Теория вероятностей и математичкеская статистика (1118815)
Текст из файла
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙАГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТИНЖЕНЕРНЫЙ ИНСТИТУТТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАУчебное пособиеНовосибирск2007ПредисловиеЗадачи любой науки состоят в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы.Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Знание закономерностей, которым подчиняютсямассовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будутпротекать.Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях науки и техники: в теории надёжности, теории массового обслуживания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории ошибок, теорииуправления, теории связи и во многих других теоретических и прикладныхнауках.
Теория вероятностей служит для обоснования математической статистики.Математическая статистика – раздел математики, изучающий методысбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Методы математической статистикииспользуются при планировании организации производства, анализе технологических процессов, для контроля качества продукции и многих другихцелей.Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, появились в XVI-XVII веках.
Они принадлежали Д.Кардано,Б.Паскалю, П.Ферма, Х.Гюйгенс и др. и представляли попытки создания теории азартных игр с целью дать рекомендации игрокам. Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Я.Бернулли, который доказалтеорему, теоретически обосновавшую накопленные ранее факты и названнуюв дальнейшем «законом больших чисел».Дальнейшее развитие теории вероятностей приходится на XVII-XIXвека благодаря работам А.Муавра, П.Лапласа, К.Гаусса, С.Пуассона и др.Весьма плодотворный период развития «математики случайного» связан сименами русских математиков П.Л.Чебышева, А.М.Ляпунова и А.А.Маркова.Большой вклад в последующее развитие теории вероятностей и математической статистики внесли российские математики С.Н.Бернштейн,2В.И.Романовский, А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Б.В.Гнеденко и др., а такжеучёные англо-американской школы Стьюдент (псевдоним В.Госсета),Р.Фишер, Э.Пирсон, Е.Нейман и др.
Особо следует отметить неоценимыйвклад академика А.Н.Колмогорова в становление теории вероятностей какматематической науки.Широкому внедрению статистических методов исследования способствовало появление во второй половине XX века электронных вычислительных машин и, в частности, персональных компьютеров. Статистическиепрограммные пакеты сделали эти методы более доступными и наглядными,так как трудоёмкую работу по расчёту статистик, параметров, характеристик,построению таблиц и графиков в основном стал выполнять компьютер, а исследователю осталась главным образом творческая работа: постановка задачи,выбор методов решения и интерпретация результатов.3Теория вероятностей и математическая статистика§1.
Основы комбинаторикиФакториалом целого положительного числа n (обозначается n!) называетсяпроизведение 123...n = n!Основное свойство факториала: n! = n(n – 1)!.Размещениями из n элементов по k называются такие соединения по k элементов, которые отличаются друг от друга самими элементами или их порядком. Число всех размещений из n различных элементов по k (обозначается Ank ): Ank n!.(n k )!Перестановками из n элементов называются их соединения, отличающиесядруг от друга только порядком входящих в них элементов. Число всех перестановок из n различных элементов (обозначается Pn): Pn = n!.Если среди n элементов a, b, c,... имеются одинаковые (а повторяется раз, b – раз, c – раз и т.д.), тоPn n!. !! !...Сочетаниями из n элементов по k называются их соединения, отличающиесядруг от друга только самими элементами.
Число всех сочетаний из n различных элементов по k (обозначается Cnk ): Cnk n!.k !(n k )!Основное свойство сочетаний: Cnk Cnn k .Основной закон комбинаторики. Пусть нужно провести k действий, причёмпервое действие можно провести n1 способами, второе – n2 способами, ... , k-е –nk способами. Тогда все действия можно провести n1n2...nk способами.§2. Основные понятия теории вероятностейНаблюдаемые события можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при4выполнении данного ряда условий.Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет привыполнении данного ряда условий.Событие называется случайным, если при осуществлении ряда условий ономожет либо произойти, либо не произойти.Испытанием называется осуществление ряда условий.События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.Очевидно, единственно возможные события являются попарно несовместимыми.События называются равновозможными, если можно считать, что ни одно изних не является более возможным, чем другие.Элементарным исходом называется каждый из возможных результатов испытания.Полной группой называется совокупность единственно возможных событийиспытания.Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.
