Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Напомним, что в случае конечных деформаций бесконечно малан частица среды также испытывает аффинное, но конечное преобразование с матрицей (5.65). Допустим, что мы имеем два последовательных аффинных преобразования: х" = (Ь; + а;) хс' (а) х*' = (Ь'р + Ь'„) х". (Ъ) Составим результирующее преобразование ха = (Ьр+ а~р + Ь'р + а1 Ь р) хт, (7.21) соответствующее сначала преобразованию (Ъ), а потом (а). Если же, наоборот, сначала выполнить преобразование (а), а т) Ответны, что ы задет себя как обычный полярный вектор ве прв всех преобразованиях кооряяяат, нм. стр, 183 — 188. 1 7.
Распределение скоростей в бесконечно малой частнце 405 потом (Ь), то получим х" = (бдр+ бдр+ адр+ бд;а~р)хо. Квадратичную форму Ф = — епхдх' поворотом осей координат можно привести к каноническому виду: д Ф = — (едх~ + е,У~ + еаза), и преобразование (7.22) можно написать в главных осях в сле- дующем виде: хо =- (1 + едад) х, 1 у*= (1 + еьад)у, з* = (1 + е, Й) г, ) (7.24) где хь х уь — К ьь — х е, —,еь —,ез хед ' рад ' дед являются главными скоростями удлинений (ед) О) или сжатий (е, (О). Преобразование (7.22), очевидно, может быть заменено тремя преобразованиями вида хьь = (1 + едд(д) х, х** = х, (7.25) каждое иа которых представляет собой чистое растяжение или ожатие по одной из главных осей.
Но так как вообще а дУр~; Ь',а'р, то отсюда следует, что аффннные преобразования в общем случае некоммутативны. Однако если аффинные преобразования бесконечно малы, то члены матРиц ~!а*',бд ~~ ~!5'.ад ~( имеют втоРой поРЯдок малости; бесконечно малые аффинные преобразования с точностью до этих членов коммутатнвны. Вернемся теперь к формуле (7 19), опиЯйеобр~аова сывающей преобразование бесконечной ння бесконечно малой часмалой частицы среды.
Это преобразовасумму простейшнк преоб- ние можно разбить, не заботясь о послеразованнй. довательности проведения преобразований, на два, а именно на преобразование, определяющееся тензором скоростей деформаций: р* = р + атад) Ф й, (7.22) н преобразование, определяющееся вектором ек р' =ро+(ю Х ро)ей. (7.23) 106 Гл. П. Кянематяка дефорияруемой среды Итак, любое бесконечно малое преобразование бесконечно малой частицы сплошной среды можно разложить на четыро преобразования, одно из которых, (7.23), определяется вектором ю, а трн, (7.25), представляют собой чистые удлинения по трем взаимно перпендикулярным главным осям. При этом, в противоположность случаю конечных деформаций бесконечно малой частицы среды, порядок выполнения указанных преобразований несущественен.
Заметим, что все рассуждения были проведены применительно к вектору р, выходящему из центра частицы О. Но, на основании свойств аффинных преобразований, изменение длин всех параллельных отрезков одинаково, и поэтому произвольный малый вектор (не выходящий из точки О) испытывает те же самые преобразования. Все векторы, параллельные осик, удлиняются на е,й, параллельные у — на е„.й, н параллельные г— на езй, произвольный вектор р удлиняется на е,й на каждую единицу длины. Дадим кннематическое истолкование нектар мзхРЯ его "вне вектору ю.
Возьмем преобразование (7.23), обусловленное вектором ю, н составим изменение вектора р, вызванное этим преобразованием: р' — р" = Фа Если мы составим скалярное произведение рз бр*, то в силу (7.23) оно окажется равным нулю, т. е. изменение вектора рэ ортогонально самому вектору р*. Следовательно, все е,„= О. Таким образом, при преобразовании (7.23) бесконечно малая частица среды ведет себя как абсолютно твердое тело, и мы можем истолковать (ах рэ)й как перемещение при вращении с мгновенной угловой скоростью ю бесконечно малой частицы сплошной среды, мгновенно затвердевшей до или после происшедшей деформации.
Итак, вектор ю следует толковать как мгновенную угловую скорость вращения тела, связанного с бесконечно малой частицей среды, которое за время й остается твердым, т. е. триэдра главных осей тензора скоростей деформаций. Таким образом, вектор ю, называемый вектором вихря скорости, является мгновенной угловой скоростью вращения главных осей тензора скоростей деформаций. В случае конечной деформации бесконечно малой частицы среды движение также сводится к повороту и чистой деформации.
Найти вектор поворота, зная компоненты матрицы аффинного преобразования ()с',~~, можно,но эта задача сложна. В случае движения бесконечно малой частицы сплопшой среды аа время й, когда описывающее его преобразование является бесконечно малым аффинным преобразованием, вектор поворота равенел. з 7. Распроделевае скоростей в бескоясчко малой частице 107 Теорема Исши — Гааьигоаь- Наконец, соберем вместе результаты всех ц" с Раэасаювви свсуос™ предыдущих рассуждений. Сформулируточек бесконечно малой чаем теорему Коши — Гельмгольца о разложении скорости точек бесконечно малой частицы сплошной среды, Скорость нд любой точки О, (7.дб) бесконечно малой частицы сплошной среды с центром в О равняется тдд —— ода+ в Х р+ пгабФ (7.26 ) и складывается из скорости поступательного тд и вращатель- ного ю Х р движений частицы как абсолютно твердой и скоро- сти тдо=угаб Ф чистой деформации ло+уо+з' =Л', состоящую из точек среды.
