Теория вероятностей и математичкеская статистика (1118815), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

В этомслучаеМ(ХY) = М(Х)  М(Y).Ковариация двух случайных величин характеризует как степень зависимостислучайных величин, так и их рассеяние вокруг точки (mx , m y ).Свойства ковариации случайных величин:1. C xy  M ( XY )  M ( X ) M (Y ).ЗдесьmnM ( XY )   xi yi piji 1 j 1для дискретных случайных величин Х и Y и M ( XY )   xyf ( xy )dxdy для непрерывных величин.2. Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю, т.е.Сху = 0.3.

Ковариация двух случайных величин по абсолютной величине не превосходит произведения их средних квадратических отклонений, т.е.C xy   x  y .Для характеристики связи между величинами Х и Y рассматривается так называемый коэффициент корреляции45rxy C xyx y,являющийся безразмерной величиной.Свойства коэффициента корреляции:1. Коэффициент корреляции удовлетворяет условию: 1  rxy  1.2.

Если случайные величины Х и Y независимы, то rxy = 0.3. Если случайные величины Х и Y связаны точной линейной зависимостьюY  aX  b, то rxy  sgn a, т.е. rxy = 1 при а > 0 и rxy = –1 при а < 0.Пример. В двух ящиках находятся по шесть шаров; в первом ящике: 1 шар с№1, 2 шара с №2, 3 шара с №3; во втором ящике: 2 шара с №1, 3 шара с №2, 1шар с №3. Пусть Х – номер шара, вынутого из первого ящика, Y – номер шара,вынутого из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару. Составитьтаблицу закона распределения системы случайных величин (X, Y). Найти математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y. Определитькоэффициент корреляции.Решение.Случайная точка (1, 1) имеет кратность 1  2 = 2;– // –(1, 2)– // –1  3 = 3;– // –(1, 3)– // –1  1 = 1;– // –(2, 1)– // –2  2 = 4;– // –(2, 2)– // –2  3 = 6;– // –(2, 3)– // –2  1 = 2;– // –(3, 1)– // –3  2 = 6;– // –(3, 2)– // –3  3 = 9;– // –(3, 3)– // –3  1 = 3.Всего случайных точек 6  6 = 36 (n-кратную точку принимаем за n точек).

Таккак отношение кратности точки ко всему количеству точек равно вероятностипоявления этой точки, то таблица закона распределения системы случайныхвеличин имеет видY123X4611/181/121/3621/91/61/1831/61/41/12Сумма всех вероятностей, указанных в таблице, равна единице.Найдём математические ожидания случайных величин X и Ymx  1111111111 7 2   3   1  2   3   1  2   3   ;18961264361812 3my  1 111111111 11 2   3   1  2   3   1  2   3   .18123696186412 6Точка (7/3; 11/6) является центром рассеивания для заданной системы (X, Y).Так как случайные величины X и Y независимы, то математические ожиданияmx и my можно подсчитать проще, используя ряды распределения:хi123yi123pi1/61/31/2pi1/31/21/6Отсюда находимmx   pi xi 1 2 3 711 11   , m y   pi yi   1   .6 3 2 332 6От системы величин (X, Y) перейдём к системе центрированных величин( X , Y ), где X  X  m  X  7 / 3, Y  Y  m  Y  11/ 6.

Составим таблицуxyY–5/61/67/6–4/31/181/121/36–1/31/91/61/182/31/61/41/12XИмеем2222 4 1  1 1 2 1  4 1D( X )                     3  18  3  9  3  6  3  1222222 1 1 2 1  4 1  1 1 2 1 5                  ; 3  6  3  4  3  36  3  18  3  12 9472222 5 1  5 1  5 1 1 1D(Y )                     6  18  6  9  6  6  6  1222222 1  1  1  1  7  1  7  1  7  1 17                   . 6  6  6  4  6  36  6  18  6  12 36Отсюда  x  5 / 3,  y  17 / 6.Заметим, что D( X ) и D(Y ) можно найти по формуламD( X )  M ( X 2 )  [ M ( X )]2 , D(Y )  M (Y 2 )  [ M (Y )]2 .Для нахождения коэффициента корреляции воспользуемся таблицей распределения системы ( X , Y ) центрированных случайных величин.Определим ковариацию: 4  5 1  4 1 1  4 7 1  1  5 1C xy                                3   6  18  3  6 12  3  6 36  3   6  9 1 1 1  1 7 1 2  5  1 2 1 1 2 7 1                        3  6 6  3  6 18 3  6  6 3 6 4 3 6 124 517  1 517  2 517           3  108 72 216  3  54 36 108  3  36 24 72 412   0   0   0  0.333Так как Cxy = 0, то и коэффициент корреляции rxy = 0.Этот же результат мы могли получить и не определяя ковариации Cxy.

