Теория вероятностей и математичкеская статистика (1118815), страница 2
Текст из файла (страница 2)
При этом выражению «точка, взятаянаудачу в области G» придается следующий смысл: эта точка может попасть влюбую точку области G. Вероятность попадания точки в какую-либо частьобласти g пропорциональна мере (mes) этой части (длине, площади, объему ит.д.) и не зависит от ее расположения и формы:pmes gmes G(геометрическое определение вероятности).Пример. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу нанесена точка В(х).Найти вероятность того, что отрезки ОВ и ВА имеют длину больше, чем L/4.Решение. Разобьём отрезок ОА на четыре равные части точками C, D, E (рис.1). Требование задачи будет выполнено, если точка В попадёт на отрезок СE,длина которого равна L/2.ВOCDxEAРис. 1Следовательно, р = (L/2) / L = 1/2.Пример.
Внутри эллипсаx2 y 2 1 расположен круг x 2 y 2 9. Найти25 16вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.Решение.9ухРис. 2Пусть событие А – попадание точки в кольцо. Тогда Р(А) = Sкол / Sэл, гдеSкол = Sэл – Sкр = ab – r2. Так как а = 5, b = 4, r = 3, тоP ( A) 20 9 11 0, 55.2020Примечание. В случае классического определения вероятность невозможного события равна нулю.
Справедливо и обратное утверждение, т.е. есливероятность события равна нулю, то событие невозможно. При геометрическом же определении вероятности обратное утверждение не имеет места.Вероятность попадания брошенной точки в одну определённую точку областиG равна нулю, однако это событие может произойти и, следовательно, не является невозможным.Пример (Задача о встрече). Два студента А и В условились встретиться вопределённом месте во время перерыва между 13 ч и 13 ч 50 мин. Пришедшийпервым ждёт другого в течение 10 мин, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 минможет произойти наудачу, и моменты прихода независимы?Решение.
Обозначим момент прихода студента А через х, а студента В – черезу. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобыx y 10. Изобразим х и у как декартовы координаты на плоскости, а в ка-честве единицы масштаба выберем одну минуту (рис. 2). Всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной 50, а исходы, благоприятствующие встрече, – точками заштрихованной области. Искомая вероятностьравна отношению площади заштрихованной фигуры к площади всего квад-10рата: p 502 402502 0,36.у501001050хРис. 3§5.
Аксиоматическое построение теории вероятностейПусть Ω – множество всех возможных исходов некоторого испытания (опыта,эксперимента). Каждый элемент множества Ω, т.е. , называют элементарным событием или элементарным исходом, а само множество Ω –пространством элементарных событий. Любое событие А рассматриваетсякак некоторое подмножество (часть) множества Ω, т.е. A .Само пространство элементарных событий Ω представляет собой событие,происходящее всегда (при любом элементарном исходе ), и называетсядостоверным событием. Таким образом, Ω выступает в двух качествах:множества всех элементарных исходов и достоверного события.Ко всему пространству Ω элементарных событий добавляется ещё пустоемножество Ø, рассматриваемое как событие и называемое невозможнымсобытием.Суммой нескольких событий А1, А2, …, Аn называется объединение множествA1 A2 An .Произведением нескольких событий А1, А2, …, Аn называется пересечение11множеств A1 A2 An .Событием A, противоположным событию А, называется дополнение множества А до Ω, т.е.
A \ A.Несколько событий А1, А2, …, Аn образуют полную группу (полную систему),если их сумма представляет всё пространство элементарных событий, а самиnсобытия несовместные, т.е. Ai и Ai A j (i j ).i 1Таким образом, под операциями над событиями понимаются операции надсоответствующими множествами.В начале 30-х годов XX века академик А.Н.Колмогоров разработал подход,связывающий теорию вероятностей с современной метрической теориейфункций и теорией множеств, который в настоящее время является общепринятым.Сформулируем аксиомы теории вероятностей.
Каждому событию А поставимв соответствие некоторое число, называемое вероятностью события А, т.е.Р(А). Так как любое событие есть множество, то вероятность события естьфункция множества.Вероятность события должна удовлетворять следующим аксиомам:Р.1. Вероятность любого события неотрицательна: P ( A) 0.Р.2. Вероятность достоверного события равна 1: P () 1.Р.3. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностейэтих событий, т.е.
