Теория вероятностей и математичкеская статистика (1118815), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Так как X  M ( X )  1 , следуетM ( X )  1  X  M ( X )  1 в нашей задаче1010119 1  X   1 или  X ,9999то необходимо найти19 1  9351 19 1 1P   X    F    F    1   0,962.999 9 81 12 27  972§23. Примеры непрерывных распределенийРавномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, если на интервале (a; b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а именноf ( x) 1; вне этого интервала f(x) = 0.baМатематическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной в интервале (a; b), равно полусумме концов этого интервала:M (X ) 38ab.2Дисперсия случайной величины, равномерно распределенной в интервале (a; b), определяется равенством(b  a ) 2.12Hормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет видD( X ) f ( x) 1 2e( x  a )222,где а – математическое ожидание,  – среднее квадратическое отклонение X.Для случайной величины X, распределенной по нормальному закону, вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (; ), вычисляется по формулеaaP (  X   )     , (x) – функция Лапласа.    Функция распределения случайной величины X находится по формулеF ( x) 1 xa Ф,2  а вероятность отклонения нормально распределённой случайной величины отеё математического ожидания менее чем на  равна:p  X  a     2Ф   .Правило трёх сигм.

Если случайная величина распределена нормально, тоабсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения с вероятностью0,9973.Пример. Масса вагона - случайная величина, распределённая по нормальномузакону с математическим ожиданием 65 т и средним квадратичным отклонением 0,9 т. Найти вероятность того, что вагон имеет массу не более 67 т и неменее 64 т.

По правилу трёх сигм найти наибольшую и наименьшую границыпредполагаемой массы.Решение. Для нормального распределённой случайной величины39 67  65  64  65 a aP (  x   )  Ф   Ф  Ф Ф     0,9  0,9  Ф(2, 22)  Ф(1,11)  0, 4868  0,3665  0,8533.По правилу трёх сигм наименьшая граница a  3 , наибольшая границаa  3 . Таким образом, 65  3  0, 9  65  2, 7 .Наименьшая граница 62,3 т, наибольшая 67,7 т.§24. Закон больших чиселHеравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньшеположительного числа , не меньше чем 1 D( X )2P(|X – M(X)| < )  1 :D( X )2.Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин X1, X2,..., Xn имеет конечные математические ожидания идисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянногочисла С), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т.е.

если – любое положительное число, тоlim P ( |n 1 n1 nX i n  M ( X i ) |  )  1 .n i 1i 1Теорема Бернулли (Закон больших чисел). Если в каждом из n независимыхиспытаний вероятность p появления события А постоянна, то как угодноблизка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты отвероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если числоиспытаний достаточно велико, т.е.

lim P ( |n угодно малое положительное число.40m p |  )  1 , где  – любое скольn§25. Центральная предельная теоремаТеорема Ляпунова. Если случайные величины в последовательности X1, X2,...,Xn,... независимы, одинаково распределены и имеют конечное математическоеожидание mx и дисперсию 2x , то для любого действительного x1 nX k  mxxn11 – функция2 dt , где F ( x)  P  k 1F ( x)   ( x)  exx22 nt21 n X k  mxn k 1распределения случайной величины.xn§26. Системы случайных величинЧасто результат опыта описывается не одной случайной величиной X, а несколькими случайными величинами: Х1, Х2, …, Хп. В этом случае принятоговорить, что указанные случайные величины образуют систему(Х1, Х2, …, Хп).Систему двух случайных величин (Х, Y) можно изобразить случайной точкойна плоскости.Событие, состоящее в попадании случайной точки (X, Y) в область D, принятообозначать в виде (X, Y)  D.Закон распределения системы двух дискретных случайных величин можетбыть задан с помощью таблицыYy1y2…ynx1p11p12…p1nx2p21p22…p2n……………xmpm1pm2…pmnXгде x1 < х2 < ...

< хт, у1 < у2 < … < yn, pij – вероятность события, заключаю-41щегося в одновременном выполнении равенств X = хi, Y = уj. При этомmn pij  1. Таблица может содержать бесконечное множество строк иi 1 j 1столбцов.Функцией распределения n-мерной случайной величины (Х1, Х2, …, Хп) называется функция F(х1, х2, …, хп), выражающая вероятность совместноговыполнения n неравенств X 1  x1 , X 2  x2 , …, X n  xn , т.е.F ( x1 , x2 ,  , xn )  P ( X 1  x1 , X 2  x2 , , X n  xn ).Примечание. Функцию F(х1, х2, …, хп) называют также совместной функциейраспределения случайных величин Х1, Х2, …, Хп.В двумерном случае для случайной величины (X, Y) функция распределенияF ( x, y ) определяется равенством F ( x, y )  P ( X  x, Y  y ).Геометрически функция распределения F ( x, y ) означает вероятность попадания случайной точки (X, Y) в бесконечный квадрант, лежащий левее и нижеточки M ( x, y ).

Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются– это означает, что функция распределения непрерывна слева по каждому изаргументов.В случае дискретной двумерной случайной величины её функция распределения определяется по формуле: F ( x, y )   pij , где суммирование вероijятностей распространяется на все i, для которых xi  x, и все j, для которыхy j  y.Отметим свойства функции распределения двумерной случайной величины,аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины.1. Функция распределения F ( x, y ) есть неотрицательная функция, заключённая между нулём и единицей, т.е.

0  F ( x, y )  1.2. Функция распределения F ( x, y ) есть неубывающая функция по каждому изаргументов, т.е.при x2  x1F ( x2 , y )  F ( x1 , y ),42при y2  y1F ( x, y2 )  F ( x, y1 ).3. Если хотя бы один из аргументов обращается в –∞, функция распределенияF ( x, y ) равна нулю, т.е. F (, y )  F ( x,  )  F (,  )  0.4. Если один из аргументов обращается в +∞, функция распределения F ( x, y )становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:F ( x,  )  F1 ( x ),F (, y )  F2 ( y ),где F1 ( x ) и F2 ( y ) – функции распределения случайных величин Х и Y, т.е.F1 ( x )  P ( X  x ), F2 ( y )  P (Y  y ).5. Если оба аргумента равны +∞, то функция распределения равна единице:F (,  )  1.Закон распределения системы непрерывных случайных величин (X, Y) будемзадавать с помощью функции плотности вероятности f ( x, y ).Плотностью вероятности (плотностью распределения или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная её функции распределения, т.е.( x, y )  2 F ( x, y ) Fxy ( x, y ).xyВероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D определяется равенствомP  ( X , Y )  D    f ( x, y )dxdy.DФункция плотности вероятности обладает следующими свойствами:1.

f ( x, y )  0. 2. f ( x, y )dxdy  1. Если все случайные точки (X, Y) принадлежат конечной области D, то последнее условие принимает вид f ( x, y)dxdy  1.D43Математические ожидания дискретных случайных величии Х и Y, входящих всистему, определяются по формуламmnmnmx  M ( X )   xi pij , my  M (Y )   y j pij ,i 1 j 1i 1 j 1а математические ожидания непрерывных случайных величин – по формулам mx  M ( X )  xf ( x, y )dxdy , my  M ( y )    yf ( x, y )dxdy. Точка (mx; my) называется центром рассеивания системы случайныхвеличин (X, Y).Математические ожидания mx и my можно найти и проще, если случайныевеличины Х и Y независимы.

В этом случае из законов распределения этихслучайных величин можно определить математические ожидания тх и ту поформуле, приведенной в §16 для дискретных случайных величин и в §22 длянепрерывных случайных величин.Дисперсии дискретных случайных величин Х и Y определяются по формуламmnmnD( X )   pij ( xi  mx )2 , D(Y )   pij ( y j  m y ) 2 .i 1 j 1i 1 j 1Дисперсии же непрерывных случайных величии Х и Y, входящих в систему,находятся по формулам D( X )   ( x  mx )2 f ( x, y )dxdy , D(Y )    ( y  my )2f ( x, y )dxdy. Средние квадратические отклонения случайных величин Х и Y определяютсяпо формулам x  D ( X ),  y  D(Y ).Для вычисления дисперсий могут быть применены формулыD( X )  M ( X )2  [ M ( X )]2 , D(Y )  M (Y )2  [M (Y )]2 ,Важную роль в теории систем случайных величин играет так называемыйкорреляционный момент (ковариация)C xy  M [( X  mx )(Y  my )].44Для дискретных случайных величин корреляционный момент находится поформулеmnC xy   ( xi  mx )( y j  my ) pij ,i 1 j 1а для непрерывных – по формуле C xy   ( x  mx )( y  m y ) f ( x, y)dxdy. Случайные величины Х и Y называются независимыми, если вероятность одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке области её значений, не зависит от того, какое значение приняла другая величина.

Характеристики

Список файлов книги