Действительно, полагая Y = 1, получаем, что значение Х = 1 повторяется 2 раза,значение Х = 2 – 4 раза, а значение Х = 3 – 6 раз. Значит при Y = 1 получаемряд распределения случайной величины Х:хi123pi1/61/31/2Если Y = 2, то значение Х = 1 повторяется 3 раза, значение Х = 2 – 6 раз, азначение Х = 3 – 9 раз. Следовательно, при Y = 2 получается ряд распределения случайной величины Х:хi123pi1/61/31/248Наконец, если Y = 3, то значение Х = 1 повторяется 1 раз, значение Х = 2 –2 раза, а значение Х = 3 – 3 раза. Ряд распределения случайной величины Хпри Y = 3 имеет видхi123pi1/61/31/2Итак, при различных значениях Y получаем один и тот же ряд распределенияслучайной величины Х.

Так как ряд распределения случайной величины Х независит от значений случайной величины Y, то случайные величины Х и Yнезависимы. Отсюда следует, что коэффициент корреляции равен нулю.Пример. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределенияс плотностью a( x  y ) в области D;f ( x, y )  вне этой области.0Область D – квадрат, ограниченный прямыми х = 0, х = 3, у = 0, у = 3. Требуется: 1) определить коэффициент а; 2) вычислить вероятность попаданияслучайной точки (X; Y) в квадрат Q, ограниченный прямыми х = 1, х = 2, у = 1,у = 2; 3) найти математические ожидания mx и my; 4) найти средние квадратические отклонения x и y.Решение. 1.

Коэффициент а находим из уравнения33a   ( x  y )dxdy  1, откуда0033333y2 9a   ( x  y )dxdy  a   xy   dx  a   3x   dx 2 20000039 13 27 27  a  x 2  x   a     27a, 27a  1, т.е. a  .2222270222. P  ( X ; Y )  Q  1( x  y )dxdy 27 1 12221 y2 1 1 xy   dx  2 x  2  x   dx 27 1 2 27 1 2149221 31  x2 3x 1 1 3 1    x   dx 23    .27 1 227  2227 2 2 913. Находим математические ожидания mx и my; имеем3mx 33311  2xy 2 x ( x  y )dxdy x y  dx 27 0 027 0 2 0331  2 9 1  3 9 21 81  7x  x   3х  х  dx  27    .27 0 2 27 4  0 27 4 47Следовательно, и my  .44.

Находим средние квадратические отклонения x и y:2332x   ( x  mx )2 f ( x, y )dxdy D23317 77 x    x   y   dydx 27 0 0 4 4433317 x   ( x  y )dydx 27 0 0 4332321717 7 x   dydx     x    y   dydx 27 0 0 427 0 0 4 4331 7173 x    y 0 dx x 27 0 427  2 0 41 1 7   x  9 4 4Итак,  x   y 4 337 y  42 3dx 031 17   361 49 11  x      .27  2 3 4   16 16  0 16011.4§27.

Задачи математической статистикиУстановление закономерностей, которым подчинены массовые случайныеявления, основано на изучении статистических данных – результатах наблю-50дений.Первая задача математической статистики – указать способы сбора и группировки (если данных очень много) статистических сведений.Вторая задача математической статистики – разработать методы анализастатистических данных в зависимости от целей исследования.§28.

Основные понятия математической статистикиГенеральная совокупность – совокупность всех изучаемых объектов, N – еёобъём (количество всех объектов).Выборочная совокупность – совокупность объектов, отобранных для изучения, n – объём выборки.Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.Таким образом, вместо большой совокупности объектов изучается совокупность объёма, значительно меньшего по количеству объектов (n << N).Результаты, полученные при изучении выборки, распространяются на объекты всей генеральной совокупности. Для этого выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть правильно представлять генеральную совокупность.

Это обеспечивается случайностью отбора.Виды отбора:– простой случайный:повторный;бесповторный;– сложный случайный:типический;механический;серийный.Простой случайный отбор – производится без деления генеральной совокупности на части.Повторный отбор – отобранный объект возвращается в генеральную совокупность.Бесповторный отбор – отобранный объект не возвращается в генеральную51совокупность.Сложный случайный отбор – производится после предварительного делениягенеральной совокупности на части.Типический отбор – генеральная совокупность делится на типы, из каждоготипа случайно отбираются объекты пропорционально объёму типов.Механический отбор – генеральная совокупность делится на части механически, из каждой части случайно отбираются объекты.Серийный отбор – генеральная совокупность делится на серии, и случайнымобразом отбираются целые серии объектов.§29. Статистическое распределение выборкии его характеристикиПусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x1 наблюдалось n1 раз, x2 – n2 раз, xk – nk раз и ni = n – объем выборки.

Hаблюдаемыезначения xi называют вариантами, а последовательность вариант, записанныхв возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа наблюдений называются частотами, а их отношения к объему выборкиni Wi – относиnтельными частотами.Статистическим распределением выборки называют перечень вариант исоответствующих им частот или относительных частот.Результаты выборки представляются в виде статистического распределения:хiх1х2х3…хknin1n2n3kгде n1  n2  n3    nk   ni  n;i 1хi – варианты;ni – соответствующие им частоты;n – объём выборки;Wi ni– относительные частоты.n52…nkРаспределение относительных частот:хiх1х2WiW1W2Основные характеристики выборки:х3…хkW3…WkxB – выборочная средняя;DB – выборочная дисперсия;σB – выборочное среднее квадратичное отклонение;S 2 – исправленная дисперсия.k xi nixB i 1nx1n1  x2 n2  x3 n3    xk nk,nk ( xi  xB )2 niDB i 1n( x1  xB ) 2 n1  ( x2  xB )2 n2    ( xk  xB )2 nk,nDB  xB2  xB2 , где xB2  B  DB , S 2 x12 n1  x22 n2    xk2 nk,nnDB .n 1Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X < x:F*(x) =nx,nгде nx – число вариант, меньших x; n – объем выборки.§30.

Полигон и гистограммаПолигон абсолютных частот – это ломаная, отрезки которой соединяют точки(хi, ni).Пример.хi1,53,55,57,5ni124353ni43211,53,55,5х7,5Полигон относительных частот – это ломаная, отрезки которой соединяютточки (хi, Wi ).Пример.хi1,53,55,57,5Wi0,10,20,40,3Wi0,40,30,20,11,53,55,57,5хСтатистическое распределение может носить интервальный (непрерывный)характер.Пример.х2–55–88 – 11 11 – 14ni912246h – длина частичного интревала.h = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3.Гистограмма частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников,основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны54отношению ni / h (плотность частоты).nih843225811х14Пример. В результате испытания случайная величина Х приняла следующиезначения х1 = 2, х2 = 5, х3 = 7, х4 = 1, х5 = 10, х6 = 5, х7 = 9, х8 = 6, х9 = 8, х10 = 6,х11 = 2, х12 = 3, х13 = 7, х14 = 6, х15 = 8, х16 = 3, х17 = 8, х18 = 10, х19 = 6, х20 = 7,х21 = 3, х22 = 9, х23 = 4, х24 = 5, х25 = 6.Требуется: 1) составить таблицу, устанавливающую зависимость между значениями случайной величины и её частотами; 2) построить статистическоераспределение; 3) изобразить полигон распределения.Решение.

Характеристики

Список файлов книги