Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если тетраздр будет стягиваться в точку, оставаясь подобным самому себе, то Ь будет бесконечно малой первого, а Я вЂ” второго порядка. Вычислим 41 для объема сплошной среды, находящегося в данный момент времени в объеме етого тетраздра; воспользовавшись свойством внутренних напряжений (2.3), очевидно, получим 0 — — — р —,ЛЬ+ (Рр)м —,оЬ+ у„5 — 1о асов(пх)— /Ие о ! 1 — уооЛсоз(пу) — 1тоЮсоз(пз)+ О (Ь'т"), где Х ) О. Пусть теперь тетраэдр стягивается в точку, остава- ясь подобным самому себе. Тогда, так как й = О в силу (2.2), должны, в частности, выполняться предельные равенства 1!ш — =О, 1!ш —,=О, 1ип —,=О. й .
Я . 13 к оь у оь к оь 1!ш — = О $3 г о~ вытекает, что всегда должно выполняться равенство то„= то'соз(пх)+ тоосоз(пу)+ росоз(пз), (2.4) которое показывает, что напряжение у„на любой площадке о)а взятой в точке М сплошной среды, всегда ио формуле (2.4) выражается линейно через напряжения р', 1зо, уо на взятых в той же точке М фиксированных площадках, параллельных координатным плоскостям прямоугольной декартовой системы координат. Соотношение (2.4) показывает также, что сумму внешних поверхностных сил у„сос, действующих на объем У сплошной среды, ограниченный поверхностью Х, можно по формуле Гаусса — Остроградского преобразовать в интеграл, взятый по объему: 1.' =1%+Т+Т)" в У (2.5) Первый предел в случае непрерывных и конечных характеристик движения, очевидно, всегда равен нулю, т. е.
вновь не получается никаких ограничений на зид подынтегральных функпий й. Из условия з 2. Уравнения движения сплошной среды $43 Уразневпя двшкення Р асом отрим, наконец, условие сплошной среды в дакартовой енетене координат Используя (2.5), представим ьз в виде «-(( — + — <- — )~ — ) — р~ Гду~ дрс дихт Г 0с (, дх ду дх ) Ж и из условия Пш =О й 1-о у получим Нс дтпл дрс дрс р — = рй'+ — + — + —. й ' дх ду дг (2.6) 2о' = Ршэю 2тз ртзэ или р' = р"эы (2.7) и введем матрицу р11 р12 р13 рм рзз рш .
и рзз р.з состоящую из девяти чисел. Согласно свойству напряжений (2.4) компоненты р„напряжения )о„= р'„-з, + р„'э, + р'„э, = р'„э, на произвольно ориентированной площадке, взятой в данной Это векторное уравнение является основным дифференциальным уравнением движения сплошной среды. Оно выполняется для любых непрерывных движений любых сред и в случае непрерывных движений полностью эквивалентно уравнению количества движения (2.2), так как из него следует, что О = О для любого объема К Подчеркнем, что равенства (2.6) и (2.5) получены при допущении непрерывности и дифференцируемости векторов р'.
Уравнение (2.2) постулируется для более общих случаев. Разложим векторы ф, 2т*, узз по векторам базиса э, = е, э, = = у, эз = Й декартовой системы координат: 144 Гл. Ш. Диваиические понятия и динамические уравнения точке сплошной среды, представятся формулами р'„= р" соя(па)+ р" соя(пр)+ ртасоз(иа) = р>>пм р> = р11 соя(иа) + раз соя(пу) + раасоя(па) = ра'пм (2 6) р„' = ра'соя(пх) -~- раз соя(пу)+ р" соя(па) = риис Таким образом, матрица Р определяет преобразование от компонент и,. вектора та=и,.э' к компонентам р'„вектора 2>„. Девять функций р>и входят в векторное уравнение движения сплошной среды (2.6), которое в проекциях на оси декартовой системы координат записывается следующим образом: да ар11 др11 др13 Р— =Ргх+ — + — +— ш дх ду да Ых,, др>', др1" драа Р— .=- РР— ' — -'- — +— Ш " ' дх ' ду дх дх др>1 др>1 драа Р Ррх + ( Ш * дх ау а где через Р„, Р„Р, обозначены проекции на оси координат плотности массовой силы Р>.
