Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 23
Текст из файла (страница 23)
17). Пусть теперь скорость и не потенциальна. Теорема Стокса Возьмем замкнутынконтур С и допустим, чтонанегоможнонатянуть гладкую поверхностьХ, на которой поле и непрерывно и днфференцируемо, т, е. допустим, что контур С можно стянуть в точку, оставаясь в области непрерывности и дифференцируемости и.
Разбив поверхность Е контурами С так, как показано на рис. 18, будем иметь т 8. Теоремы Стокса к Гаусса †Остроградско 111 определяется по теореме Кощи — Гельмгольца о разложении скорости точек малой частицы сплошной среды с центром в некоторой точке Оа, лежащей на поверхности Х внутри контура, ттс, = тто„+ е х р + бган Ф -(- рО (р). (8.4) При вычислении Г г слагаемые с т1о и Огас) Ф дадут нули, так как зто потенциальные векторы и потенциалы их однозначны, Яг Ркс. 18. К выводу теоремы Стокса.
а вклад от члена рО(р) будет малой высшего порядка по сравнению с членом ) ((1оХр) Ыв). ра Легко убедиться (см. рнс. 18), что ((юхр) сЫ= $((юхр) 4'1= ~ [ю (рхА))=-ю $ (РХФ) = с с. = 2ю пНс = 2ы„сЬ, (8.5) так как вектор ю в пределах бесконечно малого контура Са постоянен(онзависиттолькоотОа), 1 (рхор) равен по велис„ чине 2оо и направлен по нормали и к На в ту сторону, с которой поворот р к Ыр виден против часовой стрелки, а область поверхности Х, натянутая на бесконечно малый контур С„, может считаться плоской (та — единичный вектор нормали).
Теперь по (8.4) и(8.5) в пределе прим — э. и С„, стягиваемых в точку, получим формулу, называемую теоремой Стокса: ~ и,~Ь = 2~ от„дс, (8.6) т. е. циркуляция скорости по замкнутому контуру С равняется удвоенному потоку вектора вихря сквозь поверхность Х, натянутую на втот контур. Подчеркнем, что в (8.6) направление нормали и должно быть выбрано так, чтобы с ее конца обход контура С был. виден происходящим против часовой стрелки. Ит Гл. 11. Кинематика деформируемой среди Очевидно, теорема Стокса верна не только для вектора скорости тз сплошной среды, но и для любого другого вектора А = А,.ас, удовлетворяющего необходимым условиям непрерывности идифференцируемостн.
Напишем теперь теорему Стокса для вектора А в разных видах: ~ А,сЬ = ~ Ас с(хс = ~ (го1 А )„сЬ =— = ~ ) у — ' — — ) соя (и, х) + ( — — — ) соя (и, у) + с! дАз дАз т ! дАз дАз 1 ~), ду дз ) ' (, дз дх ) + ~'д д ) соя(п' з)1 с)с Потенциальные и безиих резые движении ис(х+ Ос)у+и!Ах = Оз Хззхз позтому Гав = '1 и ссх + О с!у -~- ис оз =- ~ и ссх +. О йу + из с!г. А -Яз Движение сплошной среды называется в некоторой области' бвзвихревым, если ю=Ово всех точках этойобласти, и вихревым, когда со+О. В случае бвзвихрввых движений волокна, расположенные в данной момент времени вдоль главных осей тен- зора скоростей деформаций, сохра.й; няют в течение бесконечно малого промежутка времени свою оривнта- А цию в пространстве. В Формальной проверкой легко погг лучить, что если тз = угас1 ср, то ю = О, и, следовательно, циркуляция Рис.
19. К энзизалеитиостн беззихрвзых и нотвнциаль- по любому замкнутому контуРУ нмх течений. удовлетворяющему условиям теоре- мы Стокса, равна нулю. Таким образом, если движение потенциальное, то оно и безвихревое. Покажем обратное, т. е., если движение безвихревое, со=О, то оно потенциальное, т. е. существует такая функция у, что т! = угас( ср. Для доказательства возьмем между данными точками А и В два контура Яз и ь" (рис. 19), которые можно деформировать друг в друга в области непрерывного безвихревого движения. По теореме Стокса имеем з 8. Теоремы Стокса я Гаусса — Остроградского ПЗ Так как контуры 2,' и хз произвольные, то отсюда следует, что ) иггх+ рггу+ гдггз = ф~х, д, з), Ав т.
е. циркуляция между точкамиА и В не зависитот пути интег- рирования, а зависит только от координат конечной точки В, ес- ли начальная точка А фиксирована. Приращение Г на любом бесконечно малом участке ВВ', очевидно, будет равно пах + вйу + иг сгз = — Йр, и следовательно, в силу произвольности ггх, сгу, Ыз будем иметь ар ар ар и=-= —, и = —, гг =- —. дв' ду' дг Многозначность потеяцвала в неедвоевязвесть области течевяя Совеяекаальвые вх свойства Пользуясь определениями йч Л и го1 А, непосредственной проверкой легко установить, что поле ротации любого вектора А всегда соленоидально, т. е. если Л =го$ А, ггпу.В = О.
то В частности, $ ге = — торга; 2 Таким образом, понятия потенциальных и безвихревых движении зквивалентньг. Как известно, область называется одно- связной, если любой замкнутый контур, взятый в этой области, можно стянуть в точку, не выходя за пределы области; в противном случае область называется многосвязной. Очевидно, что если область непрерывного потенциального движения односвязна, то потенциал ф — однозначная функция координат; если зта область многосвязна, то ф может быть многозначной функцией координат. В многосвязной области циркуляция Г по контурам, не стягивающимся в точку, может отличаться от нуля и одинакова по контурам, которые можно перевести друг в друга, не выходя за пределы области.
