А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Все сказанное приложимо, в частности, к случаю, когда А=О; 0-точки аналитической функции называются короче ее н у л я м и. Легко проверить, что принятые в алгебре определения кратности нуля многочлена или вообще произвольной рациональной функции 12 Звв !Езз. А. н. марку!ьььчч В самом деле, центр»Е~! круга Куэ, содержится внутри Ку н, следовательно, является предельной точкой для множества, на котором ф(») = 0; по доказанному частному случаю теоремы отсюда следует, что ф(») = 0 в Кеь!. Отсюда вытекает, что ф(») = 0 и в К„ н, в частности, в центре »„ = »~ этого круга. Итак, ф(») = О, » ~ О, чем и завершается все доказательство.
. 7. А-точки и, в частности, нули, Пусть А — произвольное конечное комплексное число. Назовем А-то ч к а м и функции У(»), аналитической в некоторой области О, корни уравнения У(») = А. Из теоремы единственности следует, что в случае, когда У(») ф А, множество А-точек не может иметь ни одной предельной точки, принадлежащей области 6 (допустив противное, мы нашли бы, что У(») = А). Отсюда следует, в частности, что любое ограниченное замкнутое множество Р области О может содержать лишь конечное число А-точек (для фиксированного А).
В самом деле, допуская, что Р содержит бесконечное множество А-точек, найдем, что это множество имеет предельную точку, принадлежащую Р, а следовательно, и Р. Пусть» — какая-нибудь А-точка функции У(»), так что У(»ь) = А. В окрестности точки »ь имеем: У"'(» ) У(») = А+У'(»о)(» — »о)+ — '(» — »о)'+ !78 гл. и!. интегРАльнАя ФОРмулА коши и ее следстВия согласуются с общими определениями, данными выше. Заметим, что для каждого А+ О А-точки функции у(«) являются нулями функ- ции у.(«) — А. П римеры: а) Для з!пг все его нули г= Ы(а =О, +-1, ~2,...) являются простыми, так как (в!и «)' = сов «не обращается в нуль при г = аи.
б) Для функции сов« 1-точки суть г= 2аи(а = О, +-1, +. 2,...), все они имеют кратность 2, так как (созе)'= — з!п«=0 при «=2йж тогда как (созе)э= — созе Чь 0 при « = 2ап. Отсюда следует, что все нули функции соа г — 1 (или 1 — соа г) — двукратные. в) )(ля функции У(л) = в!и« вЂ” г точка «=0 является нулем кратности 3, так как У(0) =О, Уг(0) = О, У"'(0) =О, У'"(9) = — сов 0 ~ О. 8. Ряд степенных рядов.
Займемся рассмотрением некоторых приемов разложения аналитических функций в степенные ряды. Принципиально вопрос о нахождении тейлоровского разложения решается формулами для вычисления коэффициентов ряда а„= — О (а=О, 1, 2 ...). у!"! («О) а! СО .у(«) = Ху. («) (16) Тогда в силу теоремы Вейерштрасса будем иметь: СО уйо( ) = Х.у.'т( ) ! ! (17) угв! ( 1 1 Здесь (та!(«) представляет коэффициент при (« — «е)" в тейа! 1 лоровском разложег!Ви функции ув(«), а — у!а!(«а) — коэффициейт при (« — «,)" в тейлоровском разложении 7(«). Следовательно, тейлоровские коэффициенты суммы равномерно СО "ходящегося ряда аналитичесних функций ~~Р~У„(«) получаются 1 Но непосредственное проведение выкладок, опирающихся на вычисление последоватеяьных производных функции, у(«), нередко может оказаться весьма громоздким или трудно выполнимым.
Однако Во многих практически важных случаях можно получить тейлоровские разложения, выводя их определенным образом из других, ранее известных разложений. Допустим. что функция 7(«) представляется в виде ряда аналитичееких функций, равномерно сходящегося внутри некоторой окрестности ( « — «, ! ( р точки «е: 129 8.' гяд стипвиных гадов пущем сложения одноименных лэейлоровских коэффициентов (т. е. коэффициентов при той же степени (г — гэ)а), взятых из разложений каждой из функций уи(г). Приведем два примера.
