Теория вероятностей и математичкеская статистика (1118815), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Очевидно,число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно.§15. Закон распределения дискретнойслучайной величиныДля характеристики случайной величины нужно знать совокупность возможных значений этой величины, а также вероятности, с которыми эти значения могут появиться. Эти данные образуют закон распределения случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины X можетбыть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения xi, а вторая – вероятности pi :Xx1x2...xnpp1p2...pnnгде pi  1 .i 1Если множество возможных значений X бесконечно, то ряд p1 + p2 + ...

+ pn + ...сходится и его сумма равна единице.Закон распределения дискретной случайной величины X может быть задананалитически (в виде формулы)P(X = xi) = (xi)или с помощью функции распределения (см. §20).Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразитьграфически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки M1(x1,p1), M2(x2, p2), ..., Mn(xn, pn) (xi – возможные значения X, pi – соответствующиевероятности) и соединяют их отрезками прямых.

Полученную фигуру называют многоугольником или полигоном распределения вероятностей.§16. Числовые характеристики дискретныхслучайных величинМатематическим ожиданием дискретной случайной величины называетсясумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:27M(X) = x1p1 + x2p2 +...+ xnpn.Если дискретная случайная величина принимает бесконечное множествовозможных значений, тоM ( X )   xi pi ,i 1причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.Дисперсией случайной величины X называется математическое ожиданиеквадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:D(X) = M([X – M(X)]2).Дисперсию удобно вычислять по формулеD(X) = M(X2) – [M(X)]2.Средним квадратическим отклонением случайной величины называетсяквадратный корень из дисперсии:( X )  D( X ) .§17.

Свойства математического ожиданияСвойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самойпостоянной:M(C) = C.Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:M(CX) = CM(X).Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимыхслучайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:M(X1X2...Xn) = M(X1)M(X2)...M(Xn).Свойство 4. Математическое ожидание суммы случайных величин равносумме математических ожиданий слагаемых:M(X1 + X2 + ... + Xn) = M(X1) + M(X2) + ...

+ M(Xn).28§18. Свойства дисперсииСвойство 1. Дисперсия постоянной равна нулю:D(C) = 0.Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии,предварительно возведя в квадрат:D(CX) = C2D(X).Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна суммедисперсий слагаемых:D(X1 + X2 + ...

+ Xn) = D(X1) + D(X2) + ... + D(Xn).§19. Примеры дискретных распределенийБиномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений «успеха» в n независимых испытаниях (возможные значения случайной величины X – 0,1,2,...,n), в каждом из которыхвероятность появления «успеха» равна p; вероятность возможного значенияX = k (числа k появлений «успеха») вычисляют по формуле Бернулли:Pn (k )  Cnk p k q n  k .Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:M ( X )  np.Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:D( X )  npq.Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждомиспытании очень мала, то используют приближенную формулуPn (k )  k e ,k!где k – число появлений события в n независимых испытаниях,  = np, и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.29Пример.

Производится n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью Р(А) = р, Х – число наступленийсобытия А в n испытаниях. Для случая 1) малого n построить ряд распределения, функцию распределения случайной величины Х, найти М(Х), D(Х) иР(Х  2); 2) большого n и малого p найти Р(Х  2) приближённо с помощьюраспределения Пуассона; 3) большого n найти вероятность Р(m1  Х  m2).Решение.1) n = 4, p = 0,8.Возможные значения случайной величины Х: 0,1,2,3,4. Пусть им соответствуют вероятности Р0, Р1, Р2, Р3, Р4. Найдём их, используя формулу Бернулли: Pn (m)  Cnm p m q n  m , (q  1  p).P0  C40 p 0 q 4  11  0, 24  0, 0016 , P1  4  0,8  0, 23  0, 0256 ,P2  6  0,82  0, 22  0,1536 , P3  4  0,83  0, 2  0, 4096 ,P4  1  0,84  1  0, 4096 .Таким образом, ряд распределения имеет следующий вид:Х01234р0,00160,02560,15360,40960,4096По определению функция распределения находится по формулеF ( x )  P ( X  x) :0, x  00, x  00, 0016, 0  x  10, 0016, 0  x  10, 0016  0, 0256, 1  x  20, 0272, 1  x  2F ( x)   0, 0272  0,1536, 2  x  30,1808, 2  x  30,1808  0, 4096, 3  x  40, 5904, 3  x  41, x  41, x  4Найдём М(Х):M ( X )  np  4  0,8  3, 2.D( X )  npq  4  0,8  0, 2  0, 64.Р(Х  2) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,1808.2) n = 1000, p = 0,004.30Р(Х  2) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2).По формуле Пуассона P ( X  m)  Pn (m)  m e (  np).

Таким образом,m!имеем:4m22m 0m 0P ( X  2)  P1000 (m)   m ! e4  0, 0183  0, 0733  0,1465  0, 2381(значения Pn(m) найдены по табл. 3 приложения).3) n = 100, p = 0,8, m1 = 75, m2 = 90.По условию задачи q = 1– p = 0,2.Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:Pn(k1  k  k2) = (x2) – (x1),где (x) – функция Лапласа, x1 k1  npnpq, x2 k2  npnpq.Вычислим x1 и x2:x1 x2 k1  npnpqk2  npnpq75  100  0,8100  0,8  0, 290  100  0,8100  0,8  0, 2 1, 25 , 2, 25 .Так как функция Лапласа нечетна, т.е. (–x) = –(x), получимP100(75  k  90) = (2,25) – (–1,25) = (2,25) + (1,25).По табл.2 приложения найдем:(2,25) = 0,4938; (1,25) = 0,3944.Искомая вероятность P100(75  k  90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.§20.

