А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Г, В дальнейшем мы убедимся в том, что производная аналитической функции всегда является аналитической и, следовательно, непрерывной. Но вывод этот будет опираться на интегральную теорему Коши. Желая избегнуть «логического круга», мы должны поэтому дать доказательство последней теоремы, не предполагающее непрерывности у'(г). Такое доказательство впервые было дано Э, Гурса н затем упрощено А. Прингсхеймом. Доказательству мы предпошлем лемму, в силу которой общий случай спрямляемой кривой будет сведен к простейшему случаю, когда Е есть контур треугольника.
Л е и и а. Если функция у(г) непрерывна в односвязной области СГ и для любого треугольного контура а, содержащегося в О, ) )(г)ба=О, то тогда ) У(г)йв=О и для любой залскну- Ь Ь той кривой ь, содержащейся в 6, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала Л есть замкнутый многоугольник Р. Если число его вершин п > 3 и Р не имеет самопересечений, то существует диагональ ЛбАГ, принадлежащая внутренности 139 4.
иитегРАльнля твОРИИА кОши многоугольника (за исключением точек М и Х, лежащих на Р) и рассекающая внутренность Р на два многоугольника МХАМ и дГМВ7т7 (черт. 33), каждый из которых имеет число сторон меньше чем п (докажите!). Так как и ~ .7'()с( = )г.7(г)ел+ ~ у(г)лг, ммвв ум мвв то .7 (л)77л + ~ ) (л) ол = ~ .7 (л)77л + ~ 7(л)77л= ~ у (2) л7з ° мВАМ вмвв ВАМ ' МВУ Р Если утверждение леммы верно для многоугольника с числом вершин, меньшим и, то отсюда следует, что оно будет верно и для многоугольника с и вершинами. Но по условию оно выполняется для треугольников.
Следовательно (по индукции), оно выполняется для любого многоугольника без самопересечений. Ф7 Рассмотрим, далее„ многоугольник Р с п вершинами, имеющий само- Фз Черт. 34. Черт. ЗЗ. пересечения (черт. 34). Будем двигаться по нему в заданном направлении, начиная от точки Ае, до тех пор, пока некоторая сторона не встретит в первый раз одну из ранее пройденных сторон. В нашем примере †э сторона АзА, пересекающая сторону АеА, в точке В. Тогда замкнутый многоугольник ВА,А,А,В не будет иметь самопересечений и, следовательно, по доказанному ~ .7 (л) с7л ) У(2)ттл+ ~ у (л) 77л= ~ у (л) пе.
Р .ВА А7А В А,ВА,А,А,А,А, А,ВА7А7А,А7А Число вершин нового многоугольника АеВАААаАеАт меньше п, так как мы ввели здесь лишь одну новую (по сравнению с Р) вершину В 140 гл. ч. ннтвггиговлнив эвикций комплвксного пвгвмвнного и отбросили вместе с ВА,АзАзВ, по крайней мере, две вершины первоначального многоугольника. Необходимо отметить, однако, одну возможность, не предусмотренную предыдущим рассуждением. Иллюстрируем ее на примере многоугольника АеВА4АзАеА,. Если двигаться по нему, начиная от А, в направлении, определяемом указанным порядкпм вершин, то на пути от А4 до Аз будут встречаться ранее пройденные точки стороны ВА„причем ни одна из этих точек самопересечения не будет первой.
В этом случае следует выделить двуугольник ВА,В, интеграл по .которому, очевидно, равен нулю; получим: г (л) 4(я= ) г(г) а'л+ ) ((л)с4л= ) /'(л) 4(л. *ВА»А»А 4 А» ВА»В А» ВА»А»А»А» А»ВА,А,А,А» Число вершин последнего многоугольника на единицу меньше числа вершин предыдущего, так как вершина А, отброшена и никакой новой вершины не введено взамен.
Итшг, во всех случаях многоугольник с самопересечениями можно, не изменяя значения интеграла, заменить другим с меньшим числом сторон. Следовательно, и здесь можно завершить доказательство рассуждением по индукции, начиная с треугольника (для двуугольника, представляющего прямолинейный отрезок, проходимый дважды в. противоположных направлениях, предложение, очевидно, справедливо). Пусть, наконец, Š— произвольная замкнутая, спрямляемая кривая, принадлежащая О, Рассмотрим какую-нибудь ограниченную замкнутую подобласть Е области О, содержащую Е; пусть для определенности Е есть множество всех точек, расстояние которых от Е не превосходит некоторого е>0 (е должно быть меньше расстояния между Е и границей О). Функция Дл), непрерывная на Е, равномерно непрерывна на нем,.
