А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Очевидно, С05 ЙХ Выч. с!й г = — = 1, С05 Ьс поэтому главная часть 6»(г) разложения с!йг в окрестности точки г йх 1 равна —. г — »х' Многочлены Р»(г) (см. формулу (17)) в данном случае суть многочлены степени ие выше р = 0: Р (г)=А с=Выч.—. !э с!я( с=» Но функция —, очевидно, четная. Поэтому ее разложение вряд Лорана с!й 0 Г в окрестности начала координат содержит только четные степени э, и, следовательно, Выч. — = О, с!я 0 С э Палее, точки ь = Ьс (й чь 0) являются простыми полюсамн для †. Поэтому с!й с с!Я Г, с05»х 1 Выч. — = »х й»х с05 Ьс Ьс Итак, с Рэ(г)=0, Р»(г) = — (» + 0), 1 »х и, следовательно (см.
формулы (36) главы РП) сй (т+ — ) сс ( 1 эй(т+ — ) х 5. эазложвнин зесл, с!дг, сзсг и 1Кг на пэостнйшнк дневи 251 следовательно, по формуле (19) К 1 Л 21 СО а 1 ВО1 Мы получили разложение с!пл на простейшие дроби. Как следует из самого способа получения этой формулы (из общей формулы (!9)), ряд (22) равномерно сходится в любом круге )л! О., йс, если исключить из него конеч- ное число членов, имеющих полюсы в этом круге. Переписав соотношение (22) в виде СО с!пл — — = ~~) ( — + — ), 1 проинтегрируем его почлеино вдоль произвольной кривой й выходящей из начала координат и не проходящей через точки Дя(э= 4 1, + 2, ...).
Получим: 2 СО СО ~ (с!2 л — )ссл ~„(.п ( — — ) = ~~)' 1 и (1 — — ) э 1 1 где в правой части стоят вполне определенные значения логарифмов, а именно значения, представляющие величины соответствующих интегралов з!и л Интеграл в левой части равен одному нз значений (.и —. Итак, СО з!па %э I г' Вп — = 1!тп ~У 1.п(1 — з, ), ( йзяэ) ' 1 откуда 1 что записывают обычно при помощи символа бесконечного произведения СО лз ы П (! — —,). 1 Это — разложение э!па в бесконечное произведение. в) Разложения сзсл н !пл. Из разложений для зесл и с!нл немедленно получаются разложения для сзсз и гял.
В самом деле, сзсг= (2 = зес ~ — — л). Поэтому из полученной выше формулы ( — !)' зесл= !!ш Я'+ с ю+, г -'(22 — 1)— 252 гл. чш. вычеты и их пгиложения. принцип авггментд находим: сзсз= Пш ( 1)У т-ьш ,„+т — — г — (2/ — 1) -м+1 1Ьп м Ьвв 2 Х ( — 1)'-' Л (/ — 1) + 2 т'= -в|е1 1Ьп 1в.+со Заменяя у — 1 на И, будем иметь: Это и есть нужный результат.
гл АНаЛОГИЧНО дпя 1яя ИМЕЕМ. '1яа= С1я11кв.— г), ПОЗтОМу ИЗ НайдЕННОИ выше формулы « *- ч. [-'-;К( — ' ат получаем: 1К г !нп в1 +Ов Ппт м-ьвв + и — (2лт — 1) чг — л (2т + 1) — — л 2 м-т сзсл= Пш 7 — = Ппт ~ — — ~ — + )+ мч а+як м ьсв л л — к а+к а=-т ( 1 1 ) „,! 1 т '''+( ) (х — (т — 1)я+а+(ят — 1) к)+( ) л — гни~~' Добавим в квадратных скобках еще один член: ( — 1) м , предел л+ шя которого равен нулю (равномерно относительно л, принадлежащих произвольному кругу 1л~ч.
