А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В следующем пункте мы рассмотрим обобщение такой цепи, где круги будут заменены произвольными выпуклыми областями. 2. Непосредственное аналитическое продолжение. Напомним, что область 6 называется выпуклой, если прямолинейный отрезок, соединяющий любые две точки области, содержится в области. Примерами выпуклых областей являются круг, треугольник, прямоугольник, полуплоскость, угол (раствора, не большего л), полоса, заключенная между параллельными прямыми, и т.
п. Если две выпуклые области имеют непустое пересечение (т. е., по крайней мере, одну общую точку), то это пересечение само является выпуклой областью (докажите(). Пусть О в выпуклая область и ('(я) — функция, аналитическая и однозначная в области 6. Эта совокупность функции и области называется элементом аналитической функции (коротко— элементом); мы будем обозначать элемент символом (О, У(г)) е). Два элемента (Оы (т(я)) и (От, ут(г)) рассматриваются как тождественные тогда и только тогда, когда области 6, и 6 совпадают и г,(г)= гт(л) во всех точках области. Два элемента (Оы ~,(л)) и (От, ут(г)), удовлетворяющие условиям: 1) О, и О имеют непустое пересечение, 2) в обшей части областей 6, и О, значения У1(л) и (т(з) совпадают, называются непосредственными аналитическими продолжениями один другого.
") Условие выпуклости обеспечивает связность общей части двух областей. Если устранить зто условие, то можно сохранить все последующее нзложевие, вводя уточнения в формулировки, вызываемые тем, что в общем случае общая часть двух областей состоит из многих областей, попарно яе имеющих точек.
3. поствоение аналитической эвикции по ее элементам 259 Элементы (О„ У',(г)), (О,, Уз(г)), ..., (О„, У„(г)) составлЯют ц е п ь аналитических продолжений (непосредственных). если каждым последующий элемент (Оу+ы узы, (г)) является непосредственный продолжением предыдущего. Цепь соединяет начальный элемент (О,, У, (г)) с конечным (О„, У„(г)); очевидно, что та же цепь, пройденная в обратном направлении, соединяет элемент (О„,уа(г)) с (О,, У,(г)).
Два элемента (О, 7(г)) и (О, ~р(г)) 'называются аналитическими продолжениями один другого, если сушествует цепь, соединяющая один элемент с другим. Примеры: а) Вернемся к задаче п. 1. Очевидно, что для каждого У()=О, 1, 2, ..., л) сумма степенного ряда (2) вместе с соответствующим кругом Ку. )г — гу1(гу составляет элемент аналитической функции, который мы коротко обозначим ЕЕ Лва соседних элемента Еу и Еутт являются непосредственными аналитическими продолжениями один другого; элементы Е, Ет, ..., Е„образуют цепь аналитических продолжений, соединяющую Еэ с Е„, Еа и Е„(и вообще Ез н Еа, О К,у ~, и, О ( д ( и) — аналитические продолжения один другого. Наконец, и самый процесс, посрелством которого была решена задача п.
1, может быть назван п р о ц е с с о м а н а л итиче с кого про долже ни я. Из рассуждений п. 1 ясно также, что если для каждой точки "ЕО образовать степенной ряд у (~) + у' ("-) (г — ~) + + (г — ~)" + у'"'(~) и1 сходящийся к у'(г) в круге К(с); ) г — с) (а, где р — расстояние от точки " до а, то получим бесконечное множество элементов (К(ь), у(г)), из которых каждый будет давать аналитическое продолжение другого, причем все вместе они могут служить для определения данной однозначной функции у(г) в области О.
б) Пусть 0 — полуплоскость, определяемая следующими неравенствами у в л для полярного угла чс У вЂ” (э((7+ 2) — (У = О, ~ 1, +-2, ...); очевидно, 2 2 что Оу+а„= Оу (и — целое число). Положим уу (г) = 1а) г) + гу, где удовлетворяет тем же неравенствам; получим элемент (ОЕ Уу(г)). Легко видеть, что при любом 7 целом элементы (Оу, уу(г)) и (Оу+т, уу+т(г)) являются непосредственными аналитическими продолжениями один другого (общая часть полуплоскостей 0 .
и 07+т — координатный квадрант (2+1) — ( у 2 (Ф(()+ 2) 2, в котором функции уу и уу+т имеют одинаковые значения). Отсюда следует, что любые элементы (бу, уу) и (Оз, уа) являются аналитическими продолжениями один другого. Очевидно, что совокупность всех злементов (ОЕ уу(г)) может служить для определения многозначной функции Вп г. 3. Построение аналитической функции по ее элементам. Множество тИ элементов (О, 7(г)) (конечное или бесконечное) назовем для краткости с в я з н ы м, если каждые два элемента этого множества (Оа, уе(г)) и (О", 7'(г)) являются аналитическими продолжениями один другого и если наше множество вместе с каждой парой своих элементов содержит также и элементы некоторой цепи, 17а 260 Гл.
1х. АнАлитическое пРодолжение. РимАнОВА пОВеРхнОсть связывающей элементы пары. Например, множества элементов в примерах а) и б) п. 2 являются связными. Покажем, что объединение () О = О всех областей, входящих в определение элементов некоторого связного множества М, является областью. Действительно, если г ~ О, то г принадлежит, по крайней мере, одной из областей О и, следовательно, окрестность точки г, содержащаяся в О, содержитСя также и в В. Пусть ге и я* †д различные точки множества 0 и ге принадлежит области Ое, которой соответствУет некотоРый элемент (Ое, Уе(г))<=М, а точка г* †облас О*, которой соответствует элемент (О", у (г)).