и для любого е)0 можно указать р)0 такое, что1У(ч,) — У(1з)~(е, если 1", — ~ ! ( р и С.~ Е (у= 1, 2). Фиксируем на Е в определенном направлении (направлении интегрирования) точки ге, яы ..., г„=хе, разбивающие ее на дуги 1е, 1„..., 1„, так, чтобы шах дл.1А( У О,Ь ...,ч-4 ( ш1п(6, р). Соединяя каждые две точки х~ и лА, (ух=О, 1„... и — 1) отрезком прямой рр получим хорды кривой Е; так как дл.р~(дл.(Р то все рА содержатся в множестве Е. Совокупность этих хорд составляет замкнутую ломаную Р, вписанную в Е и принадлежащую Е. Так как, по доказанному, ) Г(я)41л=О, то б. пеодолсканне доказательства 141 Замечая, что ~ с (ас)ссл У(л~) (л~«1 — л)= ~ Д(я )с[я С« Р~ получаем: (вор[у(я) с'(яс)[лл 1у+ вор[у(я) г(я)[дл, «ЕСу «Ев Но любые две точки дуги 1с нли хорды р отстоят друг от друга менее чем на р, поэтому апр [ с (я) — с (гс) [ ( е, зпр [у (г) — у(лс) [ ( е «сс.
«гв~ ! Ссс*с«* Ссс*с«*[<'("ь.« " ес<«' "ь. Ру Следовательно, п -1 Х У (г) пса ( 2в ~~.", дл. 14 = 2е ° дл. Е, т-о откуда вследствие того, что е произвольно мало, вытекает, что [ с(я)с«в= О. Ь 6. Продолжение доказательства. Итак, для доказательства интегральной теоремы Коши достаточно доказать ее для случая, когда с. есть контур Ь какого-либо треугольника, принадлежащего области О. Положим [ С (г) с[я = М ~ ОС Ь нужно доказать, что М= О.
Разобьем Ь на четыре треугольника с«с, асс, сзссс и Ьс», соединяя отрезками прямых середины сторон Ь (черт. Зб). Замечая, что 142 Гл. ч. интеГРиРОвлние Фгнкиий кОмплекснОГО пеРеменнОГО получим: 1+ 1+ 1+ 1= 1+ 1+ ~ =1 откуда ~х~.~г~ ) - ) ~ Г~ крайней мере, один из модулей ! не меньше —. Обо- 4 е ш,|ч и следовательно, по значим через Ь, тот из треугольников Ь', Дп, бш, бш, для которого УГЕ)~2з > —, ЛГ У Ь, Черт. 35. Повторяя для Ь, те же рассуждения, которые выше были проведены для Ь,-найдем треугольник Ье — один из четырех треугольников.
на которые треугольник Ь, разбивается прямолинейными отрезками, соединяющими середины его сторон, †так, что ) 4" лл. д„г лл. Л д н- 2 2" Используем теперь аналитичность у(г). Все треугольники Ь (Ь = Ь) имеют общую точку 1, принадлежащую замкнутой области Ь, а следовательно, и области О. Так как 2(г) дифференцируема в этой точке, то для любого е ) 0 существует 6 ) 0 такое, что ~ ) — у'(~)~(в при )е — Г~(Ь. !' г — ч Таким путем мы можем придти к последовательности треугольников Ь, Ь„бе,..., Ь„,..., из которых каждый принадлежит предыдущему (мы обозначаем одним и тем же символом Ь„и контур треугольника и замкнутую область, им ограниченную; из контекста ясно, что каждый раз подразумевается под Ь„).
При этом 6. НРименение к Вычислению опРеделенных интеггллов 143 Положим а(в, .) = — — „; — г' ("), у(л) — у(г) тогда где !сс(г, ч)! с. в при /х — г.! ( о. Если п достаточно велико (и )~ и ), то треугольник Д„, содержащий ", будет содержаться в круге )з — ч/ ( й, поэтому, замечая, что ) с(г = / гс(х = О (см. п.