Если одно из двух противоположных событийобозначено через А, то другое обозначают A .Суммой A + B двух событий A и B называется событие, состоящее в появлении события A или события B, или обоих этих событий.Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.Произведением двух событий A и B называется событие AB, состоящее всовместном появлении этих событий.Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех элементарных исходов испытания, если все исходы равновозможны (классическое определение вероятности). Формулой5это определяется так:P ( A) m,nгде m – число элементарных исходов, благоприятных событию A; n – числовсех возможных элементарных исходов.Из определения вероятности вытекают следующие свойства:а) вероятность достоверного события равна единице;б) вероятность невозможного события равна нулю;в) вероятность случайного события есть положительное число, заключенноемежду нулем и единицей;г) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностейэтих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).Пример.
В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10.Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара непревышает 10?Решение. Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает10, то число случаев, благоприятствующих событию А, равно числу всехвозможных случаев, т.е. m = n = 10 и P(A) = 1. В этом случае событие Адостоверно.Пример. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 чёрных. Какова вероятность вынуть изурны синий шар?Решение. Синих шаров в урне нет, т.е.
m = 0, а n = 15. Следовательно,P(A) = 0/15 = 0. В данном случае событие А – невозможное.Пример. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 чёрных и 5 красных. Какова вероятностьвынуть из урны чёрный шар?Решение. Здесь m = 4, n = 12 и P(A) = 4/12 = 1/3.Пример. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Вынули 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара – белые?2Решение. Здесь число всех случаев n C1010 9 45. Число же случаев,1 2благоприятствующих событию А, определяется равенством6m C62 6515 1 15.
Итак, P ( A) .1 245 3Пример. В корзине 100 фруктов: 10 груш и 90 яблок. Наугад взяты четырефрукта. Найти вероятность того, чтоа) взято четыре яблока;б) взято четыре груши.Решение. Общее число элементарных исходов испытания равно числу соче4таний из 100 элементов по четыре, т.е. C100.а) Число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию (всевзятые наугад четыре фрукта являются яблоками), равно числу сочетаний из490 элементов по четыре, т.е.
C90.Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующихрассматриваемому событию, к общему числу возможных элементарных исходов:P4C904C10090!4! 86! 87 88 89 90 0, 65 .100!97 98 99 1004! 96!б) Число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию (всевзятые наугад четыре фрукта – груши), равно числу способов, которыми4можно извлечь четыре груши из десяти имеющихся, т.е. C10.Искомая вероятностьP4C104C10010! 100!7 8 9 10: 0, 00005 .4! 6! 4! 96! 97 98 99 100Пример.
Из 10 ответов к задачам, помещённым на данной странице, 2 имеютопечатки. Студент решает 5 задач. Какова вероятность того, что в одной из нихответ дан с опечаткой.Решение. P ( A) 5n C10m.n10! 6 7 8 9 10 252;5! 5! 1 2 3 4 57m C84 C21 P ( A) 8!2!2 5 6 7 8 140;4! 4! 1! 1!1 2 3 4140 5 .252 9Примечание. Такие задачи описываются общей схемой. Имеется совокупность из N1 элементов первого вида и N2 элементов второго вида.
Какова вероятность того, что при выборе совокупности из k элементов она состоит из k1элементов первого вида и k2 элементов второго вида, где k = k1 + k2, k1 N1,k2 N2.P ( A) CNk1 CNk212k kCN1 N21.2§3. Относительная частота событияОтносительной частотой события называется отношение числа испытаний, вкоторых событие появилось, к общему числу фактически произведенныхиспытаний.
Таким образом,W ( A) m,nгде m – число появлений события; n – общее число испытаний, W(A) – относительная частота события.В тех случаях, когда классическое определение вероятности неприменимо(например, когда число исходов бесконечно), используется статистическоеопределение. В этом случае за вероятность события принимается относительная частота события.§4.
Геометрическое определение вероятностиПри классическом определении вероятности не всегда можно определитьчисла т и п для вычисления вероятностей событий, и поэтому непосредственно пользоваться формулой Р(А)== т/п не удаётся. В таких случаях вводятпонятие геометрической вероятности, т. е. вероятности попадания точки вобласть (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д.).8Пусть, например, на плоскости имеется некоторая область G и в ней содержится другая область g. Требуется найти вероятность того, что точка, взятаянаудачу в области G, попадет в область g.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
