А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Заметим, что всегда можно найти кривую й такую, чтобы л имело аюбое наперед заданное (целое) значение. В качестве Т можно выбрать ' окружность ! л ! = Р; следовательно, — = 2л1. Далее, если точка л не лежит на отрицательной части действн- т тельной оси ()атил)ч к), то в качестве !можно взять кривую, содержа- ' лл щуюся в области (агйл((п. Тогда найдем: ~ — =!пл (сы. п, 7). Если же агй г = г, то в качестве 1 можно взять, например, кривую, принадлежащую области агйл чь — —, (т, е. пе пересекающу.ю'отрицательную часть мнимой 2 осн).
Обозначим,ерез 0 значение аргумента произвольной точки втой области, заключенное между — —, н —; тогда 0 =0 для начальной точки 1 2 2 г и 0 = к для конечной точки. Так как в односвязной области агй г чь — — ,' 2 ! функция 0(а) = !и!з(+ 10 яваяется первообразной по отношению к —, то л' по п. 7 — = Ф(л) — ч (!) = !п !л!+ 1г.
= !па. лг 10. интигилл как етнкция точки в многосвязной оиласти 161 Итак, во всех случаях 1' чг», !' чг» Р!»! = ~ — = ~ — =!п»+2ппг=уп». »,!» 1 Ь Г вгг Мы видим, что интеграл ~ — представляет в области г + 0 много1 значную функцию 1.п». Предлагаем читателю убедиться, что интеграл й» в области» + ~ ! представляет также многозначиую функцию ! +»з а 1 ! — л Агс1п» = —, 1.п —, 21' 1+» ' Зак. 163Е.
А. И. Мар втшввич ГЛАВА тр! ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 1. Интегральная формула Коши. Пусть р(») — функиия, однозначная и анилитическая в области 6, и 1.— замкнутая жорданова спрямляемая кривая, принадлежащая О вместе со своей внутренностью О (черт. 44).
Тогда для всякой точки»ь ~ В справедлива интегральная формула Коши П»)= — „~, 1 Г у(г)йг здесь кривая 1. проходится в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. Эта формула выражает значения аналитической функции внутри замкнутой кривой через значения той же функции на самой кривой. Для доказательства опишем из точки », как из центРа, окРУжность Тр РадиУса Р, столь малого, чтобы кРУг ! » †»ь! а, Р лежал внутри 1,.
Тогда для составного контура, образованного кривыми (. и Тр, бУдем иметь: 1 ! у(г)йг 1 ~ у(г)йг (2) 21~ г — гь 2п13 г — гь тр Следовательно, для доказательства формулы (1) достаточно установить равенство 1 Г У(г)йг У( о)= 2вр 3 г го т или й~ — 2~Е~(» ) р (г) го тр го т, тр 1. интвгвлльиоя оогмтла коши 133 В силУ непРеРывности Г(2) в точке 2о неРавенство !У(2) — У(ло)! <о (26'(,) будет выполняться для любого о) О, если р с. 3(о). При этом условии получаем: о(2 ( — 2яр=2яо. Г(2) — г(г„) 1 ° 2 — 2о Р Следовательно, ~Р(~) — У( )„, о.оо 1 2 «о ГР Но интеграл, стоящий под знаком предела, равен левой части равенства (3) и поэтому не зависит от р (что интеграл с12 2 ло го ие зависит от р, видно из равенства (2)). Следовательно, ои равен нулю при всех рассматриваемых значениях р.
Итак, равенство (3) справедливо, а вместе с иим справедлива и интегральная формула Коши (!). Интеграл У(2о) = — ~ — оя называется и и т е г р а л о м К о ш и. 1 Г у(2) 2к!,) 2 — ло Мы вычислили его значение для 2, принадлежащего внутренности кРивой (.. Если яо пРинадлежит вйешности Е кРивой Е, то под- интегральная функция — является аналитической не только на Ь, У(2) 2 — 2о но и всюду внутри А (делитель 2 — 2 отличен от нуля иа Л и внутри (.); по интегральной теореме Коши интеграл Коши обращается в этом случае в нуль.
Итак, ( 1 ~У(2) Гл /Пло) (лоб~) (5) 2в .1 2 ло ( О (лоЕЕ). Для 2о~пЕ интеграл Коши, вообще говоря, теряет смысл ие только как собственный. но и как несобственный интеграл. Пусть в частном случае 1. есть окружность с центром 2. Если р — радиус окружности, то уравнение окружиости можно предста- вить в виде 2=2 + ре'о (О (р (2к).
