А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В частном случае, когда Е есть замкнутая жорданова спрямляемая кривая, принадлежащая вместе со своей внутренностью!(1.) некото- рой области, в которой р(г) является однозначной аналитической функцией. интеграл типа Коши превращается в интеграл Коши. Вернемся к данному интегралу. Очевидно. полюсами функции р(ь) — внутри С являются У (~) ь — г точка ь=г и все полюсы функции г(г), лежащие внутри С. Обо- значим те из этих полюсов, которые отличны от нуля, через р„ ..., р„, а соответствующие нм главные части лорановских разло- жений функции Г(г) — через 0,(г), ..., 0„(г). Положим еще ре=О, считая Ое(г) равной главной части лорановского разложения функ- ции у(г) в окрестности точки г= О, так что функция Ое(г) тож- дественно равна нулю, если г = О есть правильная точка для г(г), и Ое(г) есть рациональная функция с единственным полюсом в начале, если г = О есть полюс функции у(г). Подсчитаем вычеты функции р(ь) относительно точек ь г, ре, ..., р„.
Получим прежде всего: Выч. т(~) = 1(г), 1 а 16ч ! 244 гл. чт. вычвты и их пгиложания, птинцип атггмзнта Итак, 1 ~ У. (С) лг 2гл~ ~ — г — — = У'(г) —,)~~ О„(г), о или ч у (г) = ~~~~ 0а (г) + 2 — 1 ) (! О) Эту формулу можно было бы получить иным путем. А именно заметим, ч что ~~~ Оа(г) — рациональная функция, обращающаяся в нуль з бесконечо :~ ЕОа (~) ности все полюсы ее лежат внутри С, Функция — (г лежит внутри С) Р г.— г обладает теми же свойствами н в бесконечности имеет нуль, по крайней мере, второго порядка.
Поэтому ее вычет относительно бесконечно удален- ной точки равен нулю, н следовательно, ч ~~", Оа (ь) 1!о — ~ — и=о, 2я!,) ~ — г с Далее, заменяя Дь) в окрестности точки ра соответствующим лора- иовским разложением '4-1 А!") у(~) = — "+ + — ~-+ +Ао ~+А! ~(" — ра)+... =Оа(Г)+Ра(ь), где Оа(ь) и Ра(ь) соответственно в главная и правильная части раз- ложения, и замечая, что при )ь — ра(с.!г — ра! 1 1 — в=ы=е=ы 1 ь — Ь (ь-Ра)" 1 г — га (г — (1аР (г р )та находим, что член, содержащий (ь — 'ра) в разложении о(ь) = = у(ь) —, равен ! А1а) 41а) '4-1 1 (г-ра)о " (г ра)та~~-ра= ь — ра Следовательно, Выч.
у(Г) = — Оа(г). с=за 4. твогвмл о вычетах и глзложвние нл пгоствйшив дгози 245 откуда У(С) — ,'~ Ое(С) у с)ас о 2 > Ъ 2* с Но функция у(С) — ~ Оа(С) является аналитической во всех точках внутри С> э поэтому к последнему интегралу применима формуЛа Коши, н мы получаем: у(с) — ~~' Йе(с) >ГС у(л) — ~ Ое (г), Гу(с)лс 1 Г а т. е. формулу (10).
Допустим, что существует последовательность не проходящих через полюсы функции Г(г) замкнутых жордановых спрямляемых кривых (С ), из которых каждая (С ) содержится внутри следующей (С,) и внутренности которых при достаточно большом лг содержат любой заданный круг (г(<)с,' причем для кривых С удовлетворяется условие 1!ш — ~ — '= О. 1 Гу(С) Ж ,„„,2ег3 ( — л = о„ Тогда число полюсов функции Г(г). лежащих внутри С, будет зависеть от т: и= и, и из формулы (10) получим: у(з)= Иш ~~~р Оа(г), (12) 1>ш ~~П~Н < . с (13) В самом деле, обозначая через г„, расстояние от начала координат до С (г -+ со при >л -+ со) и полагая, что л принадлежит кругу (л~ < >с, получим при г ) >с: — — ) < ! ),Г(С)(г)з-+О при т-+со. !.~ .! 1 Гу(с) ж> 1 т.
е. функция Г(г) представляется в виде предела последовательности сумм главных частей ее лорановских разложений, относящихся к полюсам, лежащим внутри С,„. Условие (11) удовлетворяется, например, в случае, когда 4. твогвмл о вычвтлх и глзложвнив нл пгоствйшив дгови 247 Тогда получим: У р и 212яг,[ ~+м" =з.'ю4("' + + "7 =АЙ т-о с то к о где Рь(г) — многочлены степени не выше р: Рь(х) = А1ай+ Ааь'1.+... + АЯ1ЯЯ. Итак, формулу (!б) можно переписать в виде 7'( ) =~~,~Оа (я)+Рь(л)~+ —,', ~ ~~'~ —' ., 2~. о с Заменяя здесь С на С,„ и, следовательно, и на и , получим, используя условие (14), что остаточный член зтой формулы 1 [ У(ь) ли+' — б[ — — „сС 2о~б[ г гя+т стремится к нулю и притом равномерно относительно точек г, принадлежащих любому фиксированному кругу [я[ ( )с.
