А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Так как многочлен Р(г)=г1(1 — — 1... г,) ( ) 1 — — ) имеет те же нули, то по лемме еи~ у(г)= ев~'~г П(1 — — ). В=1 еу Чтобы получить аналогичное представление целой функции, имеющей бесконечное множество нулей, нужно построить сначала хотя бы одну целую функцию, имеющую предписанные нули. Докажем, что такая функция всегда существует. Т е о р е м а. Для любой сходящейся к со последовательности комплексных чисел [ги[, отличных от начала координат и рас. положенных в порядке неубывающих модулей ([ги[ <[г„,[), можно построить целую функцию г(г), нули которой совпадают с числами ги. Примечание.
Среди членов последовательности могут встречаться равные между собой (расположенные рядом друг с другом); если г„,ь1 = ги,.11 = ... = ги,.Ь„ = а, пРичем остальные члены последовательности отличны от а, то это означает, что число а должно являться нулем функции 7(г) кратности а. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть [яи[ — последовательность целых КИ / й Чаи+1 неотрицательных чисел-таких, что ряд у 11 †) сходится при 1[си[ ) и 1 любом Я)~О.
Для любой последовательности [г„[ в качестве я, пригодны числа пи= [1пп[ ([!пи[ — целая часть 1пп). Действительно, 1Ь И1 ЕСЛИ "— "-- ) Е' Прн П ) 1"1', тО ( — "[ ) Е11рии1+П ) Ез" и = П', 1 1с '1ви+1 откуда ~ — ~ ( †. Но в отдельных случаях в качестве й можно 1[ги[т' пь ' и брать равные между собой числа.
Например, если [ги[= и, то можно положить ни= 1; если ли=па, то достаточно пРинЯть ни=0 (и= 1, 2, ...). Покажем, что искомую целую функцию можно предав + ' и 9 Лет ставить в виде бесконечного произведения П(1 — — ) е У1 (если йв — — О, то'соответствующий показатель степени следует полагать равным нулю). Пусть гс — произвольное положительное число; обозначим через 1ч'Я) натуральное число такое, что [ги[ ) 2)с, если и ) Ж()с). Считая и ) 1ч'()с), представим частичное произведение Я 1 224 гл. чп.
гяд логйнй. цвлыв и мвгомогеныв егнкции в виде йе В)В) и п(' — 4)'' " =п,п„. (28) и- 1 ( ~ „1- й )вй).) В )В)).) ( 'й гу / и -.*р К (~ ° (~ — '(-; — *-)-.. )- '"'.). В)В)й) г) 1 'Гак как (г( <)с и (гу( > 2гг, то — (< —, поэтому ! г1 г г"3 1п 1 — — + — + ° + й ! гйе й — + '.+ "< ( 1)г.у+ (й +2)г у й:).) ( (й1.» й Р")+ )э Яй й) й+ 2 ~ (йе+ ), (ге( 1гур < (у > х(й)). й)) Я 1г,( Из найденного неравенства и из того, что ряд т )й — ) ей лгу )-+ - '( В )В)+1 йег у сходится абсолютно и равномерно в круге (г(<,Я; следовательно, сумма ряда рв (г) является однозначной и аналитической в этом кр,уге.
Переходя к пределу при п -+ со в соотношении (28), получим: г й) — +... й — й со Ю)В) Вш И(1 — — )е У 1 =П=П ° е В '. (29) +ю ) у=1 е 1 Первое произведение представляет целую функцию, которая имеет заданные нули г,, г, ..., г,и,; следовательно, в круге (г( < 2гс нули этого произведения отвечают условиям теоремы. Второе произведение перепишем в виде 8. глзложвнив цалой езнкции в пгоизввдвнив 225 е г'у л. СО Дг)= П(1 — — ) е у=! (80) П р и м е р ы: а) ля = пз; здесь можно положить Фл — — О. Получим простейшу!о целую функцию с этими нулями в виде "'= П('-Ь) ! б) ли= и; здесь можно положить Лв = 1. Получим: в) Пусть последовательность (л„) имеет вид 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ...
