Теория вероятностей и математичкеская статистика (1118815), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Вероятность попадания в цельпервым стрелком равна 0,6, вторым – 0,8. Найти вероятность того, что приодном залпе:а) попадут в цель оба стрелка;б) попадет хотя бы один.Решение. Обозначим события: А – попадет в цель первый стрелок,В – попадет в цель второй стрелок.15а) Интересующее нас событие (попадут в цель оба стрелка) является произведением событий А и В. Так как А и В – независимые события (стрелок попадает или не попадает в цель независимо от меткости другого), тоР(АВ) = Р(А) Р(В).Следовательно, Р(АВ) = 0,6 0,8 = 0,48.б) 1-й способ.
Интересующее нас событие является суммой событий А и В,поэтому по теореме сложенияР(А + В) = Р(А) + Р(В) – P(АВ);Р(А + В) = 0,6 + 0,8 – 0,48 = 0,92.2-й способ. Событие С (попадет хотя бы один стрелок) и C (ни один изстрелков не попадет) – противоположные, поэтому P(С) + P( C ) = 1. Следовательно, P(С) = 1 – P( C ).Событие C является произведением событий A и B .Таким образом P(С) = 1 – P( A ) P( B ) = 1 – 0,4 0,2 = 0,92.Пример. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров; во втором ящике 8белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару.
Какова вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – чёрный.Решение. Пусть: событие А – появление белого шара из первого ящика; событие В – появление белого шара из второго ящика; событие С – появлениечёрного шара из первого ящика (C A); событие D – появление белого шараиз второго ящика ( D B ). Тогда Р(А) = 1/6, Р(В) = 2/3,P (C ) P ( A) 1 1/ 6 5 / 6, P ( D) P (C ) 1 2 / 3 1/ 3.Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, белый, а извторого ящика – чёрный:P ( AD ) P ( A) P( D ) (1/ 6) (1/ 3) 1/18.Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, чёрный, аиз второго ящика – белый:P ( BC ) P( B) P(C ) (2 / 3) (5 / 6) 5 / 9.Определим теперь вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика(безразлично – из первого или второго), окажется белым, а шар, вынутый издругого ящика, – чёрным.
Применяем теорему сложения вероятностей:16P P ( AD) P ( BC ) 1/18 5 / 9 11/18.Пример. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, длятретьего – 0,9. Определить вероятность того, что в цель попадёт хотя бы одинстрелок.Решение. Здесь P ( A) 1 0, 75 0, 25 (вероятность промаха первого стрелка); P ( B ) 1 0,8 0, 2 (вероятность промаха второго стрелка);P (C ) 1 0,9 0,1 (вероятность промаха третьего стрелка); тогда P ( ABC ) –вероятность одновременного промаха всех трёх стрелков – определится следующим образом:P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ) 0, 25 0, 2 0,1 0, 005.Но событие, противоположное событию P ( ABC ), заключается в поражениицели хотя бы одним стрелком.
Следовательно, искомая вероятностьP 1 P ( ABC ), т.е. Р = 1 – 0,005 = 0,995.§8. Формула полной вероятностиТеорема. Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2,..., Bn, образующих полнуюгруппу и называемых гипотезами, равна сумме произведений вероятностейкаждого из этих событий на соответствующую условную вероятность событияА:P(A) = P(B1) P(A | B1) + P(B2) P(A | B2) +...+ P(Bn) P(A | Bn).Пример. Студент знает только 10 из 25 экзаменационных билетов.
В какомслучае вероятность сдать экзамен больше: когда студент подходит тянутьбилет первым или вторым по счету?Решение. Обозначим события: А – вытягивает выученный билет, подходяпервым; В – вытягивает выученный билет, подходя вторым.Р(А) = 10/25 = 0,4 (число благоприятствующих исходов равно числу выученных билетов; число всех элементарных исходов равно числу билетов).Событие В может наступить при появлении одного из двух несовместныхсобытий С1 (первый взятый билет был известен нашему студенту) и С2 (пер-17вый взятый билет был невыученный билет).
По формуле полной вероятностиP(B) = P(C1) P(B | C1) + P(C2) P(B | C2).P( B) 10 9 15 10 240 0, 4 .25 24 25 24 600Так как Р(А) = Р(В) = 0,4, то вероятность одинакова.Пример. Имеются 4 урны. В первой урне 1 белый и 1 чёрный шар, во второй –2 белых и 3 чёрных шара, в третьей – 3 белых и 5 чёрных шаров, в четвёртой –4 белых и 7 чёрных шаров. Событие Нi – выбор i-той урны (i = 1, 2, 3, 4). Известно, что вероятность выбора i-той урны равна i / 10, т.е. Р(Н1) = 1/10,Р(Н2) = 1/5, Р(Н3) = 3/10, Р(Н4) = 2/5.
