А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 45
Текст из файла (страница 45)
е. пять корней, по людулю меньших единицы. б) Доказать, что уравнение аз+ ат соз О + ат соз 2Э + ... + а„соз иб = О, где 0(азч,ат(... с., ая, имеет в интервале Ос,.з к, 2п 2а различных корней. Кроме того, данное уравнение совсем не имеет мнимых корней. Докажем сначала, что все нули многочлена р (г) = аа + атг + ... + аяг" 240 гл. чддд. вычкты и их пгиложвния. пгинцип авггмвнта лежат внутри единичного круга. Этот многочлен, очевидно, не имеет действительных положительных корней. Если же г не есть положительное число, то ! р (г) (г — 1) ! = ! а„гл+д — [ао + (ад — ао) г +...
+ (а„— а „д) г" ] ! ) )~ ! англ од ! — ! ао+ (ад — ао) г+... + (ао — ал д) г" ! ) )а„!г!"+ — [ао+(ад — ао)[г !+... +(а„— а„д) !г!"]. В самом деле, так как числа ао, а, — ао,..., а„— а„д положительны,' а число г не является положительным, то векторы ао, (ад — ао) г, ... ..., (а„— а„д)гл не могут быть направлены все в одну и ту же сторону, и следовательйо, ! то+(ад — ао) г+ ...
+(а„— а„д)ел[(ао+(ад — ао) [г [+ ... ... + (а„— ал-д) ! г !". Если, кроме того, [г[~ 1, то во + (ад — а„) ! г ! +... + (а„— а„д) ! г !" ( ~( ао ! г !"+' + (а, — ао) ! г [лед + ... + (а„— ал д) ! г !"+д = = [аз + (а, — ао) + ... + (а„— а„д)] ! г ! "+ ' = а„! г !" +д. Итак, при [г!) 1 и г неположительном ! р (г) (г — 1) ! ) а„! г !"+' — а„! г !"+' = О, т.
е. р (г) (г — 1) ~ О. Ио отсюда следует, что прн г неположительном и по модулю не меньшем единицы р(г) + О. Последнее справед)диво и для положительных г, и, следовательно, р (г) не имеет нулей ни вне единичного круга, ни на его окрудкности. Поэтому все и нулей многочлена р(г) лежат строго в н у т р и единичного круга. Заставим точку г описывать окружность [в! = 1 в положительном направлении. Тогда веитор, представляющий р (г), должен, по принципу аргумента, сделать около начала координат число оборотов, равное числу пулей много- члена р(г), т.
е. и. Так как при каждом обороте кривая, описываемая концом вектора, пересекает мнимую ось, по крайней мере, два раза (раз сверху и раз снизу), то мы будем иметь, по ирайней мере, 2п таких пересечений. Каждое из них соответствует определенному положению точки г на окружности ! г! = 1, т. е. определенному значенидо ее аргумента Э, изменяющегося при одном обороте в интервале (О, 2л). Мы имеем, следовательно, по крайней мере, 2п различных значений аргумента Э в интервале О(Э(2л, для которых точна, изображающая р(г) = =р(едо), попадает на мнимую ось. Для каждого из этих значений Э йе [р (едэ)] = йе (а, + адедэ+... + а„евдо) = йе [аз+ад(сов Э+дади Э)+ ... +а (соз пЭ+дз1п пЭ)] = = аз+ ад соз Э+... + а„соз лЭ обращается в нуль; следовательно, существование, по крайней мере, 2п корнеи уравнения ао+ ад соэ Э+...
+ а„соз аЭ = О в интервале (О, 2л) доказано. Покажем, что число всех корней в этом интервале точно равно 2а. С этой целью положим едв = ч; тогда будем иметь: еыо ! — длэ (а+ Э-в соз ЛЭ = 2 3, вычвт относитвльно ввсконвчно эдллвнной точки 24! и, следовательно, аз + а! соз а + ... + а„соз па = — С " (а„+ ап т( +... -(- ах(я ' -(- 2 +2азГ+а,'""+... +а (эя) Если (г, (э, ..., Сзп — нули многочленз, стоящего справа, то все нули тригонометрического многочленз, стоящего слева, удовлетворяют соотношениям егз = (.
(У = 1, 2, ..., 2п). Отсюда вытекает прежде всего, что количество различных дейетвягельяых нулей рассматриваемого тригонометрического миогочлена в интервале (О, 2л) не превосходит 2п. гак как выше было доказано существование 2п различных действительных нулей этого многочлеиз в интервале (О, 2л), то общее !3. число их равно 2п. Заметим, что модули чисел (Э=в У зсе равны единице; поэтому среди нулей данного тригонометрического многочлена не может быть ни одного мнимого. 3. Вычет относительно бесконечно удаленной точки. Если у(г) является однозначной и аналитической в некоторой окрестности ~г( ) )с бесконечно удаленной точки (за исключением, быть может, самой этой точки), то в этой окрестности справедливо разложение У(г)=... +А г +... +А,г г+А +А г+...+А г +... Будем интегрировать г(г) вдоль окружности С,! !г!=е, для которой а) )с, причем направление обхода выберем таким, чтобы окрестность ~г ~ ) а бесконечно удаленной точки оставалась при обходе слева.
