Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 15
Текст из файла (страница 15)
10). Отметим два его положения — в начальный момент времени го и в произвольный момент 1. о зависимости 1юнтоосон С каждой точкой М тела можно связать базиса сонутствующеи сопУтствУюЩУю систему координат $', Се, снстеиы от вреиени $е. Сопутствующая система будет двигать- ся вместе с телом, и векторы базиса сопутствующей системы в моменты ге иг будут разными. Обозначим их в момент 1, через э„а в момент1 — через э,. Ясно, что векторы базиса сопутствующеи системы зависят, вообще говоря, от точки М Рис. 10.
Движение абсолютно твердого тела. тела и, кроме того, меняются со временем. Очевидно, что, если система з1, зе, зе вмороткена в среду, а средадвижется как абсолютно твердое тело, то триздрыэе можно получить из триздров эе посредством поступательного перемещения и поворота ~эД = ~эе~ и ~йэеэ1 = ~„э~э;, т.
е.э; э1 =- эе эе. Сложнее будет обстоять дело в случае движения деформируемого тела. Действительно, при движении деформируемого тела расстояния между его точками М и М' меняются. Координатные линии сопутствующей системы координат деформируются, и векторы базиса э,. меняются со временем так, что меняются и их величины и углы между ними. Эффект изменения расстояний между точками сплошной среды во время движения очень важен. В частности, укажем на то, что силы взаимодействия между частицами зависят от иаменения расстояний между ними. т 5. Теории деформаций Рассмотрим два произвольных положения деформируемого тела и, в частности, его точек М и М' в произвольные моменты времени с и ~' (рис. 11).
Векторы базиса в точке М в момент ~' ш> Рис. >>. Движение деформируемой среды. обозначим через э,:, а в момент ~ — через э,. Очевидно, в сопутствующей системе координат будем иметь еЬ' = оэ>э> и Мы хотим ввести в рассмотрение характеристики изменения расстояний, поэтому необходимо ввести метрические тензоры сопутствующей системы координат в моменты времени 8 и Р.
Однако еще до введения метрики укажем, что любой бесконечно малый отрезок прямой, выходящий из точки М, в процессе движения сплошной среды переходит в малый отрезок прямой, выходящий из точки, соответствующей этой точке М. Действительно, наряду с бесконечно малым элементом сплошной среды >дг в момент г, которому в момент 1' соответствовал с>г', можно ввести в момент 1 элемент сплошной среды йдг, где й — некоторое число. В пространстве $>, Эв, Г в момент т' этому элементу соответствовал злемеит Йом', так как в этом пространстве в силу сохранения лагран>новых координат всех точек сплошной среды должно иметь место разложение по век- торам базиса э,': При разных конечных и и данном еег элементы Й>Ь определяют в момент ~ малый отрезокпрямой, выходящий из точки М, которому в пространстве з>, $в, $в в момент >' соответствовал малый отрезок прямой Й о>г'.
3 Л. И. Седов 66 Теперь введем метрики пространств сопутствующей системы координат в моменты т и т'. Пусть в момент т ~ т(т ~ = дг„~Ь' = дф5ЧК~, йн = — эыэ1 где (5.1) и в момент т' о~г' ! == Дг', Хгы д,,Д~'Д~„' д; — э;.э'. (5.2) где Подчеркнем, что координаты точек ЛХ и ЛХ' в моменты и т' в сопутствующей системе координат одинаковые, а компоиенты д„ и д1; разные. Назовем коэффициентом относительного удлинения отношение Коэффициент относитель ного удленевия где Нг н й' проходят в соответствующие моменты времени через одни и те же индивидуальные точки среды. Коэффициент зависит от точки ЛХ и направления элемеята, для которого он вычисляется, и не зависит от длины дг.
