А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Поэтому, проводя доказательство Черт. 55. для случая, когда интервал 3 лежит на действительной оси и прямая Л совпадает с действительной осью, мы вместе с тем убедимся и в справедливости теоремы в ее первоначальной формулировке. Заметим, что теперь в точках отрезка 3 л= х (т. е. у = !т г = 0) и за= 1(л)= У(х)= и (т. е. о= !ш тв = 0), кроме того, точки я и г', симметричные относительно 3, так же как точки тз и ш*, симметричные относительно Л, представляются парами взаимно сопряженных комплексных чисел. Покажем, что функция у*(в'), определенная так, как это указано в условии теоремы, аналитична в области О* и непрерывна на 0*+ ч.
Действительно, если л,*~ 0' и ее окрестность ~г' — г,'( ( р содержится в 0', то точка ге= г* ~ О и ее окрестность !л — зе(( р содержится в 0 (черт. 55). Но в окрестности точки ва Г"(г) представляется степенным рядом У(л) = со+ с (л — аа)+ + св(л — ха)" + 6, осовыв точки нл границе крргл сходимости степенного рядл 267 Поэтому в симметричной точке г' = г, принадлежащей упомянутой окрестности точки г* = г„, мы должны иметь, по определению: ~" (г') = у(г) = со+ с, (г — го)+ ... + с„(г — го) + ... = = со+с,(г — го)+ ... +с„(г — го)" + Мы видим, что у (г") представляется сходящимся степенным рядом в окрестности произвольной точки го~ 0 и, следовательно, является аналитической функцией. Остается заметить, что У'(г') непрерывна на 0'+ 6.
Проверки- требует только непрерывность в каждой точке хо~ 6. Пусть для определенности в достаточно малой, принадлежащей области 0 полуокрестности точки хо у > О. По условию теоремы, 1!щ 7(г)= Ипо ]и(х, у)+!о(х, у)] =у(хо) = и(хо, 0), «+оы «Ео «-+оы р-«о<р>о~ откуда йю . [и(х, у) — !о(х* у)]=У(хо)=и(хю 0); л-мъ р+оор>о1 следовательно, полагая г" =г, где г=х+!у~б, и замечая, что из г*-+хо следует, что г=г* — «хо, получаем: 1пп У'(г") = !пп У(г) = Р.о««, ««Еов «+е«.
«Еп Ит ]и(х, у) — го(х, у)] =Дхо) =У*(х,). л.+д„р.оо1р>о! Итак, непрерывность У'(г') на множестве 0*+ 6 доказана. Остается заметить, что теперь элементы ]О, У(г)) и ]0,,1*(г)) удовлетворяют условиям, формулированным на стр. 266, и, следовательно, являются непосредственными аналитическими продолжениями друг друга. Теорема доказана.
6. Особые точки на границе круга сходимости степенного ряда. Обратимся к выяснению понятия особой точки. Вспомним (п. 3 главы Ч!!), что, рассматривая функцию у(г), однозначную и аналитическую в области О: 0 ( ]г — го) ( )с, мы называли точку го †изолированн граничную точку области О в правильной или особой точкой функции /'(г) в зависимости от того, можно или нельзя определить У(г) в точке г так, чтобы эта функция стала аналитической во всем круге ]г — го) ( !с (включая эту точку). Именно таким путем было введено понятие изолированной особой точки однозначного характера.
Покажем здесь, как можно распространить понятия правильной и особой точек на случай неизолированных граничных точек области. Пусть 0 †облас, ограниченная замкнутой жордановой кривой Г, и у'(г) — однозначная и аналитическая в области 0; тогда у(г) и б 268 гл. !х.
