А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Следовательно, 7(г) в этом случае, так же как и в случае целой функции, может иметь в со либо правильную точку. либо полюс, либо существенно особую точку. Пусть г,, гь, ..., г„— все возможные различные междУ собой полюсы 7'(г), Рл, Рь, ..., Р— кРатности этих полюсов. В окрестности точки гу г(г) имеет лорановское разложение вида ~Ф А~~~ У(г) + + ' +Аьм+ АР(г — гь)+ (е — е„)ЬЕ г — г; 218 гл. чп. Ряд лОРАЯА.
цвлыв и мвгомогьныв эвикции Главная часть этого разложения есть рациональная функция 01(г), имеющая во всей расширенной плоскости только одну особую точку — полюс порядка ~~ в точке г.. В точке «= со эта функция обращается в нуль. Очевидно, разность 1(«) — 0 (г) не имеет особой точки при г = гв', остальные точки г,, ..., гв !, «в „„..., являются полюсами этой функции. Главные части лорановских разложений 1(г) — Ов(г) совпадают с соответствующими главными частями функции у(«); в самом деле, 01(«) является правильной в каждой из точек г» (й + !), и, следовательно, ее разложение в окрестности «» содержит только неотрицательные степени г — г», не влияющие на главную часть разложения.
Если из Дг) вычесть сумму главных частей ~, 01(г), то получится функция р(«) =!(г) — Я~ 0 (г), ч=! в=! не имеющая ни одной особой точки в конечной плоскости и, следовательно, целая. Так как йш [ 1(«) — у («)[ = — 1ип ~~~ ~О!(г) = О, то 2 +со г-ьсюе-! функции г(г) и э(г) ведут себя сщинаково в бесконечно удаленной точке, т. е. имеют там одновременно либо правильну[о точку, либо полюс.
либо существенно особую точку, причем в последних двух случаях главные части лорановских разложений,1(г) и к(г) в окрестности точки г= оо равны. Итак, в рассматриваемом случае мероморфная функция у(г) представляется в виде суммы целой функции !у(«) и рациональной функции,~~~ 0й(г): ! У(г) = 'Р(г)+ Х 0в(г). в=! У(г) = Ао+ Х 0 («).
ь (24) Этот результат можно сформулировать в виде следующей т е о р е м ы: если мероморфная функция 1(г) имеет лиись конечное число полюсов в конечной плоскости и бесконе[но удаленная точка является для нее правильной точкой или полюсом, то г'(г) есть рациональная функция; ! («) можно представить в виде суммы главных частей 0в(«) ее лорановских разложений относительно всех ко- В случае, когда 1(«) имеет правильную точку или полюс порядка я в точке «= со, целая функция э(«) соответственно будет константой: <р(г)= 11ш Г(г) = Аь, или многочленом степени к: А„+А,г +...
... +А„г", где А,г+... +А„г" — главная часть разложениями(«) в окрестности точки «=ос. Обозначая эту главную часть 0ь(г) и считая, что 0ь(г) = — О, если со является правильной точкой у(г), получаем: 7. цвлыв и мвгомовеныв эвикции 219 печных полюсов Ц= 1, 2, ..., т) и бесконечно удаленной точки (/=0) и постоянной Ае !1ш [У(г) — ~~Р„Оу(е)[. Ф -Ь со о Заметим, что эта теорема устанавливает попутно существование разложения любой рациональной функции на. простейшие дроби.
В самом деле, переписывая формулу (24) в развернутом виде, получаем: Г А1па А~~1 1 Г(е)=А +А,г-[-... +А зз+ ~~ ~ ~~ +... + (е — ее)ве е — е. 1 у а это и есть разложение Дг) на простейшие дроби. Обратимся, наконец, к случаю, когда множество полюсов мероморфной функции ~(х) бесконечно. Легко видеть, что каждый замкнутый круг [х[(ес (со может содержать лишь конечное число полюсов. Допустив противное, найдем, что наш круг содержит, по крайней мере, одну точку Г., предельную для полюсов. Но такая точка ь не может быть ни правильной, ни полюсом для Г(х), так как для нее не существует окрестности, в которой функция У(х) была бы аналитической всюду, кроме.
