Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Таким образом, произвольное перемещение э й. Теории деформаций 93 твердого тела (эа вычетом поступательного перемещения) является просто ортогональным преобразованием. Пусть теперь тело может деформироваться. Возникающее при этом преобразование имеет самый общий вид, мы предположим только, что оно удовлетворяет свойствам вэавмооднозначности, непрерывности и дифференцируемости по координатам.
Если рассмотреть бесконечно малуто окре~реойра~~вавл~ ~~~~опал стность точки М сплошной среды, то зто ло малой частицы еплошпреобразование с точностью до малых первого порядка можно считать аффинным. Покажемэто. Высмеять векторы базиса ллгранжевой системы координат в точке М обозначаются через и',, а положение всех точек окрестности М полностью задается Ыге, причем А; = Н$'эь Положение всех точек окрестности точки М, в которую в рассматриваемый момент 1 перейдет точка М, определяется вектором Ы~, компоненты которого в базисе э, также равны Ы$': сЬ' .=- е$'эе.
Если совместить точки М и М' и взять разложение Ыг по векторам базиса й, то компоненты этого разложения будут отличаться от пэ'", обозначим их через Щ: Связь между ~(~"' и И$" определяет преобразование частицы сплошной среды. Это преобразование кайдем кз равенства Ь = (Г*э, = (в'эь (5,64) На основании связи (5.42) между э,, э,. и чс: эе - = э + —. -= э~ + 7ею эа == (51 + 71~ ) эа = - с~ э» д»' где с а = Ь;" + 7лл", (5.65) можно написать А = а19еэ = И~'с~"э == ац'эа, откуда получим (5,66) Преобразование от о$' к йц' — однородное линейное преобрааование с матрицей )!с;~)), которая не зависит отдифференциалов Щ т. е.
приближенных координат близких точек; с<" Гл. 11. Кинематика деформируеиой среды могут зависеть только от координат точки М, Следовательно, коэффициенты с> для малой частицы постоянны, а преобразование (5.66) аффинно. Перечислим теперь свойства аффинных преобразований, вытекающие непосредственно из линейности формул (5.66), При аффинных преобразованиях прямые переходят в прямые, плоскости — в плоскости, причем параллельные прямые и плоскости переходят в параллельные прямые и плоскости. В частности, параллелограмм переходит в параллелограмм. Отсюда следует, что все равные, одинаково направленные отрез ки растягиваются (или сжимаются) одинаково.
Отношение длин любого отрезка до и после преобразования (в силу того, что оно является отношением однородных функций первого порядка)не зависит от первоначальной длины отрезка, а зависит только от его направления. Отсюда следует, что коэффициент относительного удлинения любого отрезка также не зависит от его длины, а зависит только от его направления. Отрезок всегда переходит в отрезок, причем отношение, в котором точка делит отрезок, остается неизменным.
Алгебраическая кривая или поверхность переходит в алгебраическую кривую или поверхность того же порядка. Нацример, поверхность второго порядка переходит в поверхность второго порядка: сфера переходит в эллипсоид или в сферу, причем сопряженные диаметры сферы переходят в сопряженные диаметры эллипсоида. У сферы все сопряжепные диаметры ортогональны, у эллипсоида в общем случае существует единственная тройка ортогональных сопряяенных диаметров, следовательно, всегда существует по крайней мере один ортогональный триэдр, который переходит в ортогональный триэдр, т. е.
существуют главные направления. Объем>я при аффинных преобразованиях, вообще говоря, меняются, по величина относительного изменения объема О =- ( г' — )>,)/р,не зависит от первоначальных формы и размеров объема. Именно поэтому, когда мы вычисляли величину относительного изменения объема чероз компоненты тензора деформаций, используя для этого элементарный параллелепипед, мы получили результат, справедливый для любых малых объемов. Всякая выделенная в сплошной среде бесконечно малая сфера преобразуется при Геометрическая картияа кон о етицы еэаошиэй среды деформации в эллипсоид.
Если при этом преобразовании главные направления не меняют своей ориентации в пространстве, то говорят, что произошла чистая деформация, которая сводится к растя- $ З. Теория деформаций 95 леению или сжатию ко трем взаимно перпендикулярным главным осям. Если сфера преобразуется в эллипсоид так, что главные направления меняют свою ориентацию в пространстве, то говорят, что имеет место общий случай аффинного преобразования, который сводится к чистой деформации (растяжениям по трем главным осям) и повороту в пространство.
Заметим, что в случае чистой деформации любые отрезки в частице, не направленные ко главным осям, меняют, вообще говоря, свое направление в пространстве. При движении частицы как абсолютно твердого тела сфера переходит в сферу того же радиуса, причем все взаимно перпендикулярные триэдры можно рассматривать как главные, все они поворачиваются около одной и той же оси и на один и тот же угол. В этом случае говорят, чтопроизошелчистый поворот.
$!атрица аффннного преобразования )~сз'~) определяется по (5.66) девятью производными от компонент вектора перемещения тл по координатам 9', 9', 9', в общем случае в данной точке эта матрица образована из произвольных девяти чисел. Чистая деформация характеризуется тремя главными компонентами тензора деформаций и тремя параметрами, определяющими направления главных осей в пространстве (или шестью компонентами тензора деформаций); поворот главных осей в пространстве характеризуется тремя оставшимися параметрами. В случае чистого поворота матрица ортогональная и зависит только от трех независимых параметров (направлекия оси поворота н угла поворота). Итак, произвольное перемещение бесконечно малой частицы сплошной среды сводится к поступательному перемещению в пространстве, повороту и чистой деформации (сжатию или растяжению по трем взаимно перпендикулярным главным осям).