Следовательно, 1 Г У(2) ал 1 Г у(ло+ рого) гроко У(во) 2Щ ~ 2 — 2о 2вг,) Рого о - —,~ У(.+Р ") 1Р (б) о 11» 2. РЛЗЛОжвнив лнлЛИтИЧВСКОй Отнкцни в СтвпвннОй РЯД 165 пеням г — го и затем выполнить почленное интегрирование. Имеем: 1 ! 1 1 Ч,т (« — го)О С вЂ” г С вЂ” «о — (г — «о) о — го г — «, гм' (Р «)О+т 1— о — о «а СΠ— ХР() (Р г)О+т (г га) При фиксированном г последний ряд равномерно сходится относительно "~ Т,, так как г'(ь) «), ~ ( тпах )у(~) ! Р и числовой ряд ~Ь гпах !у'(")! ~,о сходится (как геометрическая о Р Роет прогрессия со знаменателем о~ ( !). Поэтому почленное инте- Р грирование законно: ОО ОО о ( о) (" — го)О+о Коэффициенты полученного степенного ряда а„= — ~ ' (п=0,1,2,,) 1 1 У(о) л( 2яГ ) (Р )Оот о ТО не зависйт от радиуса р. Действительно, если р, чар и О (р, ( г, то по теореме о составном контуре У("-)л'- 1" У(")"".
ТР ТР, Так как найденное разложение У(г) = ~ а„(г — го)" а Установлено нами дла пРоизвольной точки г кРУга 1« — го1(г, то теорема доказана. Положим птах1г"(С))=М(р); из найденных формул для коэффиоетр циентов степенного ряда получим н е р а в е н с т в а К о щ и )а„1~( — — „, 2пр= — „(л=О, 1, 2,...).
(8) 1 М(Р) МО') 166 гл. чь иитагвлльиля еогмхлл коши и вв слвдствия Оии позволяют оценивать сверху модули коэффициентов степеиного ряда через максимум модуля суммы ряда иа окружности ~1е — е (= р и радиус втой окружности. Для остаточного члена ряда получается следующая оценка: Оиа дает представление о величине погрешности приближенного равенства и )=Х,( — .)". ь С помощью формулы (8) легко доказать теорему Ли у вилл я: всякая целая функция, ограниченная ио модулю, есть константа. Пусть У(е) — целая функция, тогда ее разложение в степеииой ряд у(е) а +а я+аглг+...
+а„яи+ .. сходится во всей плоскости (здесь г †расстоян от точки я = 0 до границы конечной плоскости, т. е. до точки со, равно оо). Если У(е) ограничена по модулю, то ~/(я)~.С,М. где М вЂ положительная константа. Тогда )а„~ < — „< — „(а О, 1, 2, ...). ММ(е) М где в качестве р можно брать любое положительное число. Считая а~ 1 фиксироваииым, заставим р стремиться к со. Получим: 1а„1.е. О, т.
е. а„= О, и= 1, 2, 3, ... Следовательно, г (Л) мм ио1 теорема доказана. В виде простого примера приложения теоремы Лиувилля докажем так называемую основную теорему высшей алгебры: всякий многочлен Р(л) с +с,е+... +с„е" (и~~1, с„+0) имеет, ао чсрайней мере, один нуль. Докажем теорему от противного.
Пусть Р(г) ие имеет ии одного нуля. Тогда )'(я)= — — целая функция, удовлетворяющая усло- 1 Р (е) вию Нпг у'(л) О. Такая функция ограничена по модулю во всей плоскости (в самом деле, существует Я) 0 такое, что при ~л~) гс ~У(л)~<1; если шах )г"(е)!=т, то )У(я)~<т+1 для каждого л). 1 е1~Я Поэтому У(я) ~ сопз1 = О, что противоречит определению втой функции, 3. ввсконвчнля диееетннцигзямость 3. Бесконечная дифференцируемость аналитических и гармонических функций. Из результатов п. 2 вытекают важные следствия. 1. Каждая функция Дг), аналитйчесная в области О, имеет производные всех порядков в этой области, т. е. беснонечно дифференцируема в ней.
В самом деле, У(г) в окрестности любой точки го~ О разлагается в степенной ряд и поэтому бесконечно дифференцируема в соответствующей окрестности (см. п. 3 главы !Ч). По п. 3 главы 1Ч разложение для функции У(г) может быть ваписано в виде г"( )= у „, ' ( — г,)" (! — г,! ч. ) " у'"!( ) о В частном случае, когда у (г) — целая функция, расстояние г от точки г до границы конечной плоскости (бесконечно удаленной точки) равно бесконечности. Полагая го О, получим: "учю(О) „ 1С( ) Ъ)ч~ ( ) гв о Вычисляя производные различных порядков от элементарных функций ехрг, з!пг, созе, зЬг, сьг, читатель легко получит для ннх следующие сходящиеся во всей плоскости разложения: СО СО ОЭ жз г" гзо-1 и гзи ехрг у —, з!пг у ( — 1)" ', сов г ~ ( — 1) Ь и! ' 24 (2и — 1)1' 24 (2и)1' о 1 о СО СО ч гзо-1 гэо вне=у, снгОО ~~> —. (2и — 1)! ' (2и)! ' 1 о Остановимся на степенных разложениях однозначных ветвей простейших многозначных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