В самом деле, при ло, настолько большом, что г, ) Я, имеем: ! 1 [,' 7 (С) "" ! 1 [' [У(~н [ ["' И"' Г [ У(б) [ 2Я1б[ С вЂ” л Роз [ 2Я ) [С[ — [а[[ ~[ло1 2я(г,„— 11)б[ [И[Я+' ~и РИ Щ [ [у(л)[ Но в силу условия (14) интегралы " + азы ограничены: с — оЬ(М( со. [У(г)1 [~ [я+о (17) Следовательно, ! ~' [' У(С) 1"' [ М)7Я+' — )' — — ~(1< -б Р 2Ш,[ ~ е Ро' 1 2л(гм — Д) и мы получаем из формулы (18) разложение м У'(г) = 11ш,)~~ [О» (л) + Рь (г)[, о ->со о оь равномерно сходящееся к 7(я) в каждом круге [я[ч, 1т.
Это раз- ложение можно записать в виде ряда СО У(л) = [Оо(.)+ Ро(.)[+ Х ЯО~+, (.)+ Р.„+, (.)[+... ... + [О„,(я)+ Р„(я)Ц, (20) где ио следует положить равным нулю. 248 гл. чш. вычвты и их пгиложвния. пгинцип авгтмвнта Заметим, что первые члены последовательности (19) или ряда (20) обращаются в со в точках ра, ..., р„, т. е. там, где обращается в со функция у(г). Позтому равномерную сходимость ряда (19) нужно понимать как равномерную сходимость того ряда, который получается из данного после отбрасывания нескольких первых членов, имеющих полюсы в круге ~г! ()с. Разложения вида (19) (в частности, (12) или (20)) являются разложениями У(г) на простейшие дроби.
б. Разложение лес г, с1кг, сзс г н 1кг на простейшие дроби. Изложенный нами метод разложения функций в ряды~ принадлежит Коши. Применим его к нескольким частным примерам, имеющим важное значение. а) Разложение зесг. В качестве С„, выберем контуры квадратов с центрами в точке г = О и сторонами, пар™аллельными осям координат и равиымн по длине 2тж На сторонах квадратов, параллельных мнимой оси, имеем г = ~ ши + 1у, н следовательно, 1 1 1 !соз(~~ +!у)! !солгу! ~ну' На сторонах квадратов, параллельных действительной оси, имеем г л щ !тк, и, следовательно (см.
формулы (36) главы ! П), 1 1 ! зес г ! = < —. ! соз (х ~ нии) ! зп /пз Из зтих неравенств получаем для интеграла ~ !вес С!аз оценку о !весь! г(а(2 ! — +4тк —. ну 1 г! сну зй ши -~-со Г ну 4гли Так как интеграл ~ — сходится и — -«О при т-ьсо, то условие (13), сп у зп тли а следовательно, и условие (1!) выполнены. Позтому в денном случае можно пользоваться формулой (12). 1 и Внутри С функция зес г= — г- имеет полюсы вида (2) — 1) —, где соа г 2 ' — ю+ 1 <У (т; все онн являются простыми, так как нули соз г — простые. Очевидно, 1 Выч, вес г= — ., =( — 1)г, (2/ — 1 г=(21-П— и и следовательно, главная часть зес г в окрестности точки г = (21 — 1)— 2 ( — 1)У есть Оу(г)= .
Заметим еще, что г=О не является полюсом г — (2/ — ! )— 2 5. глзложение зесг, с1пг, сзсг и 1дг нл пгоствйшив дтови 249 для зесг, и, следовательно, соответствующую главную часть следует считать равной нулю. Из формулы (12) находим: ( — 1)У зес г !йп р гл ьсо г (22 И ю о йш ~~) ( 1)~ + тг — (27' — 1) 2 у ю.ьгг — (2! — 1) 2 Заменим во второй из сумм под знаком предела У на 1 — й. Получим, что л будет изменяться в пределах от единицы до т, и следовательно, Х ( 1)У ~~ ( 1)'" Фее ьг г — (22 — 1) — а,г+(2А — 1)— 2 2 Поэтому, меняя обозначение й на у, найдем: у= г — (2У вЂ” 1) — у-,г+(2) — 1) ~ 1 ю 11ю ~~)~~ ( — «У "у г гз — (2У вЂ” 1)з ' Мы пришли к разложению вес г в ряд зесг =* ~ ( — 1)г (21' — 1) и яз' г гз (2У 1)а (21) 11 г = ~ зг + — ) я + 1у 2) н, следовательно соз ~ 1 (гл+ — ) а+ ту~ !соз(ху) ~ )гг+г-г~~ ' ! с1й г!— мп ~~ (лг+ 2) и+!у~ Из способа получения этого ряда (частный случай формулы (12) при условии (13)) вытекает, что он раиномерно сходится в каждом круге /г ~ ч, )г (причем, чтобы говорить о сходимости ряда, из него следует исключить несколько первых членов, имеющих полюсы в данном круге).
б) Разложение стяг. В качестве С выберем контуры квадратов с центрами в точке я=О и со сторонами, ™параллельными осям координат и равными по длине (2лг+1) зг.. Тогда на сторонах квадратов, параллельных мнимой оси, 250 гл. чш. вычеты и их пвнложвния. пвинцип авгтмннта На сторонах квадратов, параллельных действительной оси, г = х -1- ! (т+ — ) х, С05 ~Х П" ! (т +, ) х~ 1с!яг) = 5!П ~Х ~ 1(т+ —,) х~ 1+е (тес+с!' 1+5 " се+1 ~( 1 — е сз"с+с!' 1 — е ' е' — 1 Итак, на сторонах к вадратоа Ст модуль 1 с!й г ! удовлетворяет неравенству е'+ 1 с!й г ! ~( Поэтому условие (16), а следовательно, и условие (14) выполняются при р = О, и мы можем пользоваться формулой (19), С05 г Внутри Ст фуикция с!йг = — имеет полюсы О, ~ х, ..., .+ тх, причем 5!и г все они являются простыми, так как все нули 5!и г суть простые.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