В примере (8.2) область непрерывности потенциального движения ф = йО не односвязна, ось з является особой линией. Поле вектора Ю называется соленоидальным, если имеет место инвариантное уравнение гггч.В =- 7„В" = О. И4 Гл. П. Кявематика деформнруемой среды поэтому при движении любой сплошной среды для поля вихрей верно равенство г)>чю =О или, в декартовой системе координат, де» де>> де>г — + — + — = О. дг дк дг г)(чт> = О, т.
е. поле скоростей несжимаемой среды соленондально. Как известно из физики, поле вектора магнитной напряженности Н также всегда является соленоидальным: г((ч Хг = О. Любой соленоидальный вектор В можно представить в виде (8.7) .В= гоФА.
В самом деле, частное представление вектора .В по формуле (8.7) через вектор А, можно построить следующим образом. Возьмем декартову систему координат и положим А„= О. Тогда равенство В=тот А, приводит к следующей системе уравнений для определения А,„и Аыд дА „ — — — =В 2 дг х' 1 дАгг — = В„, 2 дг (8.7') Эта система при условии г(>ч .В = О будет удовлетворена, если положить Аг„= — 2 1 В,г(х+ 2 ) В,(х, у, хг) >7х, гг гг А,„= 2~ ВегЬ. га Таким образом, поле вектора вихря скорости (поле вихрей) всегда соленоидально. Если среда нес>кимаемая, т. е. ее объем во время движения не меняется, то по (7.28) имеем 3 д. Теоремы Стокса к Гаусса — Остроградского 115 Действительно, непосредственно видно, что первые два уравнения (8.7') при этом удовлетворяются.
Третье уравнение (8.7') также удовлетворяется, так как в силу равенства дВа дна дВг — "+ —. да др дг получается, что 1 дА!с дАсх дВ„ дВ„ — ( — — — ) — ~ ( —. )- — )с(з РВ,(х, у, за) дВт — —.' ~Ь вЂ”,'- В, (х, у, за) =В, (х, у, з). *в Очевидно, что все векторы А, удовлетворяющие условию (8.7), могут быть представлены в виде А = А + ягай Ч', где Ч" — произвольная скалярная функция.
Действительно, для разности А — .4 должно выполняться равенство гоФ (А — А ) = го1 А — гос А = О, Нх ар дс вт ис ам (8.8) Вихревая поверхность | (х, у, з) = сопз$ спложь состоит из вихревых линий, и ее уравнение имеет вид в„— + в, — + в, — = О. д1 дг дг д* ' дд да Вихревая трубка образуется, если через все точки замкнутой кривой С (не являющейся вихревой линией) провести вихревые линии. Боковая поверхность вихревой трубки — вихревая поверхность, и на ней в„= О.
Рассмотрим свойства вихревых трубок. На боковой поверхности вихревой трубки возьмем два контура С и С так, как- т. е. эта разность должна представляться в вице градиента некоторой функции Ч". На примере поля вектора вихря в рассмотрим общие свойства соленоидальных полей. Как для всякого векторного поля, для поля вектора вихря можно ввести (см. $ 3 гл. П) понятия векторных линий, поверхностей и трубок, т. е.
понятия вихревых линий, поверхностей и трубок. Вихревой линией называется линия, касательная в каждой точке которой совпадает с направлением вектора вихря в. Дифференциальные уравнения вихревых линий имеют вид Ги. 11. Кинематика деформирувмой среды 116 показано иа рис. 20. Соединим этикоитурыразрезом У„Х ° К образовавшейся при этом поверхности У., целиком лежащей на боковой поверхности вихревой трубки, примеиим теорему Стокса. Получим (тг гЪ) = О. ио границе в Направление обхода границы поверхиости Х указано па рис.
20, два берега М, и Ма разреза при интегрировании проходятся в разных иаправлепкях, и поэтому иптегралы по иим Рис. 20. К свойствам вихревых трубок. в сумме дают нуль. Контуры Ст и С, также проходятся в противоположиых направлениях, и, следовательно, сменив обход одного из иих иа обратный, получим ~ (тг.сгв) = 1 (тг сгв), с с или Гс, =- Гс,.
Контуры С, и С могут быть при этом, очевидно, произвольными контурами, охватывающими один раз данную вихревую трубку. Следовательно, Гс = связь, где С вЂ” произвольный контур, охватывающий один раз данную вихревую трубку. Циркуляция х с —. ~ (тт'ггл) или равиая ей по теореме Стокса величина 2 ~го„гЬ, $ 8.
Теоремы Стокса в Гаусса — Остроградского 117 где Х вЂ” поверхность, ограниченная С, а направления обхода С и нормали п к Х связаны так, нак указывалось при выводе теоремы Стокса, называется напряя<енностью вихревой трубки. Напряженность вихревой трубки одинакова вдоль трубки и является характеристикой данной трубки. Это утверждение носит название первой кинематичесной теоремы Гельмгольца о вихрях.
Вторая кинематическая теорема Гельмгольца состоит в том, что вихревые трубки не могут начинаться и кончаться внутри среды. Это непосредственно вытекает из условия непрерывности поля ю и невозможности пересечения вихревых линий. Таким образом, вихревые трубки либо могут быть замкнутыми, либо могут кончаться и начинаться на границах движущейся среды, либо, если среда неограничена, могут уходить в бесконечность. Интуитивно кажется, что течение жидкости всегда вихревое (в+О), если в потоке имеются замкнутые линии тока. Действительно, еслив потоке наблюдается распределение скоростей, аналогичное показанному на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
