А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Чтобы получить определенну!о однозначную ветвь, достаточно фиксировать одно из значений 1.п а б. Предполагая, что это сделано, мы получим однозначную и всюду днфференцируемую функцию ехр(вг). Беря все возможные значения Ьп а, получим все возможные однозначные ветви функции а'. Так как дза значения Ьп а различаются слагаемым вида 2йлг, то две ветви функции а' различаются множителем вида ехр(2!ел!г), представляющим также одно=начную всюду дифференцируемую функцию, принимаю!цую значение 1 только для действительных и целых значений г.
Однако в рассматриваемом случае ветви многозначной функции будут существенно отличаться по своему характеру от ветвей всех ранее рассмотренных нами многозначных функций. А именно во всех прежних примерах су!цествовали такие точки расширенной плоскости (точки разветвления), двигаясь вокруг которых по замкнутым жордано!.ым кривым и заставляя значения функции (определенной ветви) непрерывно изменяться, мы имели возможность непрерывно перевести одну ветвь в другую.
Здесь эта возможность исключена именно потому, что каждая ветвь представлдет функцию, непрерывную и однозначную во всей конечной плоскости. По какой бы мы замкнутой кривой ни двигались, по возвращении в исходную точку получим то же самое исходное число г (пусть с другим значением аргумевпа), а следовательно, и то же самое значение функции ехр(вг) (Ь вЂ фиксированн значение 1.п а).
Таким образом, много!Начьая фугкция а' не имеет ни одной точки раз!.етвлення н ее однозьач!.ые непрерывнь:е ветви не могут непрерывно переходить одна в другую. Все это позволяет смотреть на них как на самостоятельные, не связанные друг с другом, однозначные 20. Озщие степеннАИ и покАзАтельнАИ Функции 117 всюду дифференцируемые функции, а следовательно, целые функции: ехр(г1п а), ехр[я(!и а+2е!)[, ехр[я(1па — 2п!)[,... То обстоятельство, что все эти различные целые функции могут быть представлены как ветви одной бескоиечнозначной функции а', имеет для нас не большее значение, чем тот, например, факт, что функции яп г и — ч!п г можно рассматривать как ветви двузначной функции ф' 1 †с'г или гиперболические функции з[т г и с'и г рас- 1 сматривать как две ветви двузначной функции — [ехр г+ у' ехр( — 2г>[.
2 (Обращаем внимание читателя на то, что функции у' ! — соз'г и — [ехрг+. у ехр( — 2г)[, так же как и функция а', не обладают точ- 1 2 ками разветвления.) Фиксирован одну из ветвей функции г= ам= ехр(бтв), где 5 является одним из значений Ьпа, мы можем рассматривать функцию, обратную по отношению к этой ветви, Получим, очевидно: тн= — Ьпг (5=!На+2авк(). 1 (56) 1 Эта функция отличается от. Ьп г только постоянным множителем — . а ' Так как из соотношения (56) следует, что я=ехр(бш) а" (одно из значений а"), Ьпг Ьоп г= —, Ьпа ' (56') где в знаменателе фиксировано одно из бесконечно многих значений Ьп а (одно и то же значение д для всех г).
Это определение требует, таким образом, не только указания основания а системы логарифмов, но и фиксации одного из значений Ьп а. Поясним сказанное примерами. 1) а = е. Если фиксируем значение Ьп е, равное единице, то получим; Ьоя,г= 1,пг. Это и есть обычное определение натурального логарифма, Но мы могли бы взять значение Ьпе, равное, например, 1+2па Тогда имели бы: Ьп г Ьоя, г ° + то ш можно рассматривать как лога рифм г по основанию а. Итак, мы определяем логарифм произвольного комплексного числа- по некоторому основанию а (а — комплексное число, отличное от нуля) посредством формулы 1!8 гл. щ. элямантлиныа етнкции и конеогмныя отовглжвния Читатель легко проверит,что при таком определении из всех действитель.
ных положительных чиселоднитолькочисла вида е (л — целое число) имели а бы по одному действительному значени!о натурального логарифма. 2) а 10. Беря значение 1.п10, разное 2,302585... 3 9 Л 1 1 0,43429 ' '' получим: 1 оп!э з = М Е и е = 0,43429... Еп х. Это определение десятичного логарифма произвольного комплексного числа а(зфО) согласуется с обычным определением десятичных логарифмов действительных положительных чисел. А именно, если л = х ) О, то, беря главные значения логарифмов, будем иметь: 1я х = 0,43429... 1п х. 3) а =1. В этом случае при определении логарифма с основанием 1 по формуле (59) нельзя пользоваться главным значением Ьп 1, равным нулю. Возьмем значение Еп!, равное 2яй Тогда, по определению, будем иметь: 1.п з Еой,е = — = Ага л — — 1и !з1. 2а! 2л Отсюда следует, что зсе значения Ьоята являются действительными, если (а! =1, и мнимыми, если !е1 чь 1.
Следовательно, действительными логарифмами при основании, рваном единице, обладают те и только те числа, которые изображаются точками единичной окружности. Лля этих чисел значения логарифма совпадают со значениями их аргументов. Итак, Агя» для комплексных чисел с модулем единица совпадает с логарифмом л при основании, разном единице. 21. Обратные тригонометрические функции. В атом пункте мы остановимся на обратных тригонометрических функциях Агссоая и Агой я. функция та= Агссозг определяется посредством уравнения я=солта.
(57) ехр(!та) + ехр( — !те) Заменяя созе через 2 ехр(!та) 1, перепишем уравнение (57) в г+1-' 2 и полагая для сокращения виде (58) откуда гз 2,1+1= О +)/яз — !. (59) (60) имеет корни (относительно неизвестного та). Получаем. 1 1 та = — Ьп ! = — Ьп(я+ )! хз — 1). (61) Так как оба корня квадратного уравнения (59) отличны от нуля (их произведение равно единице), то уравнение ехр (!та) ! 2 ! . овгатныв тгигономвт вичискии езнкции 119 (Заметим, что все эти выкладки ужв производились нами и п. 14 етой главы.) Итак, многозначиая функция тв Агссозг выражается через логарифм и квадратный корень ