Теория вероятностей и математичкеская статистика (1118815), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Какова вероят-20ность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трёх раз?Решение. Здесь р = 0,4, q = 0,6. Имеем:вероятность появления события А 0 раз: Р10(0) = q10;вероятность появления события А 1 раз: Р10(1) = 10рq9;вероятность появления события А 2 раза: Р10(2) = 10р2q8;вероятность появления события А 3 раза: Р10(3) = 10р3q7.Вероятность того, что событие А появится не больше трёх раз, составляетР = Р10(0) + Р10(1) + Р10(2) + Р10(3),т.е. P  q10  10 pq9  45 p 2 q8  120 p3 q 7  q7 (q3  10 pq 2  45 p 2 q  120 p3 ).Полагая р = 0,4, q = 0,6, получим Р = 0,67(0,216 + 1,44 + 4,32 + 7,68)  0,38.Пример.

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей двамальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.Решение. Вероятность рождения мальчика равна р = 0,51. Следовательно,вероятность рождения девочки равна q = 1 – p = 1 – 0,51 = 0,49.Искомая вероятность по формуле Бернулли равнаP5 (2)  C52 p 2 q5 2 5!(0,51) 2  (0, 49) 3  0,306 .2! 3!§11. Локальная и интегральная теоремы ЛапласаВ тех случаях, когда использование формулы Бернулли затруднено из-забольшого значения n, можно использовать асимптотическую формулу изследующей теоремы.Локальная теорема Лапласа.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)Pn (k ) Здесь ( x) 12ex22, x1npq( x) .k  npnpq.21Имеются таблицы, в которых помещены значения функции ( x) 12ex22,соответствующие положительным значениям аргумента x (приложение, табл.1).

Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, т.к.функция (x) четна, т.е. (–x) = (x). При х > 4 (x)  0.Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимыхиспытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 <p < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равнаP(k1,k2)  (x2) – (x1).Здесь ( x ) 1xe2z22dz – функция Лапласа,0x1 k1  npnpq, x2 k2  npnpq.Имеются таблицы функции Лапласа (приложение, табл. 2) для положительныхзначений x (0  x  5); для значений x > 5 полагают (x) = 0,5. Для отрицательных значений используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласанечетна, т.е.(–x)= –(x).Пример.

Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того,что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.Решение. По условию задачи n = 100; k = 50; p = 0,51; q = 1– p = 0,49.Так как n = 100 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:Pn (k ) 1npq( x) , где x Найдём значение x: x k  npnpqk  npnpq.50  100  0,51100  0,51  0, 49 0, 2 .По справочным таблицам (см.

приложение, табл.1) найдем(0, 2)  (0, 2)  0, 3910 (т.к. функция (x) – четная).Искомая вероятность P100 (50) 0, 3910 0, 0782 .522Пример. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена неменее 75 раз и не более 90 раз.Решение. По условию задачи n = 100; k1 = 75; k2 = 90; p = 0,8; q  1  p  0, 2.Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:Pn(k1  k  k2) = (x2) – (x1), где (x) – функция Лапласа,x1 k1  npnpq, x2 k2  npnpq.Вычислим x1 и x2:x1 x2 k1  npnpqk2  npnpq75  100  0,8100  0,8  0, 290  100  0,8100  0,8  0, 2 1, 25 , 2, 25 .Так как функция Лапласа нечетна, т.е.

Ф( х)  Ф( х ) , получимP100 (75  k  90)  Ф(2, 25)  Ф(1, 25)  Ф(2, 25)  Ф(1, 25).По справочным таблицам (см. приложение, табл.2) найдём:(2,25) = 0,4938; (1,25) = 0,3944.Искомая вероятностьP100(75  k  90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.§12. Наивероятнейшее число появлений события внезависимых испытанияхЧисло k0 (наступление события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p) называют наивероятнейшим,если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможныхисходов испытаний .Hаивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенстваnp – q  k0  np + p,причем:23а) если число (np – q) – дробное, то существует одно наивероятнейшее числоk0 ;б) если число (np – q) – целое, то существует два наивероятнейших числа, аименно k0 и k0+1;в) если число np – целое, то наивероятнейшее число k0 = np.Пример.

В урне 10 белых и 40 чёрных шаров. Вынимают подряд 14 шаров,причём цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в урну.Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.Решение. Здесь n = 14, p  10 / 50  1/ 5, q  1  p  4 / 5. Используя двойноенеравенство np  q  k0  np  p при указанных значениях n, р и q, получим14 / 5  4 / 5  k0  14 / 5  1/ 5, т.е.

2  k0  3.Таким образом, задача имеет два решения: k0 = 2, k0 = 3.Пример. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.Решение. Здесь n = 25, p = 0,7, q = 0,3. Следовательно,25  0, 7  0, 3  k0  25  0, 7  0, 7, т.е. 17, 2  k0  18, 2.Так как k0 – целое число, то k0 = 18.Пример. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 1 октября в данном городе равна 1/7. Определитьнаивероятнейшее число дождливых дней 1 октября в данном городе за 40 лет.Решение. Имеем n = 40, p = 1/7, q = 6/7. Таким образом,1 61 16640    k0  40   , т.е.

4  k0  5 , т.е. k0 = 5.7 77 777Пример. В урне 100 белых и 80 чёрных шаров. Из урны извлекают n шаров (свозвратом каждого вынутого шара). Наивероятнейшее число появлений белого шара равно 11. Найти n.Решение. Из двойного неравенства np  q  k0  np  p следует, что( k 0  p ) / p  n  ( k 0  q ) / p.Здесь k0 = 11, p  100 /180  5 / 9, q  4 / 9; следовательно,11  5 / 911  4 / 9n, т.е. 18,8  n  20, 6.5/95/924Итак, задача имеет два решения: n = 19, n = 20.Пример.

Найти наиболее вероятное число правильно набранных секретарёмстраниц среди 19 страниц текста, если вероятность того, что страница набранас ошибками, равна 0,1.Решение. По условию задачи n = 19; p = 0,9; q = 0,1. Найдем наиболее вероятное число правильно набранных страниц из двойного неравенстваnp – q  k0  np + p.Подставляя данные задачи, получим19  0,9 – 0,1  k0  19  0,9 + 0,9 или 17  k0  18.Так как np – q = 17 – целое число, то наиболее вероятных чисел два: k0 = 17 и k0+ 1 = 18.§13. Формула ПуассонаПри достаточно больших n, если вероятность события мала (p  0,1), формулаЛапласа непригодна. В этих случаях (n велико, p  0,1) пользуются формулойПуассона: вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно kраз, приближенно равнаPn (k )  k e .k!Здесь  = np.

Имеются таблицы для вычисления Pn (k ) , для различных  и k(приложение, табл. 3).Пример. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нитина одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти вероятность того,что в течение 1 минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.Решение. Так как вероятность p = 0,004 очень мала, применение локальнойтеоремы Лапласа приведет к значительному отклонению от точного значенияPn(k). Поэтому при p  0,1 применяют формулу Пуассона:Pn (k )  k e , где  = np.k!По условию задачи n = 1000; k = 5; p = 0,004.25Тогда  = 1000  0,004 = 4.Подставляя данные задачи, получимP1000 (5) 45 4e  0,1562 .5!Замечание. Формулы Бернулли, Пуассона и формула, следующая из локальной теоремы Лапласа, служат для нахождения вероятности, что в n испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, «успех» наступит ровно k раз.

Дляудобства сведём их в одну таблицу.Название формулыФормулаPn (k )  Cnk p k q n  kФормула Бернулли1Pn (k ) Формула, следующаяиз локальной теоремыЛапласаxk  npnpq( x) Формула ПуассонаnpqPn (k ) ( x) ,При p > 0,1или np > 9,12Когда даёт хорошееприближениеДля всех n и p точнаяформулаex2e   k,k!2p  0,1 и np  9 = np§14. Случайная величинаСлучайной величиной называется переменная величина, значения которойзависят от случая.

Примеры случайных величин: число попаданий в мишеньпри данном числе выстрелов; число очков, выпадающее при бросании игральной кости.Случайная величина, возможные значения которой можно перенумеровать,называется дискретной. При этом число значений может быть конечным илибесконечным.Hепрерывной называется случайная величина, которая может принимать все26значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Характеристики

Список файлов книги