Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Этот факт проявляется в том, что число уравнений меньше чксла входящих в них неизвестных, система незамкнута. Построение замкнутой системы уравнений, описывающих движение конкретной сплошной среды, связано с поисками дополнительных соотношений между параметрами данной сплошной среды. Построить замкнутую систему уравнений — этозначит построить математическую модель пзучаемой среды. Построение новых моделей сплошных сред — важный раздел механики. Он носит название реологии. Построение новых моделей связано с экспериментальным изучением свойств материала.
При атом всегда необходимо использовать также известные общие принципы механики и физики, например термодинамические соотношения. Полезным оказывается использование вариационных принципов. В этой главе мы рассмотрим некоторые простейшие классические модели сплошных сред. При этом мы ограничимся только теми случаями, когда свойства сред и изучаемые классы процессов таковы, что для описания механического движения не нужно определять термодинамические свойства сред, система механических уравнений оказывается замкнутой без привлечения термодинамических уравнений. В общем случае при рассмотрении всевозможных процессов в таких средах приходится также обращаться к соотношениям термодинамики.
Начнем с изучения моделей идеальных жидкости и газа. в61 $1. Идеальные жидкость и газ Оиредеаиаие идеалыюй исидиоети В частности, для смешанных компонент рь можно написать (1 1) ( Компоненты б~ь тензора Ььв э,. при преобразовании координат, очевидно, не меняются (б„с = бас), и поэтому формула (1.1) для смешанных компонент тензора напряжений в идеальной ясидкостивернане только в декартовой, но и в любой криволинейной системе координат.
Контравариантные компоненты этого тензора имеют вид Рм йжвРс Реьб, Р и 4 в (1.2) а ковариантные компоненты будут иметь вид Ры = тырс = Рбьвбс= Рбы. Следовательно, тензор напряжений в идеальной жидкости задается одним числом р, а не девятью или шестью числами р"', как это имеет место в общем случае. 6 л. и. седов Назовем идеальной жидкостью или идеальным газом такую среду, в которой вектор напряжения р„на любой площадке с нормалью ть ортогонален площадке, т. е. РДть.
Зкспериментальныс данные и общие физические соображения показывают, что любая среда при очень больших температурах и давлениях практически обладает таким свойством. Тензорная поверхность в этом случае ааьией жидкости шаржюй будет, очевидно, сферой, н, следовательно, Рс = рь = рэ т.
е. главные компоненты тензора напряжений одинаковы. Обозначим их через — р и назовем р давлением. Вьсбор знака диктуется желанием ввести давление как положительную величину, так как опыт показывает, что среды, для которых годится модель идеальной жидкости, в типичных случаях находятся в схсатом состоянии при р >О. Любые три взаимно ортогональных направления для такой среды являсотся главными направлениями, и поэтому в любой декартовой системе координат матрица компонент тензора напряжений имеет вид 162 Гл. 1У.
Замкнутые системы механических уравнений Для идеальной жидкости Р = — р6, где 6 — метрический тенаор, Заметим, что любой тензор Т, тензорная поверхность кото- рого есть сфера, называется шаровым. Все шаровые тензоры имеют вид Т = хС, причем й — скаляр. Уравнения движения сплошной среды ((2 11) гл. П1) в лтобой криволинейной У равнении движении идеальной жидкости системе координат ра" = рР" + ртрм в силу (1.2) запишутся для идеальной жидкости следуюптим образом: ра = рР— с 17тр. (1 Л) При написании (1.3) учтено, что компоненты тензора дат ведут себя при ковариантяом дифференцировании как постоянные величины.
Напишем эти уравнения в векторном виде. Величины тутр являются, очевидно, ковариантными компонентами вектора- градиента р, а дмтт;р — его контравариантными компонентами. Поэтому уравнения (1.3) в векторном виде имеют вид ра = рхр — ягат( р. (1.4) В проекциях на декартовы осн координат эти уравнения запишутся в следующем виде: дх ст (1.5) ди Ю вЂ” = дх дх Ю вЂ” = дх дю и — =- дх Зйлера. Р 1 др дх 1 ар р ау др р' р дх да аи да — +и — +о — + дт дх ду дх дс дх — +и — +о — + дт дх ду дтс дх дта — +и — +о — + дт дх ду Они называются уравнениями 1 ар (х р дх др р ад' 1 др р дх 1 1. Идеальные жидкость н газ 163 Уравнения движения иде- альной жидкости в форме Лемба — происки Запишем вти уравнения в несколько другом виде.