лнллитичзскоз пгодолжвниз. гимлновл поввгхность определяют элемент (О, У(л)). Точку 1~Г назовем правильной точкой эл е мента (О, У(г)) (коротко — правильной точкой функции у(я)), если существуют окрестность УО !г — !.! (р точки г и в ней однозначная аналитическая функция эс(г), совпадающая с г(л) в обшей части этой окрестности и области О. Очевидно, что в этом случае существует дуга э' кривой Г, содержащая точку ь, через которую у(я) может быть аналитически продолжена (черт. 56). Граничная точка С, не являю!цаяся правильной, называется особой точкой элемента (О, г" (г)) (коротко — о с о б о й т о ч к о й у(л)). В 0 этом случае ни в одной окрестности точКи ч не может существовать ни одной однозначной аналитической функции, которая бы совпадала с у(г) в общей части этой окрестности и области О.
Иными словами, не существует ни одной дуги 1/! „б 3 ~ Г, содержащей. внутри точку ч, через которую функция г(я) могла бы быть аналитически продолжена из области О. Из определения правильной точки вытекает, Черт 66 что если че ~ à — правильная точка, то и все точки некоторой дуги 3, ее содержащей, также, являются правильными.
Отсюда, в частности, следует, что если существует одна правильная точка, то существует и бесконечное множество их. В противоположность этому особая точка может быть единственной. Заметим, что каждая точка га ~ О обладает характеристическим свойством правильной точки, а именно для нее существуют окрестность Кз (можно взять любую окрестность точки ле, содержащуюся в О) и функция, аналитическая в Ке (сама функция У(л)), совпадающая с г(л) во всех точках, общих для Ке и 0 (т. е.
в Ке). Поэтому все точки области 0 мы будем также называть правильными точками элемента ( О У(лН . 1 Пример. Пусть 0 — единичный круг и У(л)= . Лля каждой 1 — г' точки ь, лежащей на окружности Г: )г ! = 1 и отличной от единицы, существуют окрестность К: !л — !!(!1 — !! и в ней аналитическая функция 1 ч(г) =, совпадающая с У(л) в точках, общих лля К и 0; поэтому 1 — 2 1 каждая такая точка ь является правильной для —. Покажем, что точка 1 — л' !а=! является особой точкой. В противном случае в некоторой окрестности Ка этой точки существо- 1 вала бы аналитическая функция ч(л), совпадающая с — в части, общей 1 — 2 Лля КЕ и О. Но тогда существовал бы конечный предел 1 1!гл ч (л) = 11щ — ч (1), я.эп,е!г ()и а+1 1 — л б. осоэыв точки нл гглпицв кгэгл сходимости ствпвнного гядл 2бй что, очевидно, не может иметь места.
Итак, точка 1 является особой точкой 1 для — (а именно полюсом). 1 — » СО Теор е ма. Пусть ~~~~~ а„(» — гв)" =У(») —.степенной ряд с ко- о нечным радиусом сходимости )с; тогда на границе Г круга сходимости К сугцествует, по крайней мере, одна особая точка для суммы этого степенного ряда. Предположим, что теорема не верна, тогда каждая точка ч на окружности Г должна быть правильной для )'(»). Построим для каждой точки ч окрестность Кс и в ней аналитическую функцию вс(»), 'совпадающую с у(г) в общей части Кс и К. Объединение круга К и всех кругов Кс представляет область 1), на которую г(») аналитически продолжается. Покажем, что функция, получаемая в результате продолжения, является однозначной. В самом деле, пусть круги Кц и Кц 'имеют общую часть — луночку (черт.
57). Тогда должна существовать часть в луночки, общая для трех кругов: К, Ко и Кы (на чертеже она заштрихована). Так как значения каждой из функций рц(») и чь (х) совпадают в в со значениями у(»), то чь,(»)=мы(г) (»~св) и, по Черт 57. теореме единственности, рц(») = эы(») во всех точках луночки. Итак, если некоторая точка области Т) принадлежит двум различным кругам Кц и Кц, то, беря в ней в качестве значения продолженной функции эц(г) или чь,(»)„ мы получаем одно и то же число, Из этого рассуждения, примененного к каждой паре кругов множества 1Кс). и вытекает однозначность. продолженной функции У(»).