Выбирают наугад одну из урн и вынимают из неё шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.Решение. Из условия следует, что Р(А | Н1) = 1 / 2 (условная вероятность извлечения белого шара из первой урны); аналогично Р(А | Н2) = 2 / 5,Р(А | Н3) = 3 / 8, Р(А | Н1) = 4 / 11. Вероятность извлечения белого шара находим по формуле полной вероятности:P ( A) P( H1 ) P ( A | H1 ) P( H 2 ) P ( A | H 2 ) P ( H 3 ) P ( A | H 3 ) P( H 4 ) P ( A | H 4 ) 1 1 1 2 3 3 2 4 1707 .10 2 5 5 10 8 5 11 4400Пример.
В первой урне 5 белых и 10 чёрных шаров, во второй – 3 белых и 7чёрных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем изпервой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, чтовынутый шар – белый.Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первой урны послетого, как в неё переложили шар из второй урны; В1 – из второй урны в первуюпереложили белый шар; В2 – из второй урны в первую переложили чёрныйшар.P ( B1 ) 3/10; P ( B2 ) 7 /10.Если из второй урны в первую переложили белый шар, то в первой урне стало16 шаров, из них 6 белых, поэтому P ( A | B1 ) 6 /16 3 / 8.Если переложили чёрный шар, то в первой урне стало 16 шаров, из них 5 белых, поэтому P ( A | B2 ) 5 /16.По формуле полной вероятности18P ( A) P( B1 ) P ( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 ) 3 3 7 553 .10 8 10 16 160§9.
Формула БайесаПусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, B2,..., Bn, образующих полную группу. Тогда условнаявероятность любого события Bi (i = 1, 2, ..., n) при условии, что событие A ужепроизошло, вычисляется по формуле Байеса:P ( Bi | A) P ( Bi ) P ( A | Bi ).P ( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P ( A | B2 ) ... P( Bn ) P ( A | Bn )Пример. В первой урне 4 белых и 6 чёрных шаров, во второй – 5 белых и 4чёрных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар, послечего из второй урны извлекают один шар.
Найти вероятность, что этот шарбелый. Какова вероятность, что из первой во вторую урну был переложенчёрный шар, если извлечённый из второй урны шар оказался белым?Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что извлечённый шар из второйурны оказался белым, В1 – из первой урны во вторую переложили белый шар,В2 – чёрный. В1 и В2 – гипотезы.P ( B1 ) 4 26 3 , P ( B2 ) .10 510 5Найдём P ( A | B1 ) и P ( A | B2 ).Если переложили белый шар, то во второй урне стало 10 шаров, из них 6 белыхP ( A | B1 ) 6 3 , если чёрный, то шаров так же 10, но белых 5, тогда10 5P ( A | B2 ) 5 1 .10 2По формуле полной вероятностиP ( A) P( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B2 ) P ( A | B2 ) По формуле Байеса:192 3 3 1 27 .5 5 5 2 503 1P ( B2 ) P( A | B2 ) 5 2 5P ( B2 | A) .27P ( A)950§10.
Схема БернуллиИспытания называются независимыми относительно события А, если принескольких испытаниях вероятность события А не зависит от исходов другихиспытаний.Говорят, что испытания проводятся по схеме Бернулли, если для них выполняются следующие условия:1) испытания независимы;2) количество испытаний известно заранее;3) в результате испытания может произойти только два исхода: «успех» или«неуспех»;4) вероятность «успеха» в каждом испытании одна и та же.Вероятность того, что при n испытаниях «успех» осуществится ровно k раз и,следовательно, «неуспех» (n – k) раз, вычисляется по следующей формуле:Pn (k ) Cnk p k q n k ,где Cnk – число сочетаний из n элементов по k; р – вероятность «успеха»; q –вероятность «неуспеха» (q = 1– p).Данная формула называется формулой Бернулли.Пример.
В урне 20 белых и 10 чёрных шаров. Вынули подряд 4 шара, причёмкаждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего, ишары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырёх вынутыхшаров окажется два белых?Решение. Вероятность извлечения белого шара р = 20/30 = 2/3 можно считатьодной и той же во всех четырёх испытаниях; q = 1 – p = 1/3. Используя формулу Бернулли, получаем2P4 (2) C42 p 2 q 2 24 3 2 1 8 .1 2 3 3 27Пример. Вероятность появления события А равна 0,4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