Легко видеть, что ускорение всегда можно записать следующим обрааом: до с',3 — + афтаб — + 2го ~ тг, дг 2 (1.7) где го — вектор вихря. В самом деле, используя декартову систему координат, для проекции ускорения на ось х имеем Ни ди ди , ди ди — =- — + —. И - ~- — д + — И =- Ш де де дк де ди 1 д т т , т I ди ди ~ / ди ди'~ =- — + —, — (и'+ во + ют) — ( — — — ) и+ ( — — — ~ ю = де 2 де ~,дх ду) (де ди) ди, 1 дне ди 1 дс' сч зд и ° дт 2д* + —, — -~- 2 (ог ю — го е) = — + — — + 2 (го х и) .
л' Аналогичные формулы получаются для проекций ускорения на оси у н з . Поэтому ускорение г(н/Ж в векторном виде запишется в форме (1.7), а уравнения движения идеальной жидкости в векторном виде — в форме — + — лгаг) тгс+ 2ю Х тг .= Х вЂ” — ягаг(р. (1.8) Зги уравнения носят название уравнений движения Зйлера в форме Лелба — Гремели. Такое преобразование ускорения можно применять для любых сплошных сред, и оно оказывается, в частности, очень полеаным при изучении многих вопросов гидромеханики.
К трем уравнениям двиягения идеальной жидкости следует добавить уравнение неразрывности ~~ + г(1т рн = О. др Мы получили систему четырех уравнений, которая при из.- вестных массовых силах г'„, Гю Р, содержит пять неизвестных функций: и, н, и, р, р. Такая система все еще незамкнута, полная система уровне- В некоторых случаях можно дополнительннй движения идеальной но считать, что рассматриваемая идеальнссинмоемой (вообще не- ная жидкость является несжимаемой, т. е.
однородной) жидкости такой жидкостью, плотность каждой частицы которой постоянна. Тогда к втой системе четырех уравнений добавляется условие — = — +н.йгабр= О др др Ш де 161 Гл. 1У. Замкнутые системы механнческкх уравнений или, в декартовой системе координат, — + и — + сс — + и — = О.
др др др др дс дх ду дс Это условие замыкает систему уравнений, описывающих двиясе- ние идеальной несжимаемой жидкости. Приведем зту систему полностью: (1.9) — = О. др дс = Заметим, что в случае однородной несжимаемой жидкости плотность р постоянна в частице и одинакова для всех частик, позтому она перестает быть существенной искомой функцией. Полная система механических уравнений состоит в атом случае из уравнений Эйлера и уравнения неразрывности: — + сс асс = Р— — л с71р, дзс 1 с с 1 дс ' р (1.1О) Ч,о =О.
р = 1 (р), т. е. в каждой частице давление зависит только от плотности. Прес(ессы, в которых р = 1 (р) называются баротропыызсы. Примером баротропного процесса может служить изотермическое движение газа, подчиняюще- гося уравнению Клапейрона р =Лрт, где  — газовая постоянная. (При изотермическом движении температура Т вЂ” постоянный параметр, одинаковый для всех частиц.) Очевидно, что условие баротропин (если функция 1(р) известна) позволяет замкнуть систему уравнений, описывающих двнскение вдеальной сжимаемой жидкости.
Замкнутая енетема уран. неннй двнження Наевльней ежннаекой жнккеетн в случае баретрепнык про- цессов де 1 — = Р— — нгаа р, дс= р а1 = О, При движении сжимаемой жидкости (газа) во многих случаях можно считать, что З 2. Линеянов упругое тело и лине»»ная вязкая жидкость 165 Полная система уравнений в этом случае в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид др , дри дри , др»е — т — + — +— дс ' дх ду дс ди ди ди ди — +и — +и — +ив дс дх ду дх дг , ди дп дг дс ' дх ду дс — я и — +и — +и— дх дх дх дх — +и — +п — +ю— дс дх ду дг =О, 1 др р да 1 др р ду 1 др р дс' (1Л1) р =Яр).
$ 2. Линейное упругое тело и линейная вязкая жидкость Рассмотрим другие частные модели сплошных сред: модель линейного упругого тела и модель линейной вязкой жидкости. Построение этих моделей проводится параллельно, так как способы их введения, как мы увидим, формально аналогичны. По существу все эти две модели описывают два совершенно различных типа механического поведения реальных сред. Упругим телом называется среда, вкоторой компоненты тензора напряжений рм в каждой частице являютсяфункциями компонент тензора деформации е»Ь компонент метрического тензора у»Ь температуры Т и, возможно, других параметров физико-химической природы К» (напрвмер, концентрации фаэ): рн = с»с(е„е у"з Т ул ° ° ° у ). (2.1) Вязкой жидкостью называется среда, в которой компоненты тензора напряжений представляются в виде ри = рйи ' т»с (2.2) Упругие тела Вязкие жидкости причем Р = Р(Р Т Кс. ° ° Ко) т" = »р»» (е.е, а"з, Т, К,, К ) ! где е„д — компоненты тензора скоростей деформаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