Если к этим уравнениям движения добазитьуравнение неразрывности (1.3), то иы получим систему четырех уравнений, в которой при заданных внешних массовых силах Г>удет содержаться, вообще говоря, тринадцать неизвестных функции: плотность Р, компоненты скорости и, у, к> и девять компонент внутренних поверхностных напряжений р>а. >енаор напряжений Зависимость (2.4) вектора напряжений р и на произвольно ориентированной площадке от векторов напряжений р1, «>1, т>а на координатных площадках может быть с помощью (2.8) записана в виде 1>„= 2>>и, = Рмэап>= 2>'(э, и) = Ра>эа(э; и).
(2.10) Это равенство дает линейное (с козффициентамирм) преобра. зование от компонент вектора га к компонентам вектора 1>„. Оно было получено с использованием ортогональной декартовой системы координат, и, следовательно, рм были определены в произвольных ортогональных декартовых системах координат. Равенство (2.10) является соотношением между векторами 1у„и та и поэтому может быть написано в любой криволинейной сйстеме координат. Отсюда следует, что не только в ортогональных декартовых осях, но и в произвольных криволинейных системах координат с помощью равенства (2.10) можно ввести величины рм, которые следует рассматривать как контравариантные 4 2.
Уравнення движения снловжой среды 145 компоненты тенэора Р = рыэаэ1. Этот тензор называется тензором внутренних напряжений. При атом в любой системе координат будет выполняться равенство 1о„= Р п = тэ'я1, где ю„— напряжение на произвольной площадке с нормалью п, а й.
— коварианткые компоненты и. с 1 Заметим, что равенство 1т = р на соотФизические компоненты я тензера напряжений ветствующих координатных площадках выполняется, вообще говоря, только в случае ортогональной декартовой системы координат; легко убедиться, что в произвольной криволинейной системе координат чг ~= тэ„на соответствующих площадках. Действительно, для данной криволинейной системы координат рассмотрим площадку, определяемую векторами базиса э,,1 и а„, (индексыапределены ко модулю 3), положительное направление нормали к атой площадке определим как направление контравариантного вектора базиса э,.+,хэ,+, а' = единичный вектор этого направления определится, очевидно, формулой э, я*==, ра" где дк ) О, а квадратный корень здесь и дальше берется с положительным знаком.
Согласно (2.10) вектор напряжения тэ„на такой площадке, который мы обозначим через р;, представится в виде р~~э (эз ° э1) р зэ Уи и, следовательно, вообще не равен вектору тт' = р*' э„. Вектор напряжения р; можно рааложить по единичным векторам базиса а„, взятым в рассматриваемой точке: аз эз тэ1' = Х 146 Га.
111. Двяамвческвв понятия в дквамвчвскив ураввевия Величины Хьч называются физическими компонентами вектора напряжения уь На основании двух последних равенств можно написать, что (суммирование по а в этой формуле отсутствует). Отсюда ясно, что физические компоненты Х"' не являются компонентами какого-либо тензора. В декартовой ортогональной системе координат р ~ = Х Из векторного уравнения количества двия<ення (2.2) Ураввевия двяжевяя оплошкой среды в вровзвельвой системе коорди- ват 1р — Л= 1 ГрИ+~ р„да т т в и нз теоремы Гаусса — Остроградского р„г(а = 1 р'п1аа = ~ 71р'ат в получим, что в случае непрерывных движений выполняются следующие уравнения движения: ря = рХд+ Чар или раа = — рР»+ 7,рм, (2.11) справедливые в любой криволинейной системе координат.
В уравнениях движения (2.11) ат = —. + о'р,и' .= — + о' — + и Гп до" ди" lди" а ь ~ дп ' д1 ~,~„Р р;Ф = ~ + ФГ'~ = рьр «~ . для Векторное уравнение (2 11) верно как в подвижной, так и в неподвижной системе координат, в частности, как в системе отсчета, так и в сопутствующей системе.
Однако нужно иметь в виду, что вектор а является ускорением индивидуальных точек среды относительно какой-либо инерциальной системы координат, а хд является плотностью заданных массовых сил. Если же движение и ускорение рассматривать относительно неинерциальной системы координат, то в выражение для К нужно включать силы инерции. Выделим в сплошной среде бесконечно малую частицу с массой р Ит, на нее будут действовать массовые силы рхдь(т, силы $ 3. Уравневвя моментов количества двюкеввя 147 — (кз Ж, которые в сопутствующей системе координат являются силами инерции; силы р;р' дт = у~риз„дт, которые можно рассматривать как массовые силы, возникающие за счет действия поверхностных сил на границе частицы. Уравнение (2.1() можно рассматривать как условие равновесия относительно сопутствующей системы координат; согласно (2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