Рассмотрим сначала-сумму ряда СО Р(г) = ")'„— „. г'О 1 Члены этого ряда являются функциями от г, аналитическими в единичном СО жч круге, причем ряд у 1 „сходится равномерно внутри единичного круга. 1 В самом деле, если Š— замкнутое множество точек этого круга и В)0— расстояние от Е до единичной окружности, то для любой точки гбЕ имеем: гв 1 рв рч /г/»1 — Ь=р(1; следовательно, ( ч!» О» — —, и таккак ряд 1 гч! 1 ОЭ Х р — сходится (это — геометрическая прогрессия со знаменателем р), то 1 — р 1 данный ряд сходится равномерно на Е, т. е.
равномерно сходится внутри единичного круга. Для определения тейлоровского' коэффициента функции Р(г) при г" по-предыдущему нужно сложить тейлоровские коэффициенты при га во всех тейлоровских разложениях функций н+ вв+ ВО+ Коэффициент при га в таком разложении равен нулю, если й не делится на л, и равен единице, если В делится на и. Следовательно, искомый коэффициент при гв в разложении Р(г) равен сумме единиц в количестве, равном числу всех натуральных делителей числа А.
Обозначая его через т (В) (т (1) = 1, т (2) = 2, т (3) = 2, т (4) = 3, т (5) = 2, ...), будем иметь: ОС Р (г) = ~~~~ т (й) га. ! Это и есть искомое разложение. Так как Р(г) является функцией, аналитической в единичном круге (по теореме Вейерштрасса), то найденное разложение сходится в единичном круге. Заметим еще, что при г 1 оно расходится, так как ряд принимает вид СО ~~~~~ т (й), где все члены — натуральные числа.
Отсюда следует, что радиус 1 сходимостн,ряда равен единице. Возьмем еще пример ряда Ф()=~4 „з 1 2г Функция является аналитической всюду, кроме точек г х.ия, гэ иэса 9. подстановка гядл в гяд 181 причем коэффициенты степенных рядов для у(г) и Р(чо) известны. Так как при наших предположениях у(г)-+а при г-+О, то можно указать такое число р (О < р <г), что модуль [е(г) — ае| будет меньше чем )с' при |я| < р.
При этом условии точка то =о(г) принадлежит кругу сходимости ряда (20), и следовательно, функция г'(г) = Р (чо) = Р [е (г)[ является аналитической при | г | < р. Отсюда следует, что должно существовать разложение функции у(г) в ряд по степеням г, сходящееся при |г| <р. Задача заключается в вычислении коэффициентов этого ряда. Рассмотрим разложение Пг) = Р [9 (г)[ = Х А„[9 (г) — ио[" о (21) относительно которого мы уже знаем, что оно будет сходящимся при |а| < р. Лля того чтобы можно было ссылаться на равномерную сходимость этого ряда, заменим р не ббльшим числом р'(О <р' <р) так, чтобы в круге |г| < р' выполнялось неравенство [~(г) — е| < 2 р Так как ряд (20) равномерно сходится при |ш — ае| < —, то и р ряд (21) равномерно сходится при |г| < р'.
Следовательно, коэффициент при гь в тейлоровском разложении функции 1(г) можно получить, взяв сумму одноименных коэффициентов в разложении каждой из функций А„[е(г) — ае[". Последние разложения получаются путем аакратного умножения ряда для'г(г) — и, самого на себя. В данном случае почленное умножение рядов законно, так как мы имеем дело со степенным рядом в круге его сходимости, где он абсолютно сходится. В итоге приходим к следующему предложению: для того чтобы получить тейлоровское разложение функции г (г) = Р [ у (г)[, где у(г) — функция, аналитическая в окрестности начала координат, а Р("о) — функция, аналитическая в окрестности точки а у(0), следует подставить ряд для чв = а(г) (19) в ряд для Р(ев) (20), выполнить необходимые возведения в степень, т.