Волн 1 в каждой деформируемой среды и в каждом направлении бесконечно то деформация называется бесконечно малой. Воли конечное значение, то деформация конечная, По определ для абсолютно твердого тела все коэффициенты ( равны н Обратим внимание, что деформации и коэффициенты сительпого удлинения т можно вводить, рассматривая дв вершенно произвольных положения сплошной среды, и для любого ог можно вычислить, зная д~, до и направлепи Введем обозначение; Теизоры деформаций 1 е„=- —,, (ян — Лп); Из (5.4) видно, что ен можно рассматривать как ковариантные компоненты тепзора.
Как известно, с помощью любого тензора второго ранга х можно ио ковариантным компонентам некоторого тензора образовать его контравариаитные компоненты. В метрическом пространстве мы условились в качестве тензора х использовать фундаментальный тензор я. В нашем случае можно поднимать индексы либо с помощью я"~, либо с помощью дм Гл.
П. Кинематика деформяруеиой среды по (5.1) и (5.2) будем иметь Нг' — Иг" =- 2емс(~Ч$~. точке мал, имеет ению улю. отноа сочто 1 е й'. (5.4) $ о. Теория деформаций и потому по ковариаптным компонентам ем можиообразовать два разных набора контравариантных компонент: ея (индексы поднимаются посредством йя) и е"т (индексыподнимаются посредством д'т).
Зто означает, что можно образовать два разных тензора: = зпэ'э' и й' = есэ" э'т, имеющих одинаковые ковариантные компоненты (5.4), по отнесенных к разным базисам э' и э'. Зги два тензора называются тензорами деформаций. Контравариантные и смешанные компоненты тензоров сй и тй' разные, и мы установим для нпх обозначения етт, е'тт и е',, емт.
соответственно; е"т+ е',, так как з"; = е„т 'г', айт; =зятйати д'гт+ йят. Тензоры деформаций являются основными характеристиками возяикающих в телах деформаций, и их компоненты входят в основные уравнения, описывающие движение сплошной среды. Ясно,что в интересующийнас момент т веНачааьное состояние в личины деформации зависят не только от «начальное состояние» рассматриваемого состояния тела, но и от того, по отношению к какому состоянию эти деформации вычисляются. Как выбрать это состояние, если мы хотим получить определенные физические характеристики дефорьтациие Очевидно, оно не может быть совершенно произвольным, а должно быть определено из конкретных физических соображений.
Отметим, что его мэтт<но определять по-разному, и сейчас в теории деформация мы не будем фиксировать этот способ определения, а назовем каким-то образом выбираемое для сравнения с данным состоянием сплошной среды состояние начальным и укажем только на могущее встретиться при этом следующее обстоятельство. Зто начальное состояние не обязательно долятно реально осуществляться. Например, аа начальное состояние можно принять такое мысленно введенное состояние, в котором структура каждого элемента сплошной среды упорядочена и элемент предоставлен самому себе, т. е. на него не действуют никакие силы. Обозначим метрику в этом мысленно введенном состоянии через дтп а векторы базиса сопутствующей системы в начальном состоянии через эт Очевидно, что введенная таким образом метрика может окаааться неевклидовой.
Реальное же движение сплошной среды происходит в евклидовом пространстве, и, следовательно, в общем случае может не существовать действительного (реального) перехода сплошной среды из начального состояния в данное. Идеальное примыслевное «начальное состояние» (в кавычках) можно испольаовать для оценки изменения метрики н для введения тензора деформаций. 3» 08 Гл. 11. Кккематкке деформкруемой среды где «р,; — углы между векторами э, и эя и оя =- э," э; =- ! э, ). ! э; ! соэ фц, (5.5) где «р;; — углы между векторами 5, и Ьг Составим отношение д д5' дк« дс« )е;1 Я ! "э'Ф! д'« — — $ = — '=1,+$. (5 7) ! "'а«! "««« где «1», и «Ь«« — элементы дуг координатных линий 8«, а Поясним сказанное на примере движения в двумерном евклидовом пространстве, т.
