Теория вероятностей и математичкеская статистика (1118815), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Площадь квадрата Y есть функция от длины стороны квадрата Х:y  x 2 , зависимость функциональная.Товарооборот магазина Y зависит от числа торговых работников Х. Эта зависимость корреляционная.Две основные задачи теории корреляции:1. Определить форму корреляционной связи, то есть определить вид уравнения регрессии.2. Оценить тесноту (силу) корреляционной связи.§35.

Корреляционная таблицаВсе наблюдения числовых признаков X и Y с соответствующими частотамизаписываются в корреляционную таблицу.Пример.ху246nх12–463–5611539315nу51413n = 32Числа 1; 3; 5 (левый столбец таблицы) показывают наблюдаемые значенияпризнака Х. Числа 2; 4; 6 (первая строка) показывают наблюдаемые значения63признака Y.Числа внутри таблицы показывают частоту появления соответствующей парызначений (X, Y). Например, пара (1; 2) наблюдалась 2 раза, пара (3; 4) – 5 раз,пара (1; 4) не наблюдалась ни разу (соответствующая частота равна 0).По данным наблюдений вычислены частоты nx, ny, n:nx – частота появления данного значения Х,ny – частота появления данного значения Y,n – объём выборки, количество всех наблюдаемых пар (X, Y).Так, значение х = 1 наблюдалось 2 + 4 = 6 раз; значение х = 5 наблюдалось 3 +9 + 3 = 15 раз и т.д.

Объём выборки n = 6 + 11 + 15 + 32 или n = 5 + 14 + 13 + 32.В общем виде корреляционная таблица выглядит так:хх1уу1n11у2n12……уmn1mnxnx1х2n21n22…n2mn x2хknk1nk2…nkmn xknyn y1n y1…n ymnkmnxi  ni1  ni 2    nim   nij ; ny j  n1 j  n2 j    nkj   nij ;i 1j 1kmn  nx1  n x 2    n xk   nxi или n  n y1  ny2    n ym   n y j .i 1j 1mУсловные средние по х: y x  xly n  y2 nl 2    ym nlm 1 l1nl1  nl 2    nlm y j nljj 1.nxlkУсловные средние по у: x y  y tx1n1t  x2 n2t    xk nktn1t  n2t    nkt xi niti 1n yt.§36.

Виды уравнений регрессииВид регрессии1. ЛинейнаяУравнение регрессииy x  ax  bx y  cy  d64Сведение к линейному виду2. Гиперболическаяyx  a bxy x  ab x3. ПоказательнаяВид регрессииУравнение регрессииy x  ax b4. Степенная5. Параболическаяyx  a x  b21 y x  a  btxln y x  ln a  x ln btln y x  Y ln a  A   Y  A  Bxln b  B Сведение к линейному видуln y x  ln a  b ln xln y x  Y ln a  A   Y  A  bXln x  X t  x  y x  at  bк линейной не сводится6.

Параболическаяy x  ax  bx  cВ случаях 1–5 параметры линейной зависимости находятся по формулам,указанным в следующем параграфе. Для случая 6 применяется непосредственно метод наименьших квадратов.Пример. Дана таблицаiXY10,252,5720,372,3130,442,1240,551,9250,601,7560,621,7170,681,6080,701,51i1011121314151617X0,75 0,82 0,84 0,87 0,88 0,90 0,95 1,00Y1,41 1,33 1,31 1,25 1,20 1,19 1,15 1,00Определить коэффициент корреляции rxy и уравнения линий регресии.Решение. Составим расчётную таблицу:iХYX2Y2XY10,252,570,06256,60490,642520,372,310,13695,33610,854730,442,120,19364,49440,932840,551,920,30253,68641,056050,601,750,36003,06251,05006590,731,5060,621,710,38442,92411,060270,681,600,46242,56001,088080,701,510,49002,28011,057090,731,500,53292,25001,0950100,751,410,56251,98811,0575iХYX2Y2XY110,821,330,67241,76891,0906120,841,310,70561,71611,1004130,871,250,75691,56251,0875140,881,200,77441,44001,0560150,901,190,81001,41611,0710160,951,150,90251,32251,0925171,001,001,00001,00001,000011,9526,839,109545,412717,391717Из таблицы получаем:17 xi  11,95,  yi  26,83,i 1i 117171717i 1i 1i 1i 1 xi2  9,1095,  xi2  9,1095,  yi2  45, 4127,  xi yi  17,3917.Теперь находимx  11,95 /17  0, 7029, y  26,83 /17  1,5782;2x  9,1095 /17  (0, 7029) 2  0, 0418,  x  0, 2042,2y  45, 4127 /17  (1,5782) 2  0,1806,  y  0, 4250;C xy  17,3917 /17  0, 7029 1,5782  0, 0863;rxy  (0, 0863) /(0, 2042  0, 4250)  0, 9943.Вычисляем значение произведения | rxy | n  1; так как| rxy | n  1  0,9943  4  3, 9772  3, то связь достаточно обоснована.Уравнения линий регрессии:66y x  y  rxy yx ( x  x ),0,9943  0, 4250( x  0, 7029);0, 2042т.е.

y x  1,5782  y x  2, 0695 x  3, 0329;xx  x  rxy x ( y  y ),yт.е. x y  0, 7029  0, 9943  0, 2042( y  1, 5782);0, 4250x y  0, 4776 y  1, 4566.Построив точки, определяемые таблицей, и линии регрессии, видим, что обелинии регрессии проходят через точку М(0,7029; 1,5782). Первая линия отсекает на оси ординат отрезок 3,0329, а вторая – на оси абсцисс отрезок 1,4566.Точки (xi, yi ) расположены близко к линиям регрессии.y x  2, 0695 x  3, 0329;x y  0, 4776 y  1, 4566.§37. Метод наименьших квадратовСлужит для нахождения параметров уравнения регрессии.

