Седов Л.И. Механика сплошной среды, Т. 1 (1119109), страница 33
Текст из файла (страница 33)
В этом параграфе мы будем изучать зависимость У»1 от е д и я р и зависимость»р»с от е„д, д е, поатому в дальнейшем параметры Т и К,. указывать не будем, В общем случае при движении жидкостей и газов условие баротропии, конечно, не выполняется, и для того, чтобы описать такие двия»ения, необходимо ввести дополнительные уравнения термодинамнческой природы. )ее Гл. ГУ.
Замкнутые системы механических уравневвй Конкретный вид функций Тс) (еов, З'в, Т, )( ) и фы (е в, д"в, Т ус) может быть различным для различных конкретных моделей упругих и вяаких сред. Опыт показывает, что напряжения идеформацииво многих твердых телах, например в металлах, при обычных условиях (при не очень больших температурах и напряжениях) связаны между собой так называемым законом Гука, а впзкие напряжения и скорости деформаций во многих жидких средах, например, в воде и воздухе, связаны между собой законом Навье — Стокса.
Зги законы можно ввести с помощью следующих рассуждений, которые мы проведем для закона Гука. Предположим, что функции /П могут быть разложены в ряд Тейлора по е„в и что в отсутствие напряжений (р" = О) деформации также отсутствуют (е„в =- О), и наоборот '). При зтнх предположениях получим Рс' =- Учт(е.в, а'в) =- А""ее.в+... Здесь коэффициентыАП"е могут зависеть от Т и )(,. Если деформации малы, то в атом разложении рп в ряд можно сохранить только линейные члены и просто написать Законы Гука н Навье— Стокса р' =- А е,в.
Ц (2,4) Аналогичные продполоясения относительно функций фц приводят к равенствам (2.5) ') Заметим, что деформацвп могут возникать к прп рс' = 0 (вапрвмор, тепловое расюнрекве). Сейчас для простоты мы изучаем рс' как фувкцвн ес прв Т= сопят н Х=сопзп Соотношения (2.4) называются законом Гука, а соотношения (2.5) — законом Навье — Стокса (или законом вязкости Ньютона).
Мы получили (2.4) и (2.5) в предположении, что е„в (для закона Гука) и е„в (для закона Навье — Стокса) малы. Отметим, однако, что, в частности, закон Навье — Стокса для воды, воздуха и некоторыхдругих жидкостей оказывается применимым и в тех случаях, когда компоненты тензора скоростей деформаций не малы. Из общих термодинамических соотношений получается, что закон Гука физически допустим только как приближенный закон для малых деформаций. Раздел механики сплошной среды, в котором изучается поведение сплошных сред, подчиняющихся закону Гука или более общему закону (2А), носит название теории упругости, а раз- 3 2.
Линейное упругое тело и ливейвая вязкая жидкость (б) дел, в котором рассматриваются движения сплошной среды, подчиняющейся закону Навье — Стокса или более общему закону (2.2) — (2.3),— теорией движения вязкой жидкости. Из инвариантных относительно выбора систем координат равенств (2.4) и (2.5) непосредственно вытекает, что Аяьд и В'Мд являются компонентами четырехвалентных тензоров. Они являются физическимихарактеристиками данной сплошной среды и зависят, вообще говоря, от температуры Т и других физико- химических параметров, характеризующих состояние рассматриваемой среды. Тензор четвертого ранга имеет Зх = 8( компоненту, но изза симметрии тензора напряжений (в классическом случае) и симметрии тензоров деформаций и скоростей деформаций независимых компонент Ап"зи В"'з будет только 36, так как тензоры А и В должны быть симметричными по паре индексов г и ) и их можно принять симметричными по паре индексов а и Р.
Если среда, поведение которой описывается законом Гука или Навье— Стокса, обладает какими-либо геометрическими свойствами симметрии, то число независимых компонент АП"Ви ВП"В еще болыпе сокращается. В частности, если соответствующая среда изотроппа, то все АП"з и Во*в определяются двумя параметрами. Изотропной средой называгот такую среду, Свойства аввзотропви свойства которой одинаковы по всем навззтровив и гвротреввя правлениям.
Если свойства среды в разсреды ных направлениях разные, то говорят, что среда аннзотропна. Анизотропные среды могут обладать симметрией различных типов. Дадим более точное математическое определение свойства симметрии и, в частности, изотропии. Механические и физические свойства среды обычно можно описать с помощью некоторых тензоров и тензорных уравнений (например, если выполняется закон Гука, упругие свойства задаются с помощью тсязора АП"з).