если Ai A j (i j ), тоP ( A1 A2 An ) P( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).Из аксиом Р.1, Р.2, Р.3 можно вывести основные свойства вероятностей:1. P ( A) 1 P ( A).2. P () 0.3. 0 P( A) 1.4. P ( A) P ( B ), если A B.5. P ( A B) P ( A) P ( B ) P ( AB).126. P ( A B) P( A) P ( B ).§6. Произведение событийУсловной вероятностью P(B | A) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную впредположении, что первое событие уже наступило:P(AB) = P(A)P(B | A) = P(В)P(А | В).Следствие.
Вероятность совместного появления нескольких событий равнапроизведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется впредположении, что все предыдущие события уже появились:P(A1A2A3...An) = P(A1)P(A2 | A1)P(A3 | A1A2)...P(An | A1A2...An-1).Два события А и В называются независимыми, еслиP(AB) = P(A)P(B).Пример.
В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров; во втором ящике 8белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?Решение. В данном случае речь идёт о совмещении событий А и В, где событие А – появление белого шара из первого ящика, событие В – появлениебелого шара из второго ящика. При этом А и В – независимые события. ИмеемР(А) = 2/12 = 1/6, Р(В) = 8/12 = 2/3. Применив теорему умножения вероятностей, находимP ( AB ) P ( A) P( B) (1/ 6) (2 / 3) 1/ 9.Пример. В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров.
Из ящика вынули два шара (невозвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.Решение. Пусть событие А – появление белого шара при первом вынимании;событие В – появление белого шара при втором вынимании. По теореме умножения вероятностей для случая зависимых событий имеемP ( AB ) P ( A) P( B | A). Но P ( A) 6 /(6 8) 6 /14 3/ 7 (вероятность появ-13ления первого белого шара); P ( B | A) (6 1) /(8 6 1) 5 /13 (вероятностьпоявления второго белого шара в предположении, что первый белый шар ужевынут). Поэтому P ( AB ) 3 5 15 .7 13 91Пример. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели.
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, длятретьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.Решение. P ( A) 0, 75, P ( B ) 0,8, P (C ) 0,9;P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ) 0, 75 0,8 0,9 0,54.Пример. Из колоды в 52 листа наугад вытягиваются три карты.
Какова вероятность, что все три карты – тузы?Решение. Интересующее нас событие (все три карты – тузы) является произведением трех событий: А – первая карта туз, В – вторая карта туз, С – третьякарта туз. По теореме умножения Р(АВС) = Р(А)Р(В | А)Р(С | АВ).Р(А) = 4/52 (число благоприятствующих исходов – число тузов в колоде, общее число элементарных исходов равно числу карт).Р(В | А) = 3/51 (число благоприятствующих исходов – число тузов, оставшихсяпосле совершения события А, т.е. после того, как один туз был вынут из колоды; общее число исходов равно числу карт, оставшихся в колоде после того,как одну карту уже вынули).Аналогично, P(C | AB) = 2/50.Следовательно, P(ABC) =4 3 21 0, 00018 .52 51 50 5525Пример. Вероятность выхода станка из строя в течении одного рабочего дняравна ( – малое положительное число, второй степенью которого можнопренебречь).
Какова вероятность того, что за 5 дней станок ни разу не выйдетиз строя? Решить задачу при = 0,01.Решение. Так как (1 – ) – вероятность того, что станок не выйдет из строя втечение дня, то по теореме умножения вероятностей (1 – )5 – вероятностьтого, что станок не выйдет из строя в течение 5 дней.Воспользовавшись биномиальным разложением и пренебрегая членами, со-14держащими 2, 3, 4 и 5, получим приближённое равенство(1 – )5 1 – 5, т.е. Р 1 – 5. Приняв = 0,01, получаем Р 0,95.§7.
Сумма событийТеорема. Вероятность суммы нескольких попарно несовместных событийравна сумме вероятностей этих событий:P(A1 + A2 + ... + An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An).Теорема. Сумма вероятностей событий A1, A2,..., An, образующих полнуюгруппу, равна единице:P(A1) + P(A2) +...+ P(An) = 1.Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:P(A) + P( A ) = 1.Теорема.
Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).Пример. В урне 10 белых, 15 чёрных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынулиодин шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; чёрный; синий;красный; белый или чёрный; синий или красный; белый, чёрный или синий.Решение. Имеем n 10 15 20 25 70, P (Б) 10 / 70 1/ 7,P (Ч) 15 / 70 3/14, P (С) 20 / 70 2 / 7, P (К) 25 / 70 5 /14. Применивтеорему сложения вероятностей, получимP (Б Ч) P (Б) P (Ч) 1/ 7 3/14 5 /14,P (С К) P(С) P (К) 2 / 7 5 /14 9 /14,P (Б Ч С) 1 P (К) 1 5 /14 9 /14.Пример. Два стрелка стреляют по мишени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