Пусть даны соответствующие значения рассматриваемых признаков X и Y:хiх1х2…хk67уiу1у2…уkПодберём функцию y  f ( x ), наилучшим образом отражающую зависимостьмежду признаками X и Y.Подставляя хi в функцию, получим теоретическое значение Y (обозначим yiт ):yiт  f ( xi ).( yiт  yi ) – отклонения теоретических значений yiт от эмпирических значений yi .Суть метода наименьших квадратов: параметры выбранной функции y  f ( x)находят так, чтобы сумма квадратов отклонений теоретических значений отэмпирических была наименьшей, т.е.n ( yiт  yi ) 2  min .i 1Нахождение параметров уравнения линейной регрессии:y  ax  b.1. Из системы нормальных уравнений:nn n 2a  xi  b xi   xi yi i 1i 1i 1 nna x  nb  yi .  ii 1 i 12.

a xy  x y 2x3. y  y  R ; b  y  ax , где 2x  x 2  x 2 .yx( x  x ), где R xy  x y.x  y§38. Показатели тесноты корреляционной связиН – корреляционное отношение (для линейной и нелинейной связи).R – коэффициент корреляции (только для линейной связи).Свойства:RH  H y/ x1. 0  H  1.2. H  0  Y не связано с Х.1. | R |  1 или 1  R  1.2. R  0  Х и Y не связаны линейной зависимостью (эта зависимостьможет быть нелинейной).68RH  H y/ x3. H  1  Y связано с Х функцио3. | R |  1, т.е. R  1  Х и Y связаны функциональной зависимостью. нальной зависимостью.Если R  0, то связь прямая, т.е.

сростом Х растёт Y. Если R  0, тосвязь обратная, т.е. с ростом Х убывает Y.4. Чем ближе Н к единице, тем кор4. Чем | R | ближе к единице, темреляционная связь теснее.линейная корреляционная связь теснее.Всегда H  | R | .Шкала Чаддока| R |, H(0; 0,3)[0,3; 0,5)[0,5; 0,7)[0,7; 0,9)[0,9; 1)теснотавесьмаслабаяумереннаязаметнаявысокаясвязивысокаямежгр.xy  x y; HФормулы для вычислений: R . x yобщ.1. Ну/х – корреляционное отношение у к х, гдеn ( yxi  y )2 nxi2межгр. i 1n– межгрупповая дисперсия, характеризует разбросусловных средних y xi от общей средней y , 2общ.  2y – общая дисперсия,характеризует разброс фактических данных уi от их общей средней y .2. Нх/у – корреляционное отношение х к у, гдеm ( xyj  x )2 nyj2межгр.

j 1n– межгрупповая дисперсия, характеризует разбросусловных средних xxi от общей средней x , 2общ.  2x – общая дисперсия,характеризует разброс фактических данных хj от их общей средней x .§39. Пример составления уравнения линейной регрессии и оценкитесноты корреляционной связиПусть Х – оценка студента по математике в школе, Y – оценка по математике впервом семестре.В результате опроса составлена следующая корреляционная таблица:69ху2345nx3–1––14426255605–12221953ny4394724n = 114Оценить тесноту корреляционной связи между Х и Y, вычислив коэффициенткорреляции R. Составить уравнение линейной регрессии Y по Х.Решение.

Для вычисления R найдём x , y , xy , x 2 , y 2 ,  x ,  y .k xi nxiОбщие средние: x  y j ny ji 1n3  1  4  60  5  53 508 4, 46;1141142  4  3  39  4  47  5  24 433 3,80;n114114 xi y j nij  2  4  4  3  3 1  3  4  26  3  5 12  4  4  25  4  5  22 xy n1145  4  5  5  5 19 1948 17, 09;114114 xi2 nxi  32 1  42  60  52  53  2294  20,12;x2 n114114yy2 y  y 2j n y jn22  4  32  39  42  47  52  24 1719 15, 08;114114y 2  y 2  15, 08  3,80 2  0,81; x  x 2  x 2  20,12  4, 462  0,52;Rxy  x y 17, 09  4, 46  3,80 0, 39  линейная связь умеренная. x y0, 52  0,81y x  ax  b – уравнение линейной регрессии Y по Х.axy  x y2x17, 09  4, 46  3,800, 522 0, 61; b  y  ax  3,80  0, 61 4, 46  1, 08;y x  0, 61x  1, 08.Это уравнение выражает зависимость средней оценки по математике в первомсеместре от оценки в школе.Аналогично, x y  cy  d – уравнение регрессии Х по Y.70cxy  x y 2yx17, 09  4, 46  3,800,812 0, 25; d  x  cy  4, 46  0, 25  3,80  3, 51.Тогда, x y  0, 25 y  3, 51.Построим прямые регрессии Y по Х и Х по Y.

Характеристики

Список файлов книги