Говорят, что среда обладает симметрией, если существует группа преобразований координат, содерлсащая не только толгдественное преобразование, такая, что компоненты тензоров, задающих свойства среды, не меняются при преобразованиях, принадлежащих атой группе. В частности, среда называется изотропной, если компоненты тензоров, определяющих ее свойства, не меняются при любьгх ортогональных преобразованиях. Заметим, что ортогональные преобразования можно определить как преобразования, при которых сохраняются компоненты метрического тензора (т.
е. не изменяются скалярные произведения векторов базиса) дха дхв 188 Гл. ЪЧ. Замкнутые системы механических ураввеввй Полная ортогональная группа содержит преобразования вращения (детерминант преобразования равен + 1) и преобразования вращения, сочетающиеся с зеркальными отражениями (детерминант равен — 1). Если свойства среды инвариантны только относительно группы вращений и не инвариантны относительно зеркальных отражений, то среда называется гиротропной. Посмотрим несколько более подробно, что означает свойство изотропии (или гиротропии) для упругого тела, подчиняющегося закону Гука. Возьмем в некоторой точке такой сплошной среды в данный момент времени две декартовы системы координат: одну х', х®, яз и другую у', у', уз, повернутую относительно первой.
Компоненты рассматриваемых тензоров в системе х', х', лз будем обозначать буквами без штрихов, а в системе у', у', уз — соответствующими буквами со штрихами. Очевидно, (2.6) дхг дхч дхх дхэ Записывая закон Гука в системе х', х', х', мы должны пользоваться коэффициентами Апхз, а в системе у', у', уз — коэффициентами Акад. Рассмотрим два деформированных состояния сплошной среды, которые имеют одинаковый вид в разных (повернутых друг относительно друга) системах х' и у', т.
е. е,. =е', Ясно, что в нзотропной среде напряженные состояния в этом случае также должны в системах ад и у' иметь одинаковый вид. ЕслиА'4хэ =Ап з, т. е. коэффициеитыв законе Гука в обеих системах координат одинаковы, торп = р'4. Сплошная среда в этом случае является изотропной илн гиротропной. Если же А чхз + Апхз, т. е. коэффициеитыв законе Гука в системах координат х', ж', х' и у', у', уз равные, то рц+ р'П н среда являешься аннзотропной.
Опыт показывает, что анизотропными средами, для которых свойства среды в разных направлениях разные, являются, например, кристаллические среды с правильным упорядоченным расположением молекул или атомов, а также волокнистые материалы. Изотропкыми средами, для которых одна система координат не имеет преимуществ перед другими, повернутыми относитель, но,первой, являются, например, вода и другие среды, имеющие так называемое аморфное строение, а также среды, которые состоят из маленьких кристаллов, если только эти злементарныь кристаллы расположены неупорядоченно, хаотически. Таковы обычно употребляемые в технике металлы. $2. Линейное упругое тело и линейная вязкая жидкость «69 Законы з ука и Навье — Теперь покажем, что для изотропных гпуотуопиой и гиротропных тел ив общего числа — 81 среды компоненты тензора Ан«з, которые все могут отличаться от нуля, только две компоненты являются независимыми ').
Направим оси координат вдоль главных направлений тензора деформаций еья Очевидно, что в этом случае в закон Гука будут входить только козффициенты вида Ая««. Докажем, что Ап«« = О при з + ). Действительно, в результате поворота выбранной системы координат относительно зчй оси на 180' мы получим новую системукоордннат, в которой )-я ось останется прежней, а остальные две осн ',изменят свои направления на противоположные, и согласно правилу преобразования (2.6) компонент тензора А'мы при з + у и любом сз получим ~'п««40«а но если среда гиротропна или изотропна, то должно быть Акз«« = Ап««и, следовательно, Ап" = О при з + у.
Отсюда, так как в этой системе координат р"'~ = О при' з + у, следует, что главные оси тензора деформаций и тензора напряжений в гиротропной, и подавно в изотропной, среде, подчиняющейся аакону Гука, совпадают. В формулах закона Гука в главных осях из всех восьмидесяти одного козффициента Ая"з существенны только девять козффнциентов .4и Порядок нумераций осей в силу свойства гиротропни среды несущественен'), и поэтому мы будем иметь ~ш| Ажзз Азззз 4ызз Аызз 4зззз Ае«А«з где 2)з + Х и ) введены как новые обозначения для укааанных вьппе двух различных и, вообще говоря, отличных от нуля компонент тензора А.
~Заметим, что компоненты Ан'з, з + у', также отличны от нуля. Ниже мы покажем, что эти компоненты равны )з (см, формулу (2 42).у Все приведенные вылив рассуждения можно провести и для гиротропной (и подавно для изотропной) среды, подчиняющейся закону Навье — Стокса, и получить, что для гяротропной среды, подчиняющейся закону Навье — Стокса, главные оси з) для теизора четвертого ранга понятия изотропии и гиротропии совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