е. на плоскости. Условимся рассматривать движение некоторой пленки в плоскости, а за начальное состояние выбирать такое, когда к пленке не приложены никакие силы. Пусть пленка растянута по краям и только благодаря этому растяжению остается плоской. Если же освободить пленку от растягивающих усилий, то она покоробится, покроется морщинами и, оставаясь двумерной, уже не будет плоской. Установить взаимно однозначное соответствие между точками плоской пленки в данный момент и покоробленной, морщинистой (в случае снятия с нее всех нагрузок) можно, но для этого, вообще говоря, нужно выйти в трехмерное пространство; оставаясь в двумерном пространстве, с сохранением типа метрики пространства, этого сделать нельзя. Поэтому нерастянутое покоробленное состояние пленки по отношению к движениям в двумерном евклидовом пространстве можно рассматривать только как «начальное состояние» (в кавычках).
Итак, если вводимое по каккм-то физическим соображениям начальное состояние как состояние сплошной среды может осуществлятьсямысленно или фактически с помощью некоторого движения, то зто начальное состояние можно определить как начальное состояние без кавычек. Если же вводимое мысленно состояние сравнения не может быть получено непрерывным движением среды в том же самом пространстве, то это «начальное состояние» (в кавычках!) Компоненты дм в общем случае могут зависеть от $', з», з» и 1; если прнмысленное «начальное состояние» фиксировано, то е»11 могут зависеть только от з', $», $». Выясним теперь геометрический смысл каряакткык компокевт текГео»ютркческкй смысл ко- ковариантных компонент тензоров дефор зорок деформаккй маций б« и Ж. Запишем компоненты метрических тензоров в следующем виде.
ди = э, э; =- !э«! )э;! соз«ри, (5.5) $5. Теория деформаций В9 козффициенты относительных удлинений в направлениях Теперь с помощью (5.7) из (5.5) можно получить д;; = ( а~ !. ) э; 1 (1 + 1~) (1 + Ц) соз "тн, (5.8) а с помощью (5.6), (5.8) и (5А), приняв за состояние сплошной среды в момент $' начальное состояние или «начальное состояние» «,.и получим следующие формулы: 2е„= [(1+(,)(1+1;) соз»Рм — соз»ря) ~а«~ /а;1, (5.9) которые удобны для геометрического истолкования е». Рассмотрим сначала геометрическое истолкование ео с одинаковыми индексами. Иэ (5.9) будем иметь 2ек — — ((1 + 1«)» — 1) д«, (5.10) откуда Ын (5.11) Если деформации малы, то зм малы; разложив (5,11) в ряд, получим «н хм (5.12) Кроме того, если сопутствующая система в «начальном состоянии» взята декартовой, то д ы = 1, и поэтому »«ем, (5 13) Л м 2 Тогда, положив из (5.5), (5.6) и (5.4) получим 2ем = )а,) !а») з)пу«;, т.
е. ковариантные компоненты тенэоров деформация с одинаковыми индексами в случае бесконечно малых деформаций совпадают с коэффициентами относительных удлинений вдоль декартовых осей координат начального состояния. Обратимся к вопросу о геометрическом истолковании компонент ея с различными индексами (при» +у). Для этого ради простоты в «начальном состоянии» выберем в данной точке такую систему координат, в которой а, взаимно ортогональиы, т. е. Гл. Н. Кинематика деформируемой среды 70 или 2еп Хл )у- ) ( 5.14) откуда видно, что в общем случае углы, бывшие в «начальном состоянии» прямыми, после деформации перестают быть прямыми, и ковариантные компоненты еп с различными индексами (1 + у) характеризуют скашивание первоначально прямого координатного угла. Воли деформации бесконечно малы и система координат в «начальном состоянии» декартова, то „ м =- 1 и фм — — 1 + О (е) (е — бесконечно малая величина).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