Функция распределения вероятностейслучайной величиныФункцией распределения называется функция F(x), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x).Свойства функции распределения:31Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]: 0 F(x)  1.Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция:F(x2)  F(x1), если x2 > x1.Следствие 1.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение,заключенное в промежутке [a; b), равна приращению функции распределенияна этом интервале: P(a  X < b) = F(b) – F(a).Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Xпримет одно определенное значение x, равна нулю: P(X = x) = 0.Свойство 3. Если все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a; b), то F(x) = 0 при x  a; F(x) = 1 при x  b.Следствие. Справедливы следующие предельные соотношения:lim F ( x )  0 , lim F ( x )  1 .x x Свойство 4.

Функция распределения непрерывна слева:lim F ( x)  F ( x0 ) .x  x0  0Пример. В тёмной комнате 7 красных кубиков и 8 синих, не отличаемых другот друга на ощупь. Мальчик вынес три кубика. Х – случайная величина числакрасных кубиков среди вынесенных. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х. Построить графикфункции распределения F(x) = P(Х < x) и найти вероятность Р(Х < 2).Решение. Возможные значения случайной величины Х: 0,1,2,3.

Пустьим соответствуют вероятности Р0, Р1, Р2, Р3. Найдём их, используя непосредственный подсчёт:P0 P1 C70  C833C15C71  C823C158!6  7  8 1 2  356 3!5! ,15!1  2  3 13 14 15 4553!5!18!1962!6!,455455732P2 P3 C72  C813C15C73  C803C15Проверка:7!1682!5!,45545587!353!4!.455455156 196 168 35 1.455 455 455 455Таким образом, закон распределения имеет вид:Х0123р5645519645516845535455Найдём М(Х):M ( X )  x1 p1  x2 p2  x3 p3  x4 p4  056196 2 168 3  35 637 1 1, 4 .455455 455455 455Дисперсию будем искать по формуле D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X ) .Составим закон распределения для Х2.M (X 2 ) Х20149р5645519645516845535455196 4 168 9  35 2, 6 .455 455455D(Х) = 2,6 – (1,4)2 = 0,64.По определению функция распределения находится по формулеF ( x )  P ( X  x) :330, x  00, x  0 56 56, 0  x 1, 0  x 1 455 455 56  196 252F ( x)  , 1 x  2  , 1 x  2 455 455 252  168 420 455 , 2  x  3  455 , 2  x  31, x  31, x  3Построим график функции распределения:142045525245556455х12По функции распределения Р(Х < 2) = F(2) =3252.455§21.

Плотность распределения вероятностейнепрерывной случайной величиныПлотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называется первая производная от функции распределения:f ( x )  F ( x ).Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение,принадлежащее интервалу (a; b), определяется равенством34bP (a  X  b)   f ( x )dx  F (b )  F (a ) .aЗная плотность распределения, можно найти функцию распределения F(x) =xf (t )dt .Свойства плотности распределения:Свойство 1.

Плотность распределения неотрицательна, т.е. f ( x )  0.Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения по всейчисловой оси равен единице:f ( x )dx = 1.§22. Числовые характеристики непрерывныхслучайных величинМатематическое ожидание непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ox, определяется равенствомM(X) = xf ( x)dx , где f(x) – плотность распределения случайной величины X.Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ox, определяется равенствомD(X) = [ x  M ( X )]2f ( x )dxили равносильным равенствомD(X) =x2f ( x)dx  [ M ( X )]2 .Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:( X )  D( X ) .35Все свойства числовых характеристик, указанные для дискретных случайныхвеличин, сохраняются и для непрерывных величин.Пример.

Дана функция плотности распределенияx00,f ( x )   A( x  2), 0  x  20,x2Найти: 1) параметр А; 2) построить графики плотности и функции распределения; 3) Р(1 < x < 4); 4) М(Х), D(X), (X); 5) вероятность Р, что отклонениеслучайной величины от М(Х) не более 1.Решение. Так как2f ( x)dx  1 , получаем2 A( x  2)d ( x  2)  A0 A( x  2)dx  1 , так как0( x  2)222 A(8  2)  6 A , тогда 6 A  1  A 01.60, x  01Итак, f ( x)   ( x  2), 0  x  260, x  2xНайдём F(х), функцию распределения по формуле F ( x ) f (t )dtxесли x  0 , F ( x )  0dt  0,0если 0  x  2 , F ( x) x1x2 x 0dx   6 (t  2)dt  12  3 ,00если 2  x   , F ( x) x221x2 x4 2 0dx   6 ( x  2)dx   0dt  12  3  12  3  1.020360, x  0; 2xxИтак, F ( x)    , 0  x  2; 12 31, x  2.Построим оба графикаf(x)2313x021F(x)1x20Найдём P(1 < x < 4).Так как P(х1 < x < х2) = F(х2) – F(х1),F (1) x2 x12 3x 1P(1 < x < 4) = 1–5, F(4) = 1,1257 .12 12Найдём М(X) по формуле M ( X )  xf ( x)dx .37221M ( X )   x( x  2)dx 601  x3 2 x2 10   .6 32 90Дисперсия вычисляется по формулеD( X )  M ( X 2 )  M 2 ( X );221M ( X )   x 2 ( x  2)dx 6021  x 4 2 x3 14   ;6  43 902D( X ) 14  10 26  .9 981Среднее квадратическое отклонение ( X )  D( X ) .( x ) 26 0,57.81Найдём P  X  M ( X )  1 .

Характеристики

Список файлов книги