Через время Лд она перейдет в эллипсоид, уравнение которого в главных осях будет, очевидно, иметь вид оо уоо гоо — Яо (д+одад) +(д+о Лд)о+(д+ одаб (причем сфера обязательно переходит в эллипсоид или в частном случае в сферу, так как е,й малы по сравнению с 7). Посмотрим, как изменится за время ддд объем такой бескоад печно малой сферы. Очевидно, в момент д объем Га = —.пАз, а в момент д + Ы те же частицы среды будут составлять объем эллипсоида (г = — пйо ($ + ед я) ($ + ео ддд) ($ + ез ддд). Составим и вычислим предел относительного изменения бесконечно малого объема среды при Ы -о- О и Го -о- О, имеем: г — оо Пш — = ед + ео + ез. ю а ровд то-а Сумма ед + е, + ео является, очевидно, инвариантной величиной — первйм инвариантом тензора скоростей деформаций. Как иавестно, череа компоненты тензора скоростей деформаций в проиавольной системе координат этот инвариант можно (7.28) тдд = тда + оаоивю + тд ° (7.27) О двэоргевции скорости Введем понятие дивергенции вектора скорости тд.
Возьмем в момент д бесконечно малую сферу 108 Гя. П. Кинематика дефоркяруоиой среды записать следующим образом: » ет + ез + ез —— — е» = д»де»з. Из определения ен (6.3) видно„что а еа =- т'»с». По определению инвариантная величина р„и» называется дивергенцией вектора скорости и обозначается йт тл 81то =- р„п (7.29) В декартовой системе координат, очевидно, будем иметь ди ди д»у йчи =- — + — + — . дх ду д» Из (7,28) видно, что б(т с с механической точки зрения представляет собой скорость относительного изменения бесконечно малого индивидуального объема сплошной среды: у — »о Жт в =- 1(ш — . ю о т, о А = А + йта<Р1~ + — Й Х р + рО (р), 1 где = — ан х х, ян — —, (р,.А1 + т7,А,) 1 и в декартовой системе координат 4 ~ й д д д до ду дх А, Аз Аз (8Л) Этот символический определитель можно составить и тогда, когда вместо компонент вектора А, А„Аз взяты просто какие- 8.
Теоремы Стокса и Гаусса — Остроградского некоторые связанные с ними свойства векторных полей 5 Ротация и дивергенция век- Пусть имеется непрерывное поле некототора рого вектора А, и пусть вектор А имеет производные первого порядка по координатам. Все рассуяодения, проведенные относительно поля в, можно повторить применительно к полю А и получить 3 о. Теоремы Стокса и Гаусса — Остроградского 100 нибудь три дифференцируемые функции Р, Д, В от х, р, з (в фиксированной системе координат любые три числа можно рассматривать как компоненты вектора).
Если А — вектор, то вектор й, вводимый по определению равенством (8Л), называется ротацией вектора А и обозначается следующим образом: Аналогично (7.29) можно определить дивергенцию вектора А как бра А = т«А« или в декартовой системе координат как сИт А =- — + — +— дА« дА« дА« дх ду дг Таким образом, можно считать, что 1 ю = — госи, 2 т. е. вектор вихря равен половине ротации вектора скорости. Возьмем в области определения векторного поля А некоторый разомкнутый .К или замкнутый С контур.
Составим скалярное произведение А сЬ, где ~Ь вЂ” направленный клемент контура К или С. Это скалярное произведение будет, очевидно, ннвариантной величиной. Образуем интеграл ~ (А с(я) = Г. АВ Введенный таким путем скаляр Г называется циркуляцией вектора А. по контуру л,. Направление обхода по контуру должно быть указано.
Циркуляция Г зависит в общем случае от контура У, по которому она вычисляется. Очевидно, Рис. 16. К оиределекию циркуляции. ГАВ =- — ГВА. Если вектор А есть скорость точек спло шяой среды и, то Г = ~ (и- с(я) = ~ и дх + к Ау + и дг АВ АВ называется циркуляцией скорости. ио Гл. П. Кииеиатика дефорыируемой среды Пусть вектор скорости и имеет потенциал и = 8гайф, тогда Г ==- ~ (и са) == ) ~ ог == фв — фа.
г дф лв АВ Отсюда видно, чтовслучае потепциальныхдвижений циркуля- ция скорости зависит от координат точек А и В; значение Г не зависит от вида контура У, если потенциал ф является одно- значной функцией координат. Например, прн ф =- †, , где алт1 Д = сопев, Г пе зависит от 2', и отсюда следует, что в этом случае циркуляция по замкяутому контуру С равна нулю, Гс =О. Если же, например, ф =- йб = й агс~8 —" (8.2) (й — постоянная величина), то фв — фа = й(8в — 8А), Рис. 17. Циркуляция в случае (2.2): Гс = 2яя, Г„= О, Г, = 2яйв при обходе точки О и раз. Г =.
~(тт сл) — -- ~ ') (п.ог). с а ст (8.3) Это равенство очевидно, так как интегралы, взятые по общим сторонам контуров С„, при суммировании сократятся из-за противоположных направлений обхода (рис. х8). Контуры Са можно взять сколь угодно малыми, и при вычислении Гса ') (п.с~а) можно считать, что скорость тт наС„ ба и отсюда следует, что в этом случае существуют такие замкнутые контуры С, охватывающие начало координат, по которым циркуляция отлична от нуля (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
