Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Дикзмичоскве покатая и двввмкчэокве уравнения где Ь вЂ” якобиан преобразования от переменных $2, Сз, Зз к переменным х'„хз, х',. Теперь уравнение (1.11), используя свойство якобианов, можно представить в виде 1 "'. р =- ро — = роВеС~ — ' а ~ дх» (1.12) Преобразуем далее полученное уравнение (1 12).
Обозначим для наглядности компоненты дх'/дз1 векторов э; в системе х, у, з через э;х, э;„, э;,. Тогда, очевидно, Э»э Эгх Эзх Эзх (Эз (Э,МЭ,))2 = Аз = Эзх Эз„э„ 22* Эзх Эох 11еС(дз»~ = д, Эзэ Эоз так как Сэз»= э,.э». Аналогично (э,.(эзХэз))2 = РеС(дз»~ = д, и, следовательно, (1.11) можно представить в виде . э'э' Р = Ро 1,х э (1.13) Уравнения (1.11), (1.12) и (1.13) — разные виды уравнения неразрывности в переменных Лагранжа.
Заметим, что в общем случае для плотности / любой величины Ф, сохраняющей свое значение в згвдивидуальном объеме сплошной среды, выполняется уравнение 1 = 12 ~/ ~ = /ЭА 2 (1.14) где А — детерминант матрицы преобразования от переменных хз к переменным хоз. Уравнение неразрывности носит весьма универсальный характер и выполняется при движениях любой материальной среды, его вид не зависит от свойств среды. Оно одинаково для всех сред: воды, воздуха, металла'и т. д. В уравнение неразрывности в случае сжимаемой среды (1.3) входят четыре неизвестные Э, Эз„ Эзх 222 Эох ЭЗЭ Э,х Эзх Э1» 222 222 Э22 сзз $2. уравиевия движения сплошной среды функции; плотность р и три компоненты скорости; в случае несжимаемой среды (1ЛО) в него входят только три неизвестные функции — компоненты скорости.
Очевидно, что для решения задач механики сплошной среды одного уравнения неразрывности недостаточно. Перейдем к выводу других уравнений, выполняющихся при движении любой сплошной среды. $ 2. Уравнения движения сплошной среды Будем изучать движение материальной сплошной среды в связи с причинами, которые это движение вызывают. Для этого введем в рассмотрение силы. Силы являются векторными величинами. Дадим основную классификацию сил, с которымн приходится иметь дело в механике сплошной среды.
Понятие силы в механике сплошной среды по сравнению с механикой материальной точки и твердой неизменяемой системы усложняется. В теоретической механике в основном имеют дело с сосредоточенными, или концентрированными силами, т. е. конечными силами, действующими в точке.
В механике сплошной среды мы встречаемся в основном с распределенными силами, т. е. действующими в каясдой части объема К или на каждом элементе поверхности Х сплошной среды, причем при стремлении бесконечно малого элемента объема или поверхности к нулю главный вектор действующих на него сил также стремится к нулю. Сосредоточенные силы встречаются в механике сплошной среды только в исключительных случаях. Иа второго закона Ньютона Сосредоточевиые и распре- деленные силы' Е=Лта, Для малой частицы Еж ЮЬт. Иногда рассматривают силу Ф, приходящуюся не на единицу где Лт — масса малого элемента сплошной среды, а а.— его ускорение, видно, что концентрированная сила может быть только в той точке, где а ~или р) обращается в бесконечность.
Силы, распределенные по объему К, наОбъеииые, иаи массовые, зываются объемными или массовыми силами. Обозначим через Е главный вектор массовых сил, действующих на элемент массы Лт. Тогда плотность Х массовой силы в данной точке есть 134 Гл. 111. Дииамичесиие попятил и динамические уреввевии массы, а на единицу объема. Очевидно, Ф= 11ш —, Е М е~~ т. е.
Ф вЂ” рЯ Позерхиоетиые еилм ФНГ и ХЫт имеютразмерности силы, Х вЂ” размерность ускорения, а Ф вЂ” размерность ускорения, умноженную на размерность плотности. Число различных видов массовых сил невелико. Это — сила тяжести(вес) Х = д, Ф = рд и вообще гравитационные силы, подчиняющиеся закону всемирного тяготения Ньютона; электромагнитные силы; силы инерции, которые приходится вводить при изучении движения в неинерциальных системах координат и которые с точки зрения самого движущегося тела являютси обычными реальными внешними массовыми силами. Иногда при изучении конкретных двиекений сплошной среды массовые силы вводятся искусственно.
Так, например, рассматривая двияеение профиля крыла в жидкости, можно считать, что область, занятая профилем крыла, также заполнена яендкостью, но для того, чтобы искусственно введенная я1идкость продолжала двигаться как профиль крыла, к ней необходимо приложить распределенные массовые силы. В механике абсолютно твердого тела действие любой системы сил эквивалентно действию ее главного вектора и главного момента. В механике деформируемых сред существенен характер распределения сил по телу. з * В механике сплошной среды основную роль играют не массовые, а поверхностные, т.