)т).-Получим: Г1 2л 2г 2л сзс л = 1!ш — — — + —...+( — 1) ,„.ь ( л ла — иа ав — (2к)а ла — (тля)я 1 СО 1 'д л 2л + ыя'( 1) лх — (ли)а 254 гл. топ. вычеты и их пгиложвния. пгинцнп авггмента Поэтому тейлоровскне коэффициенты в разложеиик вес з при нечетных степенях л равны нулю (что, очевидно, можно было видеть сразу, так как зесл — четная функция), а при четных степенях зиз представляются в виде рядов (2)з"."' ~~ ( — 1)У-' 1 Итак, Вспомним, что в п. 11 главы т1 то же разложение было получено в другой форме: СО зес з ~) ( — 1) — ась ззм, и Ем (2т)1 э где Ез„,' — целые числа, называемые эйлеровыми (Ез = 1, Ез = — 1, Ез = 5, Ез = — 61,...).
Из сравнения коэффициентов обоих рядов получаем равенства в частности, Х ( 1) Ео и 2) — 1 2 2 4' 1 СО 1 Рассмотрим еще функцию с1нг — —, аналитическую в круге ~г((е. 1 з' Чтобы вычислить коэффициенты ее тейлоровского разложения, воспользуемся формулой (22), из которой вытекает следующее представление втой функции в виде ряда СО с! н г — — = ~~) ~ —.
+ —.) . ут 5. элзложвнив эесг, с!дл, сзся и !дг на пгоствйшив дневи 255 Лля каждого слагаемого этой суммы имеем следующее тейлоровское разложение: СО СО 1 Г %э га 'кч а аа — '+ —.= — ~ . „, + у(( — 1) — у +Р ( к)а+' (! )"+' а=о а о аэсь-1 = — 2 ~у — ( ! л ! ( л/). '4Ои)" 1 Поэтому тейлоровские коэффициенты при четных степенях а в разложении 1 функции с!йз — — равны нулю (что сразу же следует из нечеткости этой функции), а при нечетных степенях змэ-1 представляются в виде рядов СО СО 1 2 ст 1 — 2 у — = — — т — (и = 1, 2, ...). ,, (ук)'" Следовательно, С!д Я вЂ” — = У вЂ” — У лтм-т. л э~4 ~ ссзсСс,~~ )тсе СО 1 ,1 В п. 8 главы сг! то же разложение было получено в иной форме: 1 м 2 В С!йя — — = ~ ( — 1) — Зес ажэ-т.
г лае (2ш)! 1 Из сравнения двух разложений вытекает, что СΠ—,Г, — =( — 1)— 2 %ч 1,О, 2 Вэ,„' имэ .Лй Ри (2т)! 1 Так как левая часть этого равенства положительна, то и правая должна быть положительной, т. е. ( — 1)эс 1 Взэс ) О. Отсюда следует, что бернуллиевы числа Вээс(т=1, 2, 3, ...) должны иметь чередующиеся знаки (в п. 10 1 1 1 главы Н! мы видели, что Вз = —, ВС = — —, Вэ — — —, ...). 6' ' 30* э 42'''' Из найденного соотношения следуют, в частности, следующие равенства; Х, = .' В ив — = — (2к)з = —, /а 2 ° 2! ' 6' 4=1 ' Х,= в, — = — — (2к)1 = —, /1 2 ° 4! 90' 41' Х вЂ”.
В иэ — = — (2и)о— Уо 2. 6! 945 4=1 ГЛАВА 1Х АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ПОНЯТИЕ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 1. Задача аналитического продолжения. Задача а н а л и т ического продолжения функции у(г), определенной на неКотором множестве Е, заключается в таком распространении определения этой функции на возможно более широкую область 0-> Е, при котором ((г) была бы аналитической и в области О. Простейшим примером аналитического продолжения может служить переход от функций действительного переменного е*, з1й«, соя«(т. е. функций, определенных только на действительной оси Е) к функциям е*, з1пг, созл комплексного переменного.