быть может, самой точки (,; допустить существование такой точки (конечной) для мероморфной функции невозможно. Итак, каждый круг [х [ < ес содержит лишь конечное число полюсов У(х), поэтому окрестность [г[) Л точки со содержит при любом )с бесконечное множество полюсов У(г). откуда следует, что со в рассматриваемом случае является предельной точкой полюсов, т. е. неизолированной особой точкой. Покажем, что все полюсы Г(е) ложно перенумеровать, расположив их в последовательность в порядке неубывающих модулей. С этой целью разобьем всю плоскость посредством окружностей с центром в начале координат на зоны Кз([г[ (1), К,(1([г[ (2).
Кз(2 < [я[ (3), ... Каждая из ннх содержит лишь конечное число (в частности, равное нулю) полюсов У(х). Поэтому, перенумеровав в порядке неубывающих модулей различные полюсы о<[~,[<[,)<... <[ „,[, лежащие в замкнутом круге [г[ (~, мы можем продолжать далее нумерацию, присоединяя к ним полюсы, содержащиеся в примыкающей к кругу зоне К,. [я;[<[х.,+ [.а;" <[х;„,!. Продолжая вту операцию неограниченно, получим последовательность [х„[, куда включены все полюсы Г(х), причем выполнено условие [г„[ ( [х„+,[. 220 гл.
нп. гяд логаны цвлыв и мвгомогвныв етнкции Пусть 0~(х) обозначает главную часть лорановского разложения Д(г) в окрестности точки г~.' А~~' А~~э~ АЯ 0~(л) — ' +,+... + (2 — зт) эу (л — лу) Ь (г — лх) Можно пытаться и в данном случае поступать так же, как мы выше поступали в случае мероморфной функции с конечным числом полюсов, а именно вычесть сумму всех главных частей из у(г) с тем, чтобы в разности получить функцию, не имеющую особых точек в конечной плоскости, т. е. целую. Однако в данном случае множество главных частей бесконечно, и нет гарантии того, что ряд ~ 0~(г) т=о сходится. Шведский математик Миттаг-Леффлер преодолел эту трудность, показав, что всегда можно подобрать такие много- члены Р~(х), что ряд г',(0,(л) — Ру(х)) будет равномерно сходиться у=о в любом круге (г! ( )т (если из этого круга выключить попадающие в него точки ге, яп ...
— полюсы членов ряда). Предполагая, что СО такие многочлены найденьь получим, что г''(г)= ~ (0у(г) — Р~(х)1 уея представляет мероморфную функцию, имеющую полюсы в тех же точках л~, в которых имеют полюсы и Г(х), причем главные части лорановских разложений Д(г) и Р(г) в окрестности гг — одни н те же рациональные функции 0 (г). Поэтому разность Г(х) — Г(л) = м(г) есть целая функция, и мй получаем формулу СО У(л) = т(я)+ ~~(Ц(л) — Р,(л)) = уяа Г А<~1 А~~~, -у( )-$. д [ " -4-....$- ' — (сг-~....-$.с." 7)].
(25) х=е (л — л )Эу Это — так называемое м и т т а г-л е ф ф л е р о в с к о е р а з л о ж е н и е мероморфной функции Г(г). Его можно рассматривать также как разложение мероморфной функции на простейшие дроби. Не приводя доказательства теоремы Миттаг-Леффлера, укажем простейший пример разложения, который будет обоснован ниже (п. 5 главы ЧГП): 8, гйзложвнив целой егнкции в пзоизввдвнив 221 1 Здесь ге=О, гз! =)я, ге~= — гя (/=1, 2, 3,...), — глав- -1 ная часть 0~(г) лорановского разложения с1яг в окрестности точки г~, 1 — — тот простейший многочлен Р,(г) (в данном случае нулевой йу степени), который нужно добавить к Оз(г), чтобы обеспечить сходимость. Наконец, целая функция р(г) из общей формулы (26) в данном случае тождественно равна нулю.
