Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Раскрывая (5.31) и 5.32), получим формулы для 1„1„1,: 3 Ь. Теория деформаций 78 инвариантами зз, и з»,: 1, + 41, + 021» 1» = е, + ез + ез = 4 + 21« + 41« + 81» 1»+ 6)з 1, =- е,аз + с,ел+ е,е, = 4 + 21» + 41« + 81з (5.34) 1» 1з == еле»ел = 3 ч з 3 4+21 +41. +81 Коэффициент кубического расширения о 84'» (5.35) Согласно (5.26) равенству (5.35) можно придать вид 0 = У(4 -(- 2ел) (4 + 2ез) (4 + 28,) — 1, (5.36) а по (5.33) — зид 0 = — - )1 4 + 21, + 41, + 61, — 4. (5.37) Величина О определена как инвариантная геометрическая характеристика. Формула (5.37) дает выражение для О, пригодное при использовании любой системы координат. Лналогичным путем можно ввести О для элементарных параллелепипедов в любой криволинейной системе координат. Ниже покажем, что определенный формулой (5.35) коэффициент кубического расширения не зависит от формы первоначального объема Ы г'з.
Он равен относительному изменению любых малых объемов вблизи данной точки в случае конечных деформаций. В случае бесконечно малых деформаций из (5.36) или (5.37) следует формула 0 1,=ез е',. Таким образом, первый инвариант тензора деформаций в случае бесконечно малых деформаций можно рассматривать как коэффициент кубического расширении. Изучив соответствие линейных элементов «)з и Ызз в актуальном и «начальном» состояниях, найдем соответствие элементарных объемов в этих состоянилх, Возьмем в главных осях тензора деформации в начально»4 состоянии элементарный прямоУгольный параллелепипед с ребрами Ыззз, с)ззз, (Йзз, его объем «з»'з определяется формулой д»' =- «(зз,дз.,йз„.
При движении ему соответствует прямоугольный параллелепипед с ребрами г(зз, «(з„йз и с объемом Ы4з =- Ыз,йзгззз. Назовем коэффициентом кубического расшнрения0 величинуотносительного изменения объема: 76 Гл. П. Кииеметике, Леформируемой среды Вычисление момпоиеит Обратимся теперь к вопросу о том, теиаора деформаций по как определять новариантные компоненты тензора деформаций е«; по известному закону движения х'=х'($', $» ~«1) $'=-$'(х", х' х' 1) (5.38) х'=х'(~' ~е ~«1) $'=$'(х', х', х*,1р) (5.39) и иавестной метрике д,.1 пространства наблюдателя х', х', х«. Подчеркнем, что время 1 рассматривается нак параметр при преобразовании координат от сопутствующей системы к системе наблюдателя.
Если начальное состояние соответствует полол«ению среды в момент 1», то преобрааование координат от системы наблюдателя к лагранжевой системе для начального состояния определяется формулами (5.39), Ковариантные компоненты тензора деформаций в сопутствующей системе координат определяются равенствами 1 ап = 2 (К«1 — а«,). где д,, — метрика актуального пространства в сопутствующей системе. Так нак Ыпйй' а' = у, Ух»«1 то де д*« е«1 е»«д~~ дб' и, следовательно, в сопутствующей системе координат 1 / де» де« (5.40) где проиаводные дх»)д"з«определены иа (5.38).
Заметим, что о метрике д Н пространства «начального состояния» в общем случае ничего сказать нельзя, так нак она может вводиться в рааных случаях с помощью различных физических соображений. Однако влиять па компоненты метрического тензора Р,ы все же можно посредством выбора системы $', а«, ае в «начальном состоянии».