Такое направление естественно считать положительным по отношению к обходу вокруг бесконечно удаленной точки, но по отношению к внутренности круга ~ г ~ ( с, т. е. по отношению к окрестности конечной точки = О, оно будет отрицательным. В результате почленного интегрирования лорановского ряда получим: ((г) аг = А,( — 2л!) = 2л!'( — А,). с, Для того чтобы и в случае интегрирования вокруг бесконечно удаленной точки интеграл от функции равнялся произведению вычета функции на 2л(. целесообразно дать следующее определение: Вычетом функции, однозначной и аналитической в неноторой окрестности точки г = со относительно этой точки, называется взятый со знаком минус коэффициент при г-' в лорановском разложении функции в этой окрестности.
Тогда ~ У(г)йг= 2л( Выч,~(г), с, $ сп где интеграл берется в направлении, положительном цо отношению к бесконечно удаленной точке, т. е. по направлению, при котором остается слева не внутренность кривой, как обычно, а ее внешность. 1б Зэя !636. Л, И. Маряуюевяя 242 гл. чпь вычвты н нх пгиложяиня. пгинцип ьгггмянта Пользуясь этим определением, получаем следующую теорему: Сумма всех вычетов однозначной аналитической функции, имеюгцей в расширенной плоскости одни только изолированные особые точки, равна нулю. Действительно, прежде всего, число особых точек такой функции конечно (в противном случае существовала бы конечная или бесконечно удаленная предельная точка множества особых точек, которая являлась бы тем самым неизолированной особой точкой функции).
Опишем такую окружность (г(=о с центром в начале координат, чтобы на ней и в ее внешности (за.исключением, быть может, точки а=ос) не лежало особых точек функции. Тогда все конечные особые точки ды ев, ..., яв будут лежать внутри этой окружности, так что, по теореме о вычетах, будем иметь: / Дг)йг= 2я1 ~~~~ Выч. Дг). о, 7с= с о=с Интеграл здесь берется в обычном положительном направлении, т. е. в таком, при котором внутренность окружности находится 1слева. Но это же направление будет отрицательным по отношению к бесконечно удаленной точке. Поэтому тот же интеграл будет равен ~ ~(я) йе = — 2яь' Выч.
у'(г). с со Вычитая из первого соотношения второе, получим окончательно: 2тй ~Выч. У(г)+... + Выч. г (г)+ Выч. ь (г)~ = О, [в в, е в ч ь со или Выч. Де)+... + Выч. ~(я)+ Выч. У(г) = О. с ь, с=е с=со Теорема доказана. В частности, эта теорема справедлива для любой рациональной функции, ибо рациональная функция имеет только изолированные особые точки однозначного характера (а именно полюсы).
Заметим, что вычет функции относительно бесконечно удаленной точки определяется посредством коэффициента одного из членов п р а в и л ь н о й -ч а с т и лорайовского разложения, в то время как вычет относительно конечной точки определяется посредством коэффициента одного из членов главной части (следует вспомнить, что совокупность отрицательных степеней лорановского ряда представляет правильную часть для точки г = со и главную часть для конечной точки). Отсюда следует, что вычет относительно точки г = со может отличаться от нуля и в том случае, если эта точка не есть особая, т.
е. является правильйой, тогда как вычет относительно конечной правильной точки всегда равен нулю. Так, например, 4. твогвма о вычвтлх и газложвнив на пгоствйшив дгови 243 1 для функции 1(г)= — точка г=со правильная (нуль первого порядка). Вместе с тем, здесь Выч. г(г) = — 1 Ф О. 4, Применение теоремы о вычетах к разложению мероморфных функций на простейшие дроби. Пусть |(г) — однозначная аналитическая функция, не имеющая в конечной части плоскости других особых точек, кроме полюсов. Обозначим через С какую-либо замкнутую жорданову спрямляемую кривую, не проходящую через полюсы функции у(г), и пусть г †точ внутри С, отличная от начала координат и полюсов.
Вычислим интеграл о По виду он схож с интегралом Коши. Но это не интеграл Коши, так как функция У(г), будучи аналитической на контуре С, имеет особые точки (полюсы) внутри С. Рассматриваемый интеграл отно- сится к интегралам типа Коши. Вообще и н т е г р а л о м т и п а К о ш и называется интегрзл вида 2 где и (ч) — функция, непрерывная на спрямляемой кривой Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