8. Разложение целой функции в произведение. В этом пункте будет показано, что для каждой целой функции У(г), имеющей нули, существует разложение на множители, аналогичное разложению многочленов на множители. Чтобы подчеркнуть аналогию, перепишем разложение многочлена на множители в форме, несколько отличной от общеупотребительной. Пусть Р(г) — многочлен, г„..., г„— его нули, отличные от начала координат (среди них могут быть равные, что соответствует кратным корням); пусть, наконец, г = О является нулем Р (г) кратности Л (если Р(О) Ф О, то полагаем Л = О).
Тогда Р(г) можно представить в виде следующего произведения: Р(г) =Сг" (1 — — )... (! — — ) = Сг П (1 — — ). 1 Для сравнения возьмем целую функцию з!пг, имеющую простые нули О, - я, -~- 2я, „- пя, ... Если расположить нули з)п г, отличные от начала координат, в порядке неубывающих модулей, положив гй~, — — гк, гзу= — гя, то можно доказать формулу СО ОО ойп г = г П (1 — — ) = г П (1 — —,,) . а=1 й=1 (26) Эта формула во всем похожа на разложение многочлена. Мы докажем ее в п. 5 главы )!!!!.
В общем случае, однако, такой простой формулы не получается. Дело в том, что если У(г) — целая функция с нулями: О (кратности Л), г„г,, ..., г„, ... (1 г„) (~ г„,!), то произведение г" П(1 — — ) д=1 может расходиться. Чтобы справиться с этой трудностью, Вейерштрасс ввел в произведение дополнительные множители вида к ы ку й е У з у, которые сами нигде в нуль не обращаются, но обеспечивают сходимасть бесконечного произведения. Если числа Д~ Ф ~ .7 к. СО ч... + ку й.
подобраны так, что произведение гк И (1 — — ) е 1 гя 222 гл. уп. гяд логлнл. цвлыв и мвгомогеныв еункции сходится равномерно в любом замкнутом круге (г! ~( Рс, то оно представляет целую функцию Г(г), имеющую те же нули, что и функция Дг). Отсюда можно вывести, что У(г) либо совпадает с Р(г), либо отличается от Р(г) множителем вида ев", где д(г) — также целая функция (этот множитель — целая функция, нигде не обращающаяся в нуль). Окончательно для 7(г) получается формула В ей е р ш тра с са вх + + У(г) =е г в а (1 — — ~е (27) Перейдем к доказательству втой формулы.
Лем ма. Если целые функции У(г) ф 0 и Г(г)ф 0 имеют одни и те же нули (с одинаковыми кратностями), то у(г) = ев'и Р(г), х х тх (в) т (е) я (г)= ~ Ь(г)с(г= ~ — дг 1и —, ,),3 ч(г) т(0) ' е х откуда <р (г) = ср (0) ев Рл = ев'мчи т ко = еехх1. где о(г)= е,(г)+1п р(0) — также целая функция. Итак, у(г) = ~р (г) Р (г) = ев ' Р (г). При доказательстве леммы мы установили, что любую целую функцию у (г), не имеющую нулей, можно представить в вйд хр(г)=ев1*1, где а(г) — также целая функция. еде е(г) — некоторая целая функция (в частности, константа).
В самом деле, частное э(г)= — может иметь особые точки У(г) Р (г) (полюсы) только в нулях Р(г). Но каждый нуль Р(г) является нулем Дг) той же кратности, поэтому р(г) не имеет ни одного полюса в конечной плоскости и, следовательно, является целой функцией. Те же рассуждения„ с помощью которых мы установили, что ~р(г) не имеет полюсов, показывают, что ~р(г) не имеет также и нулей. Поэтому Ь(г)= — является целой функцией (п. 5, а). т~ (2) т (е) Интегрируя Ь(г) от нуля до произвольинрго г, получим также целую функцию «,(г): 8. тлзложвнив целой втнкции в пгоизввдвнив 223 Пусть У(г) — целая функция, имеющая конечное число нулей: О, ..., О, г,, гз, ..., ги.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