Геометрические характеристики деформаций важны в основном для твердых тел. В аккдкостях и газах характеристики деформаций сами по себе играют гораздо меньшую роль. Например, перелитая иэ сосуда в сосуд жидкость (если она однородна) остается все такой же яеидкостью, хотя при переливании в ней могли произойти сколь угодно сложные и сильные деформации. В я|идкостях и газах свойства деформаций проявляются существенно только через изменения объемов. Жидкости и газы оказывают сопротивление сжатию; сжатые жидкость и газ отличаются от несжатых. Тензор деформаций ктрает основную и определяющую роль в теории деформирования твердых тел.
В теории движения жидкости и газа — гидродинамике (и теории деформирования 96 Ги. П. Кинематика деформируемой среды некоторых твердых тел) играет ббльшую роль другая харак- теристика — тензор скоростей деформаций. Может быть так, что сами деформации несущественны, однако существенно, насколько быстро они происходят. $6. Теизор скоростей деформаций Оиредеаеиио тсизора око ростей деформаций где то = ю,.э', а ковариантные производные вычисляются в данном случае в начальном пространстве ум. Формула (6.2) имеет место в связи с тем, что перемещение ти из состояния в момент г в состояние в момент 8 + Л~ существует.
Очевидно, что то = и Лг = и;э'М, т. е. ю,. = г,Л~ имеет порядок Л| и является бесконечно малым перемещением, если И мало. Поэтому Лсп Пш — ' = —,(Чр;+ р,и;) = еп. (6.3) ж е~~ Величины ап являются компонентами симметричного тензора, который называется тензором скоростей деформаций. Если поле скоростей м известно, то компоненты еы можно вычислить по т (6. 3). Очевидно, что формулы с„= —, (ри; + 7;о~) сохраняют свой вид в любой подвижной криволинейной системе координат при учете того, что вектор м определен с помощью системы наблюдателя и сопутствующей системы, положеннь|х в основу рассмотрения движения континуума. Тензор деформаций 2(с ~ ом) (6 () вводится в связи с двумя состояниями сплошной среды: данным, рассматриваемым дп и, вообще говоря, «начальным» г ь Если начальное состояние дп реализуется в действительности, то существует вектор перемещения то всех точек сплошной среды из начального состояния, достигаемого в момент 1о, в рассматриваемое состояние в момент Г, и для тензора деформаций имеют место формулы (5.56), (5.52).
Помимо этих двух состояний сплошной среды рассмотрим еще состояние в момент г + Л~, близкий к рассматриваемому дм. Компоненты метрического тензора в этот момент г + Лг обозначим через д'м. Очевидно, можно ввести компоненты тензора деформаций по отношению к состояниям сплошной среды в моменты 8 и з + Л8. Обозначив эти компоненты через Лзп, будем имети Леп = ~ (у~ — 6~) = ~ (т ю~ -г т~ю1+ тР' Р3ют) (6 2) $ 6. Теяаор скоростей деформаций Связь компонент тевво- Из (6.2) непосредственно видно, что для Ров деформаций я скоро- компонент тензора скоростей деформаций верна формула "Рп ем= х (6.4) справедливая в сопутствующей системе координат. Из (6.3) с помощью (5.4), если «начальное состояние» яи не зависит от времени 1, легко следуют формулы, связывающие компоненты тензоров деформаций и скоростей деформаций в сопутствующей систоме координат: ее о е, =- — ' 1 Подчеркнем еще раз, что равенство (6.6) верно только тогда, когда ф» =- сопев по времени, а равенство (6.4) по определению верно всегда.
Тепзоры деформаций и скоростей деформаций являются разными тензорами, но е,тЛ~ являются компонентами тензора бесконечно малых деформаций, соответствующего перемещению за время Ле, т. е. (6.7) Заметим, что тензор деформаций с вводится в результате сравнения двух состояний сплошной среды, а тензор скоростей деформаций является характеристикой данного состояния в данный момент времени. Ясно, что компоненты тензора деформаций (6.7) должны удовлетворять условиям совместности. Подставив (6.7) в (5.63а) и перейдя к пределу при бд -е- О, получим следующие условия совместности для компонент тензора скоростей деформаций: д'ен две Е две„Е две,.
(6.8) д4е д4в дГе д4" д$~ д$" д4е д4з Так же как и система уравнений (5.63Ь), система уравнений (6.8) содержит шесть независимых линейных уравнений в частных производных второго порядка. Соответствующие невависимые уравнения можно получить для указанных в (5.62) комбинаций индексов. Формулы (6.3) при проиавольных трех функциях и, дают общий интеграл системы уравнений (6.8). 4 л. и. Седов Гл. 11. Кинематика дсфорынруеыой среды Аналогично тензору скоростей деформаций можно ввести другие тензоры, компоненты которых являются производными от е0 по 1 более высоких порядков.
Можно рассмотреть также тенэоРы, компоненты котоРых ЯвлЯютсЯ пРоизвоДными от ест по пространственным координатам, например, тензор раз;~э "э'эс. й 7. Распределение скоростей в бесконечно малой частице сплошной среды и, = и. + ~ — ' р +рО (р). / дс) ~ Ж /о (7.2) Подставив (7.2) в (7.1), получим р = р+( —,) р А1+рО(р)А1. (7,3) Отсюда видно, что с точностью до рО(р) Ж бесконечно малая частица сплошной среды за бесконечно малое время Лг претерпевает бесконечно малое аффинное преобразование (значенэя производных от и по $1 берутся в центре частицы О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