Здесь снова йв = 1, и соответствующее бесконечное произведение можно представить в виде Ф я з з У(л)=(1 —.)е [(1 Яе ~ ф Яе'1... Пусть теперь У(л) ф 0 — произвольная целая функция, имеющая бесконечное множество нулей. Ззмечая, что каждый замкнутый круг-1л! (тс( со может содержать лишь конечное число нулей этой функции, находим, так же как и в случае полюсов мероморфной функции (п. 7), что все эти нули можно расположить в последовательность в порядке неубывающих модулей О, О, ..., О, лы гз, ..., з„, ..., 1пп л„= оо. ъ~ г д! !ьв+! Если й„ )~ 0 — целые числа такие, что ряд~ ( — ! " сходится АЬ.~) ! для любого К то, по доказанной теореме, функция гт( )= П(1 — — 1 ли ! и и ! является целой функцией, имеющей те же нули, что и у(г). 15 зэк.
!63е. А. И. Маркушевяч Пределом является функция, аналитическая в круге (г! ()т, имеющая в этом круге предписанные нули. Так как этот вывод применим к кругу сколь угодно большого радиуса )с, то бесконечное произведение Я~ сходится во всей конечной плоскости, ко всюду з=! аналитической, т.
е. целой, функции 7(я), имеющей предписанные нули (гв)! 226 гл. тп. тяд логана. цвлыв н мваомотаныв екнкции Следовательно. у (х) = ее м! г Д (! — — ) е " г еи где Аг(я) — некоторая целая функция (она может равняться нулю), Это н есть формула Вейерштрасса. 1 В виде иллюстрации приведем функцию —; здесь Г(е) — гамма- Г(е) ! ф у н к ц и я ") — мероморфная функция, с которой читатель ознакомился в общем курсе анализа, гле она рассматривалась как функция действительного положительного аргумента. Можно показать, что у функции Г (е) нет нулей и что она имеет простые полюсы в точках О, — 1, — 2, ..., — п, ..., 1 откуда следует, что —,— целая функция с простыми нулями в указанных 1' (е) точках.
Полагая Л„= ! (и = 1, 2, 3...) н замечая, что здесь Л= 1 (Л вЂ” кратность точки е = О, рассматркваемой как нуль целой функции), получаем: СО ь =е еП(1+ )е ч и=г Целую функцию «(г) можно определить, пользуясь специальными свойствами гамма-функции, Оказывается, что е(е) = Се, гце С вЂ” так называемая константа Эйлера Ма скерони: / 1 1 " С= 1!щ ~1+ — +... + — — !пл) = 05772... „.+ '! 2 ''' и Итак, СО ,( ) — — есаул(1+ — „)е ч ° Ю 1 Основная теорема этого пункта позволяет доказать, что каждая функция Ф(г), однозначная н аналитическая в конечной плоскости, за исключением отдельных точек, где она имеет полюсы, является мероморфной функцией, т.
е. может быть представлена в виде частного двух целых функций. В самом деле, построим целую функцию Р(я), имеющую нули в тех же точках, где Ф(г) имеет полюсы, причем кратность каждого нуля примем равной кратности соответствующего полюса. Тогда произведение Р(г) Ф (г) = Н(я) будет, как легко проверить, целой функцией. и, следовательно, функция Ф (л) =— Н(е) Р(е) является мероморфной. *) Подробнее о гамма-функции см., например, А. И.
Маркую е в нч, Теория аналитических функций, ги. ЧП, э 4. 9. порядок и тип цвлой етнкции 9. Порядок н тип целой функции. В етом пункте мы введем понятия порядка и типа целой функции у(г) — двух числовых характеристик, дающих цредставление о скорости возрастания максимума модуля функции, М(г)= тах (/(г)! при г-ьсо. В силу теоремы Лиувилля ИщМ(г)=со, 1е1е„г У +се если у(е) К- сопя!. Будем сравнивать рост 1я(яМ(г) с 1пг.
