Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 29
Текст из файла (страница 29)
И) сумма всех сил, действующих иа частицу, равна нулю. Заметим, что если тензор Р = рм эт э~ постоянен во всех точках среды, то у;ф = О. В декартовой системе координат компоненты тензора напряжений р"' входят в уравнение движения только тогда, когда они зависят от координат л, у, з. Вместе с тем равенство рзр' — — О или ~7,рм = О и равенство Р = рмэ э, = сопз1 пе эквивалентны.
Например, если среда, ка которую пе действуют массовые силы, покоится, то 74рм = О. Это уравнение является основным уравнением теории упругости, где часто рассматривают задачи о равновесии различных объектов, нагруженных только внешними поверхностными силами. $ 3. Уравнения моментов количества движения Как указывалось вьппе, полученная система универсальных уравнений движения сплошной среды еще не является замкнутой.
Можно получить еще другие универсальные уравнения, не зависящие от частных свойств движущейся среды. С этой целью рассмотрим другое общее уравнение механики — уравнение моментов количества движения. Умножив уравнение Уравнение моментов ко- ле лкчеетва дввжеввя для ~Й мзтеркзльвей точки екстекм точек векторно слева на радиус-вектор е рассматриваемой материальной точки массы т относительно точки Π— начала некоторой икерциалькой системы координат, получим уравнение моментов количества движения для точки: (ЗЛ) где .К = и Х те и Ж = и Х Е $48 Гл.
Ш. Динамические понвтнн н дннамвческне уравнения — момент колнчествадвижения материальной точки и момент действующих на нее сил Р относительно точки О соответственно. Уравнение моментов количества движения для одной материальной точки является, таким образом, тривиальным следствием второго закона Ньютона. Если мы имеем систему я материальных точек массы им движущихся со скоростями по то для каждой из них можно написать уравнение моментов количества движения (ЗЛ): о (еч Х иРгг) =- тч Х Ро где г, — главный вектор всех, в том числе и внутренних по отношению ко всей системе, сил, действующих на рассматриваемую точку ис Сложив вти равенства для всех я точек системы и определив момент количества двиягения системы как lггуЪ нуг ° Л7, .К == ~(г; Х лггтг,), л 1=1 очевидно, получим уравне.
ние моментов количества движения длн системы точек: Рнс. 26. Сумма моментов всех внутренннх свл относительно точки 0 равна нулю. ~ = ~е; Х Р)'~, 1=1 где справа в силу третьего закона Ньютона (см. рис. 26) будет стоять сумма моментов, только внешних для всей системы сил. Производная по времени от момента количества движения системы точек относительно некоторой точки О равняется сумме моментов всех внешних действующих на систему сил относительно той же точки О. Отметим, что момент количества движения системы материальных точек можно записать в виде .К = е" Х тп'+ 3(т'г„„Х туг„,„), г=г е где и =- ~~ , 'ио е е — радиус-вектор центра масс систег 1 мы, ие — скорость центра масс, г„„,„— радиус-вектор гьй точки относительно центра масс, тг~ „— скорость гьй точ- $3.
Уравнения моментов количества движения . $49 айомевт количества движении ноиечпого объема сплошной среды; собственные моменты количества движении т7=Н +исты где ке — скоРость центРа масс О* объема т, а всгс — скоРость рассматриваемой точки относительно центра масс. Тогда, очевидно, момент количества движения объема т относительно некоторой точки О будет раю~~и вен сумме момента количества движе- T" ния материальной точки массы т, ат совпадающей с центром масс объема, 0 — У относительно точки 0 и моментов количества двикгения всех точек М объема т относительно центра масс О*, т. е.
.К-=т" х 9+~ (т;„, К и„„)рот, Л' Рис. 27. К уравнению моментов количества движения длн конечного объема сплошной с реди где 9 = шве — количество дэнн~ения материальной точки массы т, совпадающей с центром масс, или К =ге Х 9+ Ке; .К*= ~(г„„х и„л)рй. т Рассмотрим теперь бесконечно малый объем Нт. Во многих случаях для бесконечно малого объема моментом количества движения.Ке можно пренебречь по сравнению с те х (р. Возьмем, например, Нт в виде бесконечно малой однородной сферы радиуса В, вращающейся с угловой скоростью е вокруг оси, проходящей через ее центр 0*; тогда .К* — 1е — тРю ки относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с центром масс. Моментом количества движения объема У сплошной среды обычно называют .К= ~(т х и)рсЬ, (3.2) где г — радиусы-векторы точек сплошной среды относительно некоторой неподвижной точки О, а в — их скорости.
