А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 37
Текст из файла (страница 37)
л Будем считать, что г = !пп У ~ А„~ < со; тогда действительно 198 гл. чп. гяд логана. цвлыв и,мзгомогеныв егнкции существует область сходимости ряда (1) )г — гр() г, которую мы обозначим через К. Так как ряд (2) сходится равномерно на каждом замкнутом множестве точек круга я: ~С( ( Й, и линейное преобра- 1 зование ч = — переводит любое замкнутое множество точек л — лр круга и в некоторое замкнутое множество точек области К и обратно, то ряд (1) равномерно сходится внутри области К. В этой области он определяет функцию г".(г): Р(г)=Ар+~1(л вр) '+ +Ао(л ар) + (1) Ряд этот понимается как сумма двух рядов СО СО Х .( — )" Х ( — )- а 1 (4) и рассматривается как сходящийся тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда (4).
Итак, по определению: +СО Х по (я — яр) = 1ня Х по (л — яр) + 81п ~~.", а,„(г — г )- СО с-О со р оооо 1 или, что то же самое, Х .( — .)"= В Х .( —,)" (б) Вдесь р и ч стремятся к бесконечности независимо друг от друга. В последнюю запись вкладывается следующий смысл: для любого е) 0 существует такое М(е), что неравенство ! .1.
со Х ля (з — яр) — Х а„( — яр)" ( е СО выполняется при с) М(е) н р) М(а). аналитическую (по теореме Вейерштрасса) во всех конечных точках области К. В бесконечно удаленной точке гч(г) принимает значение А: г".(со) = А . Будем, по определению, называть функцию го(я) аналитической в бесконечно удаленной точке. Таким образом, аналитичность функции в бесконечно удаленной точке будет характеризоваться наличием разложения вида (1'), сходящегося в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки. Рядом, обобщающим понятие ряда, расположенного только по целым неотрицательным степеням г — лр (степенного ряда) или только по целым неположительным степеням я — яр, является ряд Лорана. Так называется ряд вида Х .( — )".
(3) 199 1. Ряд ЛОРАНА Свойства абсолютной и равномерной сходимости ряда Лорана в силу определения сводятся к соответствующим свойствам рядов (4). Обозначим 11ш '1Г! а„( через Х и 1пп у')а „,! через г. Тогда ь.+ оэ м + о> первый из рядов (4) сходится абсолютно и равномерно внутри области О, представляющей внутренность окружности Г: 1х — хо( = 1 = — = гс, и расходится во внешности этой. окружности, а второй из рядов (4) сходится абсолютно и равномерно внутри области 8, пРедставлЯющей внешность окРУжности 7: )х — хо(=г, и Расходится во внутренности этой окружности.
Области О и а имеют общие точки тогда и только тогда, когда выполняется неравенство г < Л. (6) В этом случае общая часть областей О и а представляет круговое кольцо О: г<!х хо! <)». (7) Внутри области (7) оба ряда сходятся абсолютно и равномерно, следовательно, внутри этой области абсолютно и равномерно сходится и ряд Лорана (3), представляющий в В некоторую аналнтическую функцию .~-со У(х) = Ха„(х — хо)" (г <! х — хо! <)7).
(8) В каждой точке вне области О расходится один из рядов (4), тогда как другой ряд продолжает сходиться; отсюда следует, что вне области гУ ряд Лорана расходится. Итак, область схбдимости ряда Лорана есть круговое кольцо *) (при условии (6)). В дальнейшем, говоря о рядах Лорана, мы всегда будем предполагать, что выполнено условие (6), без которого не существует области сходи- мости ряда. Если г < р < Л, то ряд (8) равномерно сходится на окружности т: ~х — хо~ = Р; он бУдет РавномеРно сходитьсЯ на 7 и после того, 1 как все члены будут умножены на — (х — х )-»-', где уз — произ2ш о вольное целое число.
Интегрируя полученный ряд по 7, найдем: — г(х ~„аь — 1 (х — х )"-»-' дх. 1 у(е) 1 7 2мГ,) (А, х)»+г .2Л ь2п1.) СО Все интегралы в правой части, как показывает простое вычисление (следУет воспользоватьсЯ УРавнением окРУжности 7: х = хо +-Реоь *) Кроме того, ряд Лорана может еще сходиться в некоторых точках, лежащих но границе кругового кольца.
200 гл. чп. гяд лотлнь. цвлыв и мвтомоеьныв етнкции (0(8 (2я)), равны нулю, кроме одного, соответствующего и=й и равного 2яд Следовательно, 1(е) 2щ ) ь~,Ыг=аь (А=О, ~1, ~2,...). (9) (е — ео) Мы получили выражения для коэффициентов ряда Лорана через сумму этого ряда. Отсюда следует, что если суммы рядов Лорана .~-со т сО ~(е) = ~ ал(е зо)" " о(е) = Х дь(л яо)ь сходящихся в круговых кольцах О и Ь, содермьащих одну и ту же окружность )я — го/=р.
совпадают в точках этой окружности, то коэффициенты обоих рядов попарно равны аь = Ьь (к = О, 1, - 2,...), т. е. ряды тождественны. В частности, ряды будут тождественными, если кольца О и а совпадают друг с другом и 1(е) =о(г) во всех точках кольца О. Из изложенного вытекает, что разложения в ряд Лорана обладают свойством единственности. Опираясь на свойство единственности, получим, совершенно так же, как и в п.