е. распределенные по поверхности сплошной среды, ск. лы, Так, например, если взять воду, налитую в сосуд, то на поверхности Я соприкосновения воды со стенками сосуда будет, очевидно, наблюдаться силовое взаимодействие. Взяв элемент Ыо поверхности Я, можно ввести элементарную поверхностную Ы* силу сЦо = 4к1о, где й1 =-11ш — — плотность поверхностных са-е йс сил, действующих па площадку йт. Плотность у поверхностной силы можно ввести в каждой точке поверхности Я, и она будет, вообще говоря, равной. Силы можно разбить на внутренние и пиУтреивие " виеюиие внешние. Силы называются внутренними, еилм если они вызваны объектами, принадлежащими к системе, движение которой рассматривается, и внешними, если они вызваны внешними ио отношению к рассматриваемой системе объектами.
з 2. Уравнения лввжеввя сплошной среды 155 Понятие внешних и внутренних сил относительно. Так, например, если мы рассматриваем движение воздуха в атмосфере и Земли вместе, то сила тяжести воздуха — внутренняя сила. Если же рассматриваем двиядение только воздуха, то сила тяжести — внешняя. Если рассматривается движение материального тела и электромагнитного поля, то электромагнитные силы — внутренние; если же рассматривается движение только материального тела, то поле является внешним по отношению к нему агентом, и электромагнитные силы — внешние.
Мысленно выделим з сплошной среде Силы ввутревввх вапрянекоторый произвольный объем У и разобьем его сечением Я яа две части Уд и Уз (рис. 23). Если мы будем рассматривать движение одной из частей У, например У, то при этом действие на нее второй части, т. е. У„необходймо заменить распределенными по У,мас- ух по=д'я~~ совыми силами и распределенными по Я поверхностными силами. Так введенные силы взаимодействия $; и, будут внешними для Уд. Если же дд й'~ мы будем рассматривать движение объема У в целом, то зти силы будут внутренними.
Сечение Я можно проводить по-разному, и, ь(у очевидно, распределенные по поверхности Л поверхностные силы Рве. 23. Силы ввутревввх пабудут на разных Я разными. Возьмем некоторую точку М внутри тела и рассмотрим в этой точке различные площадки да. Ориентацию этих площадок будем определять нормалью и к ним, а полную силу, действующую со стороны части среды в объеме У, на часть среды в объеме У па площадке Иа с нормалью и, обозначим через ИР. Дальше примем, что ддР = р Й~, где дд„— конечный вектор, Вектор дд„можно рассматривать как поверхностную плотность силы взаимодействия разделенных частей вдоль площадки до. В общем случае дэ„ может зависеть от ориентации площадки до и других ее геометрических свойств, Направление нормали и будем выбирать всегда так, чтобы она была внешней по отношению к той части среды, на которую действует вводимая сила р„йд.
Так, например, влияние объема У, наУд будем заменять распределенными силами уд йд, а влияние объема У на У вЂ” распределенными силами р „д(о (рис. 23). Такого рода поверхностные силы можно вводить в любой точке сплошной среды, они называются силами внутренних напряжений. Силу внутренних напряжений 2о„дЬ в каждой точке сплошной среды можно разложить на две составляющие — по нормали и 136 Гл. Н1.
Динамические понятия и динамические уравнения и касательной г к злементарной площадке По: зз„да = р„„п А + р„,т с1а, где р„„~Ь вЂ” нормальная компонента силы внутреннего напряжения, а р„,да — касательная, которая носит также название тангенциальной силы или, в слуРлпо чае жидкости, силы внутреннего трения. иле Поверхностные силы р да моРпп тут быть, очевидно, и внешними силами, т. е. силами, действуюр Р~Ф П щвми на внешней поверхности, ограничивающей сплошную среду. Ы В каждой точке ЗХ сплошной среды существует бесконечно многзс. 24. Нормальная и каса- го векторов р„, соответствующих тельная составляющие сил бесконечному набору площадок зкгтревкзх казРЯжезвй. ~1а, проходящих через зту точку. Однако ме)кду ними имеется универсальная, не зависящая от частных свойств движущейся среды, связь, которую мы ниже получим.
Основным динамическим уравнением движения материальной точки является второй закон Ньютона: р=та. (2Л) Нам предстоит сформулировать более сложное, но являющееся прямым обобщением второго закона Ньютона соотношение, описывающее движение сплошной материальной среды. Рассмотрим движение одной материальной урзвкеияе козвчеетвз двв„точки массы т относительно системы коор- жевия дзя материальной точки в для системы точек дннат х, у, г. Так как масса т точки постоянна, будем иметь Ые Нме 1 ьг а1 Произведение массы на скорость тп называется количеством движения точки. Имеем уравнение количества движения для одной материальной точки — производная по времени от количества движения материальной точки равна сумме всех сил, действующих на зту точку.
С помощью основного уравнения количества движения (2Л) можно решать две типичные задачи — по известным силам найти закон движения точки или по известному закону движения точки найти действующую на нее силу, Если мы имеемсистемуиз пматериальных точек, каждан из которых имеет массу шч и в реаультате действия на иее 3 3. Уравнвнвя движения сплошной среды И7 суммарной силы Е;, движется со скоростью но то для каждой из зтих точек можно написать уравнение количества дни>кения (2Л): от;зс — =Ем сИ причем в Е, войдут все силы, действующие на точку с номером 1, как внешнйе, так и внутренние по отношению ко всей системе иа и материальных точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