е. умножения рядов, и, наконец, сложить козффициентьь членов, содержащих одинаковые степени г. Полученный ряд и даст искомое тейлоровское разложение функции ~(х). Он будет наверное сходиться в круге |г| <р, где р выбирается так, чтобы при |в| <р было | ц (х) — .| < )~. и Р(че) = Ао+ А,(чо — "о)+ А,(чо — ае)'+ .. +.4т(ш — ио) + ... (20) ([чо — а [< Й), 183 9.
подстлновкл вида в вяд Представляя у(л) в виде у(л) = аехр —, положим: 1 — г' «.! зз ! лз.! .. ((л!~ц Р(а) = еи+т = е (1+ — + —, +...) (! ш! <оо ). ти шз Й 2! Подстановка ряда в ряд дает: + + ''' 2~ + (л ! лз ) лз (, )з 3! В данном примере, где е (л) = —, можно избежать непосредствен- 1 — л' ного выполнения умножений рядов, замечая, что при (л(ч, 1 ( з !а (,+за+,з+ ...)а=!' ' =ла(1 л)-в= =ъ,— !з) „Г!+ д +и(д+!),+ д...(д+и — !) „+ и так как д(д+1) ... (а+и — 1) (А+и — 1)(й+и — 2)...(п+1) ~й+и — 1) и! — (й !)! 1 д-! то, следовательно, (с+аз+аз+...)в= ~~~~ ( д ! )ли+в. и о Поэтому у(л)=е ~1+ — Д л"+!+ — Д (н+1)л"+з+ — у ли+э+ . 1 ъ-~ (и+2) (и+1) Й з'е 2! зма е о о + 1 ~~)~~(й+н !) +а+ о 1 + +1~1+2!) +(Й+ 2! +3!) +1!(+ 2(+ 3! 4~) Это и есть искомое разложение.
функция у(л) является аналитической в круге )л)ч,1, поэтому полученный ряд сходится в единичном круге. Так как все коэффициенты ряда в фигурных скобках — положительные числа, не меньшие, чем единица, то ряд расходится при я=1, Отсюда следует, что радиус сходииости ряда равен единице, 184 гл. ть интегглльнля эогмглл коши и ее следствия 10. Деление степенных рядов. Перейдем теперь к вопросу о делении степенных рядов. Пусть а + а, (г — а)+... + а„(г — а)" +...
(22) Ь +Ь (г — а)+. +Ь (г — а)"+ (23) — два степенных ряда с положительными радиусами 'сходимости г и р, причем свободный член Ь второго ряда отличен от нуля. Обозначим через а не большее из двух чисел г и р: а=ш)п(г, р) (если г =р, то а =г=р). Тогда в круге !г — а! (е оба ряда сходятся. Если в этом круге содержатся нули суммы ряда (23), то возьмем новый круг меньшего радиуса, внутри которого сумма этого ряда не обращается в нуль (такой круг существует, так как точка а не является нулем для суммы ряда (23) в силу условия Ье+ О). Итак, существует круг !г — а) ()с, в котором оба ряда сходятся, причем сумма второго ряда не имеет нулей.
Внутри этого круга отношение аз + аг (г — а) +... + а„(г — а)" +... У(г) Ье+ ба(г — а) +... +Ь„(г — а)" +... (24) представляет аналитическую функцию, как это следует из правила дифференцирования частного. Поэтому существует степенной ряд с„+ с, (г — а)+... + с„(г — а)" +.... представляющий 7(г) внутри круга ~г — а! ()с. Ряд этот мы можем называть частным рядов (22) (делимого) и (23) (делителя), а самый процесс его отыСкания — д е л е н и е м р я д о,в. Произведем деление рядов сначала по методу н е о п р е д е л е нных коэффициентов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