Рассмотрим, однако, этот вопрос подробнее. Пусть мы имеем некоторый объем т сплошной среды с массой т. Ясно, что скорость и произвольной точки М этого объема можно представить (рис. 27) в виде суммы $50 Гл. Ш. Двнамвческие понятия в дввамнческве уравнения где 1 — момент инерции, а 1 — радиус инерции этой сферы относительно ее оси вращения. Очевидно, жР имеетпорядок В', а ч е Х 9 — порядок В', и Л~, если толькою конечна, мал по сравнению с м* х 9, момент количества движения объема Г сплошной среды К в пределе равен ~ (и Х и) р Нт.
Однако если угловая скорость ю настолько велика, что юР конечно, то .К~ и г*Х 9 имеют одинаковый порядок В' и момент количества движения объема У сплошной среды должен быть равен .К =- ~(г Х и) рот+ ~йр~И, й где через й обозначена плотность так называемых собственных или внутренних моментов количества двизкения. Посмотрим на изучаемый вопрос с физической микроскопической точки арения. Рассмотрим систему, состоящую из ядра и вращающегося вокруг него электрона, т. е. атом. Электронвращается по орбите со скоростью порндка скорости света, и поэтому, несмотря на малый размер атома, система ядро — электрон обладает значительным собственным моментом количества движения.
Момент количества движения, происходящий за счет вращения электрона по орбите, называется орбитальным моментом количества движения. Кроме того, электрон, а таки е ядро обладают собственным моментом количества движения — олином, наличие которого нельзя объяснить с помощью введения соответствующего механического движения. Таким образом, все атомы, вообще говоря, обладают собственными моментами количества движения Ф. Но сумма этих моментов количества движения Й для всех атомов в силу хаотичности движения во многих случаях равна нулю. Однако движение элементарных частиц можно упорядочить, наложив, например, магнитное поле, н тогда сумма внутренних моментов всех атомов будет отличной от нуля. В этом случае в выражение для момента количества движения макроскопической частицы сплошной среды должна, вообще, входить сумма собственных моментов количества движения з л. уравнения моментов количества дввжеввл Таким образом, если, например, мы хотим в механике сплошной среды описывать движения Реальных сред в электромагнитных полях, то мы должны вводзсть в рассмотрение собственные моменты Й и определять ьтомент количества двия<ения объема Г сплошной среды с учетом зтих моментов по (3.3).
Собственные моменты количества дЬижения стали рассматриваться в механике сплошной среды только в последнее время, когда круг задач механики сплошней среды в связи с запросами современной техники сильно расширился. В классических вопросах механики сплошной среды внутренние моменты й не учитываются и момент количества двизкения объема У сплошной среды определяется как )(г х п)РНт. г Раевределекные массовые Введя в рассмотрение внутренние моменк поверхностные вары ты сс, мы должцы допустить существование распределенных массовых и цоверхностных пар.
Па каждую частицу сплошной средй действуют распределенные массовые и поверхностные силы. Рте может случитьсятак, что действие внешних материальных объектов на частицу сплошной среды нельзя заменить только зтиьти силами, а потребуется вводить также массовые и поверхностные пары.
Обозначим через Ь и 9, отнесенные к единице массы и поверхности моменты соответствепно мавсовых и поверхностных пар. Примером распределенных массовых пар могут служить пары, действующие на каждый элемен'г стрелки компаса, помещенной в магнитное поле Земли. Уравкевяе момеятов колк- СФормулнруем теперь как обобщение чеетва движения длк ко- уРавнений моментов количества двинечяего объема екловшей ження для одной материальной точки и среды для системы то'сек уравнение моментов количества двиясения для конечного индивидуального объема К сплошной среды, ограниченного поверхностью Х: ~~(ю х п)р<й+ ~1срдт~ = = ~(г х Р) рс(т+ ~(г х р„) Но -)- ~барс)т+. ~9„~й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