Если переход от системы наблюдателя к начальному состоянию определен (5.39), то в лагранжевой системе начального состояния имеем 1 / дх" де«1 ''= в (ап ~ ~~ ~~/' где дхо"/дь" определены из (5.39). т о. Теория деформаций Е1а основании формул преобразования компонент тензора е' от сопутствующейсистемы к системе наблюдателя, наряду с формулами (5.40) в сопутствующей системе, в системе координат наблюдателя будем иметь <.е> 1 / ° а~Г д2о ~ (Ы К хо дх дх~ l где производные дв"'/дх" определены из (5.38). Рассмотрим случай, когда начальное соперемещения стояние может реально осуществляться и его метрика дсь как и метрика дп, является евклидовой.
В этом случае можно ввести вектор перемещения тс (рис. $2): =ее+ те~ (5.41) где ге и у — радиусы-векторыотносительно системы отсчета х', х', х' одной и той же точки Л сплошной среды в начальный момент времени ~ и в данный момент г соответственно. Ряс. 12. Вектор перемещения. С помощью (5.41) можно легко установить связь меяеду векторами базисов э,. и 5, и с ее помощью написать формулы для компонент тензора деформаций зп. Продифференцировав (5,Я) по $', получим дю дх до —, = —,- — —,.
= эе — эе, дье д$ дГе откуда дю дю э1=э,+ —., или э;=-э,— —., (5.42) д~е ' д~е поэтому дю дю дю дю д . = э э = эе.э + э' — + э" —. + —. дЦ~ д4' до' дс' Гл. П. Кинематика дефорияруемой среды н дю " дю дю дю Рн =- Э;. Э1 =- Э; Э; — 91 —. — Э; —. + —. дсд д4' д4' дс1 Следовательно, 1Г дш — — (4'и — Ия) = в ~э1 —,. + 1 Гдю - дю " дю = —, ~ ~—..Э1+ ( дс' д51 д4' дю дю дю1 д4' д4' дсз 1 '1 (5.45) Формулы (5.43) верны при любом выборе вообще криволинейных лагранжевых координат ь', ь2 'ьз Заметим, что в выражении (5.43) для компонент е,.1 входят только первые производные от вектора перемещения гдпо координатам з', с2, зз, которые характеризуют относительные перемещения точек сплогпной среды.
Мы получили выражения для компонент О дкфференннрезанзк вен тензора деформаций з,ч через вектор пере- тора н его койнонент по ко- мещения иь Теперь 1юлучим выражения компонент тензора деформаций з1; через компоненты вектора перемещений и. Для етого необходимо установить, как выражается производная от вектора через производные от его компонент, Очевидно, обычные производные от компонеят пе определяют изменения самого вектора, так как прн переходе от точки к точке пространства меняются, вообще ,Ут А говоря, и векторы базиса. В самом деле, возьмем, например, полярную систему координат на плоскости и рассмотрим поле постоянного как по величине, так и по направлению во всох точках плоскости вектора А.
Вектор А при переходе от точки к г.,пддт точке плоскости не меняется, и его производная, очевидно, должна равРас. 13. Полярная снстеиа няться нулю, Координатами $' и З' координат на плоскости. будут радиус г и угол ~р, векторы базиса будут направлены следующим образом: э1 — по лучам, выходящим из начала координат, а э, — по касательным к окружностям г = сопз6. В разных точках плоскости э, и э, будут направлены по разному, и проекции постоянного вектора А на направления э, и эз в разных точках плоскости будут разными (см., например, точки В и С на рис. 13), т.
е. проиаводные от компонент постоянного вектора не будут равны нулю. 79 1 5. Теория деформаций В декартовой системе координат дш д в дх Ф вЂ”. == —,(ш э„) = — эю Ы дх' = дх' так как базисные векторы эт = в, э, =-,7, э, =-- гс неизменяются от точки к точке. В проиавольной криволинейной системе координат ц', ~1', 71в векторы базиса э; переменны, и поэтому нужно написать Ковариантное дифференцирование компонент тенаоров н векторов и его свойства дш дм т дэт — = — „эг+ш —; ° дч' д11" дд (5.44) Очевидно, по определению можно принять, что производная дэд/д17~ также представляет собой вектор, характеризующий свойства криволинейной системы координат.
