †,. = 7сшиэи (5.54) дс' " "и" — = 7сш'эи. (5.55) Первая из ковариантных производных вычисляется в начальном пространстве, и в ней символы Кристоффеля вычисляются по дсп а вторая — в актуальном пространстве, и в ней символы Кристоффеля вычисляются по дм. Подставим (5.54) в первое равенство (5.43), получим зп — ~ ((~со )йьч+(7 ш ) кис+(7 ' 7ш) кис).
Воспользовавшись тем, что компоненты метрического тензора можно, не меняя результата, вводить под знак ковариантной производной, будем иметь ,; = —, (7,;+ 71й, + 7и и71 "). 1 (5.56) Аналогично с помощью (5,55) и второго равенства (5.43) можно получить 1 ем = х (71шс+ 71ши — 71ши71ш"). (5.57) 86 Гл. П. Кипеиатика деформируемой среды В случае бесконечно малых относительных перемещений после отбрасывания квадратичных но сп членов получим х (г'~;+ у,ж«) 2 (7;ю;+ Ч;ю;). (5.58) Очевидно, что еп совпадают с компонентами симметризованного тензора 7,и,э'э'. В декартовой системе координат (5.59) Подчеркнем, что формулы (5.43) и (5.56) для компонент тензора деформаций справедливы только тогда, когда можно ввести вектор перемещения ап для всех точек дзия«ущейся среды, тогда как тензор деформаций и его компоненты определяются по метрикам «(з«и «Ь~ по формулам (5,4) или (5.46) независимо от предположения о существовании вектора перемещения. Тензор деформаций имеет девять компо- 0 су'цествовапии уравие- нент, из которых в силу симметрии зг иий совместности и различных только шесть, При наличии перемещений ап эти шесть компонент еп по (5.56) выражаются в каждой данной точке через девять производных дш,./д$1 и, следовательно, могут быть в данной точке пространства произвольными числамн.
Однако зп не могут быть произвольными функциями точек пространства «~', Ь«, $з, так как по тем же формулам (5.56) шесть функций е,, от с', $', ьз выражаютсячерез производные только трех функций и,. от ь«, з«, ьз. Поэтому зп должны удовлетворять определенным уравнениям, которые называются уравнениями совместности деформаций. Уравнения совместности должны существовать только тогда, когда вектор перемещения те существует, т. е.
тогда, когда как актуальное, так и начальное состояния сплошной среды принадлежат евклндову пространству. Поэтому рассмотрим предварительно условия евклидовости пространства. Символы Кристоффеля Г«~п нак известно, символов кристоффеля не являются компонентами какого-либо формулы преобразования тенэора, в трехмерном пространстве они образуют экстенсив ив двадцати семи величин.
Символы Кристоффеля связаны с компонентами метрического тензора формулами (5.53а) 3 5. Теория деформаций 87 которые выше были получены для евклидова пространства и по определению справедливы для риманова пространства. Обозначим символы Кристоффеля в системе координат череа Гтн а в системе координат зс через ГО и установим фор'а с а мулы преобразования символов Кристоффеля при переходе от системы координат $' к системе 7)'. Очевидно, что д5", о,'.
= э„—. дЧ цз н учитывая, что дцт продифференцировав это равенство по дэ,,„, дэ„ — Г17да, — = Газа~„ дц~ дс" ач" эи з„получим так как дзт д5" д5З да5~ дзт ) дг~ дч' д11' дч'дп' д5 7 Умножив обе части этого равенства скалярно на з", будем иметь искомую формулу: Уравиевия, определяющие систему коордииат, в которой Г " =О и (о7, 7', У =-- $, 2, 3).
И в евклидовом, и в римановом пространстве этим равенствам всегда можно удовлетворить в некоторой ааданной точке, т. е. всегда можно ввести новые координаты т)' так, чтобы в заданной точке 71', соответствующей точке Ц, все Г'О = О. Для этого, Можно ли найти такую систему координат т~', чтобы все Г1 обратились в нуль3 В евклидовом пространстве можно ввести единую для всего пространства декартову систему координат, в которой ды = сопзг и, следовательно, все Г;, = 0 во всех точках пространства. В римановых пространствах дело обстоит не так. Напишем уравнения, определяющие систему координат, в которой Г„а =. О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