1), получаем: Ь я и ~ у(х)о«в! — ) ~ (у(г)+у'(")(з г)+ „(х ",)(з г)) туз)— Ь Ь =)((ь) ~ п«з+('(г) )гзг(з — '.у" (г) ~ г(х+ ) а(г, ч)(г — ".)Ь(з(-" Ь Ь Ь ( а знр ( з — ". )дл. Д„( е(дл. Д„)« = а 2 «6«в Сравнивая оценки снизу и сверху, найденные для ( ) у(в)Жв), найдем: л4 (дл. Д)2 4Я откуда тИ < а(дл, Д)2. Но а произвольно мало, следовательно, тИ = О, чем и заканчивается все доказательство.
6. Применение к вычислению определенных интегралов. В первых работах Коши его теорема служила средством вычисления различных определенных интегралов от функций действительного переменного (главным образом несобственных интегралов). Чтобы дать понятие об этих прилол«ениях теоремы Коши, вызвавших к жизни самую теорему, приведем три примера. 1. Интегралы Френеля: ~ соз«эая и ~ 21п(заяц « 0 Лля вычисления этих встречающихся в теории диффракции интегралов Рассмотрим вспомогательную функцию комплексного переменногп г" (л) = е". 144 гл.
ч. интеггигоианик егнкций комплексного пвгнмвнного функцию вту можно рассматривать как сложную функцию Р(л) Ч]/(л)], где 1(л) =газ, и у(ь) =е!. Отсюда по правилам дифференцирования сложной функции следует, что Р(л) дифференцнруема во всей плоскости, причем Р— =2!ге! . Следовательно,.к ней прис!~ (л) зы Фг В менима интегральная теорема Коши. Возьмем линию В черт. Зб в каче- стае контура интегрирования. Она со,т стоит из отрезка ОА положительной пол луоси длиной )с ()с — произвольное пост ложительное число), дуги АВ окружности Р радиуса )с с центром в начале координат и отрезка ВО биссектрисы первого коорЧерт. 36.
динатного угла. Угол АОВ равен, таким и образом, — . В силу интегральной тео- ' 4' ремы интеграл ~ етс сть равен нулю'. Ь еса'!К ~ лги ссг+ ~ л!".'Л(+ ~ лм'Я 0 Ь ОА лв ва На ОА ь равно действительному числу К Позтому ль = л( н у (ут) ~, тт',(( ~ зР о! а На АВ ь (т(соз у+ ! з!и е), где у меняетсл в пределах от нуля до —, 4' Позтом!' (з Дв(соз 24+ ! з!п 2е) (О< 2у< — 1, 2)' щ = )с ( — з!и у+ ! соз е) лч! Я (соз у + ! з!и у) Лф /в (Д) ] етс ль = ~ ехр ]%в (соз 24 + ! з!п 22)] Я (соз у+ ! з!и е) Н р.
лВ в н ит Наконец, на ВО ь р(соз — + ! з!и — !, где р меняется от В до нуля. 4 4т" Поатому ьз рз(соа — + ! з!и — ~ = грв, йь = ~соз — + ! з!и — ~ Лр 2 2) ' ' '! 4 4/ и о .ув (тт) ~ е лс ~ а г (соз — +! з!п ~)ЫР 4 !то и — (соз — +! з!п — Г! в ' сср * — — (1+!) ] г г а!ь У'2 — 4) 2 о 6. пгнмкнвннв к вычислению опгкдилинных ннтвггллов 145 Заставии )т неограняченно возрастать.
/в()г) будет стремиться прп этом к пределу 2 +,) ~ (+)" )г 2 ( Р'2и 4 о так как е гпа= — *). .У 2 о Покажем, что /в()!)-ьб при г!-ьсо. Лля этого оценим модуль ~ lз(тг) ~. Имеем: ! у ®) ( ()г ~ 1ехр [Из(соз 24+! э!и 2у)) ! ) соз у+ ! з!и у ~ оу. а Здесь ! ехр (ят (соз 2у + ! мп 22)) ! = ехр ( — )тэ и!и 2у) и )сову+!3!Пу!=1; а) В самом деле, ~а ' ЧЖай=( ) Е ! Л) =4(~ В Ня(т). -и -и а Да ' " я!льз( ~ ~е ' ~(!гГ4~ Ое ' ' !(!ай или, заменяя прямоугольные декартовы координаты $ и й полярными р и у и пользуясь формулой (а): вв и Я з«лУа ~ е трНрдуч.4(~ е (лс) к ~ ~ е гйпрИ~р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