Разложим зтотвектор по базису э; и обозначимкомпоненты этого разложения символами Г~. дэ —,. ==-Г~тэ;. дч* Величины Гдм являются функциями координат ц', т)', цз и на- аываются символами Кристоффеля или козффициентами связ- ности. Ниже мы изучим величины Г~~; подробно. Па основании (5.45) равепство (5.44) принимает вид дш дх л , эв+ |о Гадь дч' дч Второй член представляет собой сумму по й и 7'. Поменяем в ней обозначения индексов суммирования й иа у и 7' на к.. Тогда можно написать —, =- —, аз+ ш'Г;;эг = ( —, + и Гр)эв. (5.46) д11' дп' доз г 7~ш" = —, + и Гя. д дч' (5.47) КозффициентыпРиэют.е.
+шТЯ, с двУмЯ индексами '''дч' имеют специальное обоаначение т(,ш"; они нааываются ковариантными производными контравариантных компонент вектора тэ: Гл. Н. Кинематика деформкртеиой среды Установим свойства ~,.ю". В декартовой системе координат (ц' =х'), так как дэа/дх'=О а — 1 й =Ф т. е. Гя = О, имеем дм ди тд~ дч' дес коварнантная производная совпадает с обычной производной компонент вектора по координате. Ковариантные производные образуют компоненты тензора. В самом деле, пусть ь', ье, ьа — новая, а и', ц', пе — старая системы координат.
Тогда дю дж дв' де~ дч' де~ н видно,что, так так тэ инвариантный объект, то дгс/д111 преобразуются, как ковариантпые компоненты вектора. Позтому деа Т = —.э' дл' представляет собой инвариантный объект; но по (5.46) и (5.47) мы имеем Т = р,а аэ„э', т. е. Т является тенаором второго ранга, смешанными компонентами которого являются ковариантные производные у,.юс. Заметим, что производные два/дц' не являются компойентами тензора. Действительно, если под знак производной д/дц' вместо и" подставить их выражение в новой системе координат Ф ю'= юч —" д~~ то по ц~ нужно будет дифференцировать и дца/Щ, и мы не получим тензорного закона преобразования для диР/дЧ'.
Из определения ковариантной производной очевидно, что ковариантные производные от скаляра у совпадают с обычными производными тдр = —; де дзс и определяют вектор, который является вектором-градиентом скалярного поля у. Этот вектор как характеристику поля у мы рассмотрели подробно выше. Определим теперь ковариантную производную контравариантных компонент тензора. Возьмем для конкретности тензор $5.
Теория деформаций второго ранга Н = Нмэхэк и проведем вычисление следующим образом: дН дн'» 1к да; 1к дек —,. = —,. э;эк+Н вЂ”,э„+ Н1 э1 —,= ацк як дц~ дк1~ анк' ук = — э;эк+ Н Гяэ,эк+ Н' э;Гккэь Во второй сумме поменяем обозначения индексов суммирования 1 и у, а в третьей 1 и Й, тогда получим дН ( дНГк гк з я,к~ И , =~~ —,+Н Г,',+Н Г„~~;,=Ч,Н' ж дч~ д~Ц где по определению Ч;Н'=- —.+ХХ Га+Н Гя дН", ~к „П,к дцк называется ковариантной производной контравариантных компонент тензора второго ранга Н. Легко видеть, что в связи с теизором второго ранга Н можно ввести тензоры третьего ранга по формулам дн к и Т,= —,э =Ч,Н э;экэ, дц Т, = ЧкН э'э;э„, или Те =- Ч,Н э;экэк.
1к Очевидно, что тензоры Тд, Тз, Тз вообще различны. Аналогично можно построить ковариантную производную от контравариантных компонент тензоров любого ранга. Из определения ковариантной производной (ее линейности по компонентам вектора) ясно, что ковариантная производная от суммы контравариантных компонент равна сумме ковариантных производных: Чк1ок+ как) = ЧР + Чк Покажем, что правило дифференцирования произведений в ковариантном смысле совпадает с правилом дифференцирования произведений в обычном смысле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