Далее. пусть (ОВ, уз(г)), (ОО Л (г)) ° ° ° (Оч У~(г)) (У* = У„ и 0* = 0„) — цепь элементов из множества ° М, соединяющая (ОО, Яг)) с (О', у'(г)). Выберем по одной точке г +, в пересечениях областей Оу й Оуь,(/ = й, 1, ... ..., и†1). Тогда ге можно будет соединить с точкой г, отрезком прямой 3,~0 (а следовательно, й,с0), г, можно соединить с г, отрезком прямой йзсб,сО, . , г„ , можно соединить с г„ = г" отрезком а„сО„ ,с"О. Очевидно, что совокупность отрезков прямых йн йз, ..., О„составляет ломаную, содержащуюся в Е> и соединяющую точку ге с г'. Итак, 0 есть область; Мы можем теперь следующим образом посредством множества М определить в Р аналитическую функцию ~(г) (вообще миогозначную). Если ге~ О, то, беря один из элементов 10е, Уе(г)), для которого геЕ Ош полагаем в окрестности точки гр, содержащейся в Ое, У(г)=уе(г) и, в частности, у(г )=уе(ге).
Тем самым получим в данной окрестности точки ге одну из одиозйачных ветвей аналитической функции у(г). Так как может существовать несколько (быть может, бесконечное множество) различных элементов (О, У(г)), для которых гВ~О, то получаем несколько (быть может, бесконечное множество) окрестностей точки г и в каждой из них соответствующую однозначную ветвь'функции У(г). Очевидно, для того чтобы фиксировать какую- нибудь одну из них, а вместе с ией и определенное значение у(г ), необходимо указывать не только точку ге, но и один определенный элемент (О. 7(г)) ~М, удовлетворяющий условию ге~О. Тогда мы получим однозначную ветвь функции У(г) ие' только в круговой окрестности точки г, но и в целой области О; эта ветвь определяется функцией у(г).
Будем в дальнейшем рассматривать каждый элемент (О, У(г)) как элемент построенной адесь функции У(г). Для иллюстрации вернемся к множествам элементов'в примерах а) и б) п. 2. В первом из иих объединение всех кругов К(ь) дает исходную облаоть ,0 и функция У'(г), определяемая посредством своих элементов (К(ь), Щ)+У'(ь)(г — ь)+...), оказывается однозначной аналитической в области 0 функцией.
Во втором — объединение всех полуплоскостей 0~. у' — ( р((У+2) 2 (/=О, ~1, ~2, ...) представляет всю плоскость, за исключением точек г 0 и г =+Со. 4, постговнив гимлновой поввгхиости 26! Рассматриваемые элементы (/ — (м (9+2)-2-, 1п(л)+!й ~ определяют в этой области бесконечнозначную аналитическую функцию, а именно ).пг. В каждой из четырех полуплоскостей: Де — (в( е 2 ( (А+ 2) — (1е = О, 1, 2, 3) (с такой полуплоскостью совпадает 2 бесконечное множество полуплоскостей О~, для которых У = 4и+ур, и='О, -+ 1, -2, ...) (.пя имеет бесконечное множество однозначных ветвей, выражаемых формулами У „+в (г) = 1п ~ г ! + Рй+ !2яп. 4.
Построение римановой поверхности. В. Риману принадлежит идея такого обобщения понятия области, что любая многозначная аналитическа!! функция у(г) комплексного переменного г становится однозначной, если ее рассматривать как функцию точки соответствующей обобщенной области. Пусть Л4 — связное множество элементов (О, Дг)). Когда мы строили выше область Е)=!.10, то каждая точка л, принадлежащая области Оз некоторого элемента (Ое, Де(я)) и области О* некоторого элемента (О', У (г)), рассматривалась не как две точки, но как одна и та же точка области 1). Изменим теперь описанный выше процесс объединения областей (0) и будем рассматривать точку г, принадлежащую областям О и 0' элементов (Ое, Д (з)) и (О', у" (л)), как одну и ту же точку тогда и только тогда, когда эти элементы являются непосредственными аналитическими продолжениями Один другого (т.
е. когда значения Ур(з) и У*(г) совпадают в пересечении Ое и О'). Чтобы придать наглядность этому процессу, представим себе, что для каж!~рго элемента (О, г (з)) изготовлена модель соответствующей области 0 в виде куска бумаги или ткани соответствующих очертаний. Процесс объединения областей (О) будем представлять как склеивание между собой этих кусков вдоль тех их частей, точки которых отождествляются.
Иными словами, куски, изображающие области Ое и О' элементов !Ое, уе(я)) и (О',,У'(г)), склеиваются друг с другом только в случае, когда одновременно выполнены два условия: 1) области Ое и О* имеют непустое пересечение Оз П 0' = л-, 2) Д (з)= 1'(я) во всех точках д. Предполагая, что произведены все возможные склеивания областей !О) друг с другом, подчиненные этому правилу, мы получим в результате о б о б щ е н н у ю о б л а с т ь Я, вообще говоря, многослойную или многолистную, расположенную над областью О.
Впрочем, в частных случаях. как в примере а) п. 2, процесс построения Я ничем не будет отличаться от построения области О, так как каждый раз, когда круги К(ье) и К(Г) будут иметь непустое пересечение, суммы соответствующих степенных рядов (2) будут рдцнайойыми; поэтому здесь обобщенная облазь 262 гл. !х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
