Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(1.2) Применив правило дифференцирования (8Л6) интеграла, взятого по подвижному объему, при условии соблюдения закона сохранения массы, будем иметь Э = — "„, = ~ ( е1 + 8)» р ) (т = ~ ф+ р й тп) (т т 'т нли, так как зто равенство справедливо для любого индивиду- ального объема, получим первое основное дифференциальное уравнение механики сплошной среды: ++раен=О, 1р (1.8) которое носит название уравнения неразрывности в переменных Эйлера. Это же уравнение, так как масса сохравезвчвны няется для любого индивидуального объема, можно, очевидно, непосредственно Кроме массы т есть и другие физические характеристики, остающиеся во время движения постоянными в любом индивидуальном объеме сплошной среды.
Например, пусть У вЂ” число молекул нли атомов в произвольном индивидуальном объеме. Часто Ф постоянно в индивидуальном объеме. Введя число мо- М лекул илн атомов в единице объема п = Пш —, на оснои оУ ванин предположения о постоянстве Ф в любом индивидуальном объеме с помощью формулы (8.22) получим для и где интеграл взят по подвижному индивидуальному объему- Таким образом, зная р, можно найти т. Плотность р для индивидуальной частицы может и не сохраняться, так как объем частицы во время движения может меняться.
Закон сохранения массы для индивидуального объема сплошной среды можно, очевидно, теперь записать в виде д26 Гл. 1П. Диламическио ионятил и динамические уравнения аналогичное (1.3) дифференциальное уравнение: —, + падук = О. На дп (1.4) Если в сплошной среде происходят химические реакции, то уравнение (1.3) выполняется, а уравнение (1.4) нет. Существуют и другие скалярные, векторные или тензорные величины, сохраняющие свое значение в любом индивидуальном объеме. Обозначим такую сохраняющуюся величину через Ф и введем плотность атой величины: ЛФ (= 1дш— с с~~ Очевцдно, что для Ф и 1 выполняются следующие условия: Уравнения неразрывно сти Лля миогокомконеит иых смесей т — + ~д)1ттд = О.
ы) ж В физике во многих случаях последнее условие выполняется для плотности заряда е. Установление тех характеристик, которые сохраняют свою величину в индивидуальном объеме, является одной из основных проблем физики. Пусть мы имеем смесь, состоящую из и компонент, например: смесь водорода, кислорода и паров воды (и = 3); сплав олова и меди; раствор соли в воде; плазму — смесь свободных электронов и ионов — и т. п.
Все такого рода многокомпонентные смеси можно представить себе как совокупность я континуумов, заполняющих один и тот >ке объем, занятый смесью. Для каждого из этих континуумов можно ввести свою плотность и свою скорость. Обозначим нх через рм рю... ..., р и п„тд„..., тд . В каждой точке объема, занятого смесью, бУдет ямплотностеи Р,. и и скоРостей ип каждаЯ из котоРых относится к своему континууму. Таким образом, в этой постановке механика смеси является механикой набора континуумов, заполняющих один и тот же объем.
Рассмотрим сначала случай, когда в смеси не происходят химические реакции или ионизация. В этом случае для каждой из п компонент смеси должен выполняться закон сохранения мас- 127 $1. Уравнение неразрывности сы, и мы будем иметь п уравнений Ф=О или ар, а, + праргиг —— О„ (1.5) Если >ко в смеси происходят химические реакции или ионизация (этот случай интересен с точки зрения приложений), то массы компонент т, могут меняться. Введем х, — изменение массы т,.
1-й компоненты смеси в единицу времени на единицу объема за счет химической реакции или ионизации. Величины х, определяются в химии. Тогда уравнения неразрывности для компонент смеси можно записать в виде — „,' =~ кфт 1 илн ар, а + о'ч РЛ( = к~. (1.6) Основной закон химических реакций заключается в том, что общая масса смеси остается постоянной, и поэтому ~~'~ к, =: О. (1.7) вг = ~~~ т„ а плотность смеси р определим как Лт Иш— аг з Ь Плотность компонент смеси Ат~ р1 — — Пш —, ат- Кроме и плотностей и п скоростей компонент смеси можно ввести одну плотность р и одну скорость и смеси как целого.
По определению масса смеси в данном объеме равна сумме масс компонент в этом же объеме: 12З Гл. Ш. динамические понятия и динамические уравнения и поэтому е Р=ХРо Соотношение, являющееся результатом суммирования (1.5), с учетом (1.7) можно написать в виде Это уравнение будет иметь обычный вид уравнения неразрывности (1.3), если скорость и смеси в целом определена следующим образом: ~', гсСС1 (1.8) Заметим, что так определенная скорость и представляет собой скорость общего центра масс и индивидуальных объемов, соответствующих и компонентам смеси. Может случиться, что все компоненты смеси движутся с одинаковыми скоростями, которые совпадают в этом случае со скоростью движения смеси в целом: Уравнение неразрывности в случае процессов е лиффузиев Такого рода процессы называются процессами беэ диффузии.