аналитическим во всей плоскости и совпадающим на Е с соответствующими функциями действительного переменного. Переход этот можно осуществить, заменяя в степенных рядах о СО ОЭ «ач-1 кч „«ач з1п«=~(-г-1)", созх=,1 ( — 1)"— (2л — 1)1 ' 2а (2л)1 1 о действительное переменное «комплексным переменным л и замечая что ряды эти остаются сходящимися, Рассмотрим еще пример степенного ряда ~~~~ г", сходящегося о в единичном круге Е: )«! (1. В этом круге он определяет анали- 1 тическую функцию у(з) = ~ «" = —. Хотя вне единичного круга о ряд расходится, функцию 1(я) можно аналитически продолжить на более широкую область О, представляющую всю плоскость, за исключением одной точки л = 1; достаточно положить в этой области У(л) =,—,. 1 Обратимся от этих частных примеров к общей задаче.
Предположим сначала, что возможность продолжения У(я) на область О как однозначной и аналитической функции уже установлена и речь 1. задача аналитичвского продолжвния 257 идет лишь о способе вычисления ее значений в этой области, Такой способ совпадает по своей идее с доказательством теоремы един'ственности, изложенной в п. б главы Ч1; рассмотрим его подробно. Пусть Е~)7 — множество точек, имеющее хотя бы одну предельную точку го в области О. Начнем с определения коэффициентов степенного ряда' .7(г) = с<о>+ с<о>(г — г )+...
+ с<'>(г — г )" +.... (1) изображающего 7(г) в окрестности точки го. Известно, что ряд этот сходится в круге Ко:<г — го~ < г,. где го — расстояние точки г до границы <о области 0 (но ряд может сходиться и в большем круге). Пусть (га) — последовательность точек из множества Е, отличных от «о и различных между собой, сходящаяся к го; значения 7(га) (го=1, 2, 3, ...) мы считаем известными. Для с<о'> = 7'(го) получаем, очевидно: с<н Дш У(г„). оа'о оо Предположим, что коэффициенты с<'>, с<'>, ..., с<'>, уже вычислены.
Тогда из формулы (1) получаем для с„">: у(га) оо — оу (га го) — со-у (га — го) <о> <о> <о> о- у с<о> 1>ш (га — га) 'а'+*о Таким путем цожно вычислить один за другим все коэффициенты ряда (!). Пусть теперь г' — произвольная точка области, не принадлежащая кругу К. Соединяя г' с г ломаной 7.~0, обозначим расстояние между А и Ь через о ) О. Разделим А на дуги с длинами, меньшими о, и пусть точки деления по порядку в направлении от го к г' таковы: г,р г„г„..., г „г г'. Если г> — Расстояние от точки г7 до Ь, то в круге К7'. >г — г7« ту 7(г) изобразится рядом (2) 7(г) =сИ>+с<у>>(г — г)+... +с<У>(г — г.)" + ..
При 7= О коэффициенты ряда уже вычислены. Допустим, что они вычислены для ряда (2) при некотором 7' < л<. Замечая, что расстояние между центрами г7 и гу+< кругов К7 и К7+, меньше, чем длина дуги с концами г7 и гу+„ и, следовательно, меньше, чем о < гун заключаем, что гу+, принадлежит К7. Поэтому для У«В>(г7+<) вычисления коэффициентов с<<+'> = можно пользоваться л< разложением функции в круге К~.
17 Зоо. <ОЗО. А. Н. Мороужоооо 258 гл. |х. Анллитическов пгодолжвнив. Римлнозл позвтхность Получаем: Убв(а,',),. (л+1),. + (п + 2)(а + 1) + 21 иет уег Таким путем коэффициенты каждого последующего из рядов (2) могут быть выражены через коэффициенты предыдущего ряда. Следовательно, могут быть вычислены и все коэффициенты ряда, соответствующего у = и, в частности с<"и =у(л ) =у(я'). Поставленная задача решена до конца. ЧитатеЛь видит, что мы почти без изменений воспроизвели здесь ход доказательства теоремы единственности. Существенную роль в решении задачи сыграла цепь кругов Кч в каждом из которых определена однозначная а н а л и т и ч е с к а я ф у н к ц и я Уу(г) (сумма степенного ряда (2) ), причем каждый последующий круг Кут, имеет общую часть с предыдущим Ку и в общей части значения функций уут,(л) и уу(з) совпадают.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