Заметим, далее. что каждая точка 1 ~ Г является внутренней для области В, поэтому расстояние Я' точки го до границы а области Т) будет больше, чем )с. Но тогда степенной ряд, представляющий Д») и расположенный по степеням» вЂ” » (он не может отличаться от заданного ряда), должен сходиться в круге 1» — го)(Р' РадиУса, большего, чем )Г, что пРотивоРечит Условию теоремы Я вЂ” радиус сходимости данного ряда).
Итак, теорема доказана. Следствие. ((ля того чтобы радиус сходимости )с тейлоровского разложения функции г(»): У'(» ) т) ( У(.) У(,)+у (;;) (,—,,)+ ... + У (") (...)-+ ..., (3) аналитической в некотором круге К: 1» — гв1( р, совпадал с радиусом р этого круга, необходимо и достаточно, чтобы на окружности Г: ~» — »в~ =р лежала, по крайней мере, одна особая точка элемента (К, У(»)); 270 гл, ах.
лнллитичясков пгодолжкнии. тимакова поввгхность В самом деле, если гс =р, то, по доказанной теореме, получаем, что на окружности Г лежит, по крайней мере, одна особая точка элемента. Поэтому высказанное условие необходимо для равенства й и р. Но оно же является и достаточным для этого равенства. Действительно, по теореме п. 2 главы Ч! Я)~ р. Если допустить, что на окружности Г лежит, по крайней мере, одна особая точка элемента и )7 чь р, то мы должны иметь )с ) р.
В этом случае сумма степенного ряда (3) представляет функцию, аналитическую в кРУге 1г — ге) ( Й н, следовательно, аналитическУю в некотоРой окрестности каждой точки окружности Г, совпадающую с 7(г) во внутренности Г. Отсюда вытекает, что каждая точка окружности х' является правильной для 7(г). Из найденного противоречия и следует справедливость нашего утверждения. В виде примера приведем геометрический ряд 1+с+ха+ ...
+г + ... 1 Его радиус сходимости равен единице и сумма равна — . На границе 1 — г' круга сходимости ~г=!, как мы видели, действительно имеется особая точка, притом единственная, г = 1. Можно без труда указать примеры степенных рядов, для суммы которых каждая точна границы круга сходимости является особой.
Вот один из простейших примеров такого рода. Рассмотрим ряд У(г) =1+ '+г'+ " + '"+ Его радиус сходимости, очевидно, равен единице. Покажем, что при г, стремящемся к единице, изнутри единичного круга по его радиусу (т. е. по действительной оси), У(г) стремится к со. В самом деле, для любого натурального п частичная сумма ряда 1+ха+ ... +ха" при х-ь1 стремится к и + 1 н, следовательно, удовлетворяет неравенству !+ха+ ... +хая)п при 1 — х(6(п), т.
е. х)1 — а(п). Но при тех же значениях х имеем: у(х) =',~ .Ф) ~~~', ха )и, а о откуда и следует, что йш у(х) = со, г.ьг Опираясь иа этот факт, легко убеждаемся, как и выше, в случае геометрического ряда, в том, что точка 1 является особой точкой для У(г). Эапишем теперь тождество У(г) = га+га+ ... +газ+ (1+(гап)а+ (га")а+ ...] Так как ряд в квадратных скобках отличается от исходного лишь тем, что здесь г заменено иа га", то заключаем, что у(г) ге+за+ ... +хм+у(гм) 7. кгитивий для овнавкжвния осовых точвк 271 для любого натурального и а" Рассмотрим все корни степени 2" из единицы: У 1. Они представляют точки,' расположенные на единичной окружности в вершинах правильного 2"-угольника. Если ь — одна из них и точка г единичного круга лежит на радиусе Оь, то гзи, очевидно, лежит на радиусе 01 и при г -ь ь гзи -» 1. Отсюда вытекает, что !пп у(гза) = со а+с «бо» и, следовательно, йгп у (г) = Ипт [гз + гт + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