Порядком целой функции назовем число 1 и 1 М ( г ) г+ое 1яг (3!) Если р = +со, то функция У(г) называется функцией бес кон е ч ного п о р я д к а. Примером функции бесконечного порядка может служить ее е" г У(г) = е;здесьМ(г) = е,!и !пМ(г) г и р ° Ищ — =*со. Если рч,+со !пг (р>~0), то у(г) называется функцией конечного по рядка. Так кек для любого е) 0 существует гсо(е))0 такое, что 1п !и М (г) !и ( р + е при г ) )ро (е) то о+о М (г) < е" при г ) )со (е) .
(32) стороны, для любого е) 0 существует возрастающая после- положительных чисел (г„(е)) (Ищг„=со) такая, что 1п!пМ(г„) )р — е, С другой довательность откуда (е)) ) е и (33) Из сопоставления неравенств (32) и (33) следует, что порядок р целой функции можно определить как нижнюю грань тех неотрицательных чисел е, для которых выполняется неравенство ге М(г)ч„е при г))ст(а). еп гя Примеры: а) Если У(г)=е (п — натуральное число), то М(г) е 1п 1п М (г) еп откуда р = Ищ = и. Итак, е — функция порядка п, в частности, г+~ 1и г е — функция первого порядка. 15е Отсюда следует тождество двух нлассов аналитических функций: а) функций, не имеющих в конечной части плоскости других особых точек, кроме полюсоз, и б) функций, представимых а виде частного двух целых функций. В самом деле, мы только что установили, что каждая функция класса а) содержится в классе б).
Обратно, функция класса б) не может иметь других конечных особых точек, кроме полюсов (и. 7), откуда и вытекает наше утверждение. Теперь можно дать такое определение мероморфной ф у н к ц и н (эквивалентное прежнему): однозначная аналитическая ! функция у(г) называется мер аморфной, если она не имеет в конечной плоскости других особых. точек, кроме полюсов. б) Пусть у(л) = з!или так как !яву! (! з!и е! (сйу (п, 13 главы И1) то з!тг(М(г)(с!тг.
Следовательно, р=!, т. е. порялок и!пе равен еди нице. Точно так же найдем, что порядок соз е равен единице. в) Пусть 1(е) = = 1 — — + — —...; здесь ( М (г) ц з!и )'ге е ез зй !' г )гл 3! 5! ' )гг с!т ТГг 1 ( и, следовательно, р = —. ггг 2 Если порядок р функции 'У(л) есть конечное полоя<ительное число 0( р (+ со, то в дополнение к р можно получить еще одну числовую характеристику, уточняющую рост максимума модуля целой функции. Будем сравнивать !п М (г) с гг, положив: — 1и М (г) а= 1!ю г->ээ гг с называется типом целой функции. Если а=со, то говорят, что дан функция порядка р есть функция бесконечного, или максима ного, типа.
Если а(со(с>0), то функция У(е) называется фу н к ци конечного типа, точнее нормального, илн среднего ти если а)0, н минимального типа, если с=О, Рассуждая так же, Как и при рассмотрении порядка функции, найд что для любого а ) 0 выполняются неравенства М(г)(е""'!г, г)гс(з), !а — ь! гр М(ги))е ", г„(г„ет, !ивг„=оо. Отсюда следует, что тип целой функции можно определить как нижнюю грань чисел р, для которых имеют место неравенства М(г)(ер", г))ся(р). Примеры: а) Каждая из функций первого порядка ела, з!пАе, сов Ае (А ~ 0) имеет тип з=!А ~; б) функция ехр(ез+е!я+...
+вяли)(п,ь1, св чь 0) имеет порядок и и тип ~ си~. 228 гл. чп. ряд лорана. цклыв и мвроморенын екнкции (34) ная льей па, ( ем, ! ГЛАВА У!П ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. ПРИНЦИП АРГУМЕИТА 1. Теорема о вычетах и ее применение к вычислению определенных интегралов. Займемся вычислением интегралов от однозначных аналитических функций по замкнутым кривым в предположении, что в некоторой области, содержащей контур интегрирования, не заключается других особых точек, кроме изолированных особых точек однозначного характера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