3 главы %, что если разложение ~~'.,аьеь представляет четную функцию, то в нем равны нулю все коэффициенты при не- четных степенях г, а если нечетную, то равны нулю все коэффи- циенты при четных степенях. 2. Теорема Лорана. Докажем следующее важное предложение. Теорема Лорана. Каждая функция 1(я), однозначная и аналитическая в круговом кольце О: г ( ~ г — еь~ ( К, предста- вляется в этом кольце сходяивимся рядом Лорана 1()= Х .( —,)" СО Заметим, что в условиях этой теоремы кольцо может вырождаться в круг с выколотым центром (г= О, )с(оо), во внешность круга с выколотой бесконечно удаленной точной (0(г, К=со) и, наконец, во всю плоскость с двумя выколотыми точками го и оо (г = 0 и )с =со).
Укаэанные случаи не исключаются при дальнейшем доказательстве. Пусть я — какая-либо точка кольца О. Образуем новое кольцо Ж " ( ~" ~хо~ ( К лежащее внутри первоначального и содержащее точку е (черт. 48), Чтобы построить его, достаточно взять: г ( г' ( )е †~ ( Й' ( К 201 2. твоввмл ловлнл Пусть еще ( г.— г ! = р — окружность с центром в г, лежащая внутри О'. Так как в(~) = —, / (С) является аналитической функцией от " в области О, исключая точку ч = г, то по интегральной теореме Коши для составного контура (п. 9 главы ч) будем иметь для нее: Г г(~)а. тр где Гв, Г„и Т, обозначают соответственно окружности ло! =)з' !! — ~~1= ' !"- — .1=9, Черт.
48. проходимые при интегрировании в направлении против часовой стрелки. Но последний интеграл в формуле (10) есть интеграл Коши и, следовательно, равей )'(я). Позтому У(г) = — ~ — Ж вЂ” — 1— 1 Р ЛС) 1 ( У(~)Ж 2Ш,~ 1 — л 2п1,) гн, г„ 1 Представим — под знаком первого интеграла ("~Гн) в виде л — ге суммы геометрического ряда со знаменателем —, модуль кото- "— ло рого Получим: 1 1 1 1 т~~ (» — ле)ч У. ч . (12) — С вЂ” ло — (л — ео) С вЂ” ла г — ло ~4 (ч — еоу"+' 1 — — а С вЂ” ла Так как для всех точек С.
принадлежащих Гн, модуль общего члена последнего ряда есть (л — аа) 1 1 ч ,„"„~~= —,Е" (0<В<1), то ряд (12) равномерно сходится на Гш (относительно "). Равномерно будет сходиться также и ряд, получаемый из (12) путем 202 гл. нп. гяд лавана. целыв и мввомогеныв егнкции умножения на функцию — Дч) (ограниченную по модулю на Гд ): 1 1 У(() ф 1 У(с) 2лГ С вЂ” г лы2лг (С вЂ” го)о+о о (" го) ' о — — а:= ) ал(г — г)", у у(() 2ш,)с г л о (13) гн где гл Итак, первый из интегралов в правой части равенства (11) мы разложили в сходяшийся ряд по неотрицательным степеням г — го.
Обрашаясь ко второму интегралу в-правой части равенства (11), ! представим — — (~~Г„) как сумму геометрического ряда со знаь — г мепателем — о, модуль которого г — го )Г.— г / г' г — го ! ~г — го~ Получим: '~с (~ — го)ч — го ( го оЬ ((г го) +~ — — о г — го (15) Замечая, что этот ряд также сходится равномерно на Глч умножая 1 все члены его на †(ч) и интегрируя почленно, находим: 2га ОР— — ~ — о(: 7а (г — г)", ру(О ., жт 2л!,) С вЂ” г о1а гн 1 (16) а „= — ) „+, (и=1, 2,...).
(17) (ь го) г„ где Итак, второй интеграл в правой части равенства (11) мы представили в виде суммы сходяшегося ряда, расположенного по отри- нательным степеням г — го. Подставляя найденные разложения (13) и (16) в правую часть равенства (1!), получаем разложение функции ((г) в ряд Лорана Отсюда следует, что последний ряд можно почленно интегрировать на Гн.
Получим: 3. изолиговлнныв осовыв точки однозначного хлвлктвгл 203 для произвольной точки а ~ Гд СО ОЭ +СО .7(г) = ~~~, 'а„(в — ве)" + Х а я(в — «о) "= Х а„(» — го)" (13) о г СО Коэффициенты этого разложения вычисляются частью по формулам (14), частью по формулам (17). Беря произвольную окружность Г: ~л — ге~ = Л, где г < Л < Л,'убеждаемся с помощью интегральной теоремы Коши для составного контура, что каждый из ннх можно вычислять, выполняя интегрирование по окружности Г: 'г Этот результат вполне согласуется с полученным нами ранее (см, формулы (9)). 3.
Изолированные особые точки однозначного характера. Рассмотрим однозначную функцию У(г), аналитическую в окрестности точки я, за исключением, быть может, самой этой точки. Тогда ,г(л) является аналитической в .некоторой области с): О < ~а в го! < Л. ! Относительно точки ге можно сделать два предположения. Вопервых, возможно, что существует конечное комплексное число па такое, что, положив 7(ва) = ае, мы полУчим фУнкцию 7'(г), аналитическую во всем круге (а — а,1 < Я (включая точку ге). Во-вторых, возможно, что такого числа не существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