Если скорости компонент н, разные, то имеет место диффузия; в этом случае одни компоненты смеси движутся относительно других, Электрический ток представляет собой пример такого процесса. При наличии электрического тока в неподвижном проводнике имеем и = О, а е,+ О, движение электронов и ионов в проводнике и образует электрический ток. В случае процессов с диффузией уравнения неразрывности (1.5) нли (1.6) можно видоизменить и ввести в уравнение нераз- 1 1. Уравнение яеразрывноета 129 рывности каждой компоненты скорость и движения смеси как целого. В общем случае при наличии химического взаимодействия и диффузии уравнения (1.6) можно написать в виде др — +а р,и=к,— а1 Хо д1 (1.9) где Х1 =- р1 (и( — и).
Разность и, — и является, очевидно, скоростью 1-й компоненты относительно среды в целом. Члены йт Х, в уравнениях (1.9) характеризуют изменение массы 1-й компоненты в объеме, движущемся со скоростью и, за счет того, что этот объем, если и+и,, не является индивидуальным объемом для 1-й компоненты.
Частицы, составляющие 1-ю компоненту, входят в этот объем и выходят из него. Векторы Е„носят название векторов потока диффузии. Для вычисления векторов потока диффузии Х, необходимо опираться на законы физики. Законы диффузии в разных случаях могут быть разными, но в любом случае из (1.8) следует, что выполняется условие Вместо п уравнений неразрывности (1.9) для компонент смеси можно использовать л — 1 независимых уравнений неразрывности (1.9) для компонент смеси и уравнение неразрывности для смеси в целом — о + йт рп = О. др де 5 л. и.
седое Таким образом, изучая движение многокомпонентной смеси, можно не вводить явно п континуумов, заполняющих один и тот же объем и движущихся с разными скоростями ичэ а вместо 11, ввести в рассмотрение только векторы потока диффузии Хе и рассмотреть уравнения (1.9) как уравнения для плотностей р, компонент смеси. Ясно, что при изучении движения многокомпонентных реагирующих смесей необходимо объединять законы механики с законами физики и химии для величин к и Х1. 100 Гл.
111. Дввамвчссвяс яовзтвя в дивамячсские уравнения уравнение веразрыввсстм Уравнение неразрывности (1.3) получено тру~~ те"а для произвольной сплошной среды. в случае несжимаемой среды Среда называется несжимаемой, если любой ее индивидуальный объем остается во все времядвижения постоянным по величине. Поэтому плотность в частице несжимаемой среды также остается постоянной. Уравнение неразрывности имеет вид а =о. (ио) Среда называется однородной, если плотность р одинакова во всех частицах среды,т. е. р не зависит от пространственных координат х, у, в и неоднородной; если плотность р разная в разных частицах среды, р = р (х, у, г).
Уравнение неразрывности (1.101, очевидно, справедливо как для однородной', так и для неод>ьородной нес»еилаельой среды. Поле скоростей несжимаемой жидкости всегда соленоидально, и, следовательно, его векторные трубки, т. е. трубки тона, обладают свойствами, изложенными в р 8 гл.
П. Например, напряженность трубки тока ) о„а>о = >',.>, (Х вЂ” поперечное сечение трубки, а и — нормаль к нему), называемая расходом трубки тока, остается постоянной вдоль трубки тока. Трубки тока не могут начинаться и кончаться внутри объема несжимаемой среды. Получим уравнение неразрывности в друураввевве неразрывности в версмсвмых Лагравжа той Форме, а именно выведем уравнение неразрывности в переменных Лагранжа. Для этого з данный момент времени 1 в произвольной точке >1Х сплошной среды на малых векторах эьььР, эв>1зь, эвь(зв, направленных вдоль осей сопутствующей системы координат зь, $в, построим элементарный бесконечно малый косоугольный параллелепипед, Его объем будет равен )е = э, (э, х э,) ь(РИЯЦ'.
В другой произвольный момент тс этому параллелепипеду соответствовал элементарный косоугольный параллелепипед, построенный на векторах э, й$>, эвь($в, э, ь(зв, взятых в той же индивидуальной точке М. Объем этого параллелепипеда был равен р с = эг (эь х эФР>>рь>р.
1 1. Уравнение иераорывиоотв Обоаначим плотность среды в моменты т и оо соответственно через р и ро. По закону сохранения масс будем иметь Роте = Рг или Р=Ро =-Ро - - - ° (1.11) Для вычисления смешанных проиаведений векторов бааи- са введем еще декартову прямоугольную систему отсчета х',х', х' с векторамибазиса э, =о, э, = у, э, = й, относительно которой происходит движение среды. Обозначим координаты то- чек среды относительно етой системы в момент г череа х', хо, х', а в момент то черев х„х„х,.
Очевидно, о о х,' = х' а', Р, Г, Со) х' = хк(Ьк, Ео, Ьо, Ф), т. е. х, и х' являются значениями функций, аадающих авион движения, ввятыми при разных аначениях неаависнмой перемен- ной к Так как радиус-вектор точки М относительно системы от- счета есть дт о = хкэ а э — к дик ' то дхк эк =' — эю дик и смешанное произведение э, (йо Х эо) молоко представить в ви- де детерминанта: дх дхо дс1 дО1 дхк дхо ддсо дно дхк дхо дно д~~ дхо дик дхо дк,о дхо Д~З э, (эохэо) = переменных К ео, $о к эк (эоХэ,) = 5е где Л вЂ” якобиан преобразования от переменным х', х', х'. Аналогично дхк дхо о о дрк дчк дхо дхо до о дно дхо дхо ! о о дто дт дхоо дк1 дхо дсо дхо о Д~В 132 Ги. 1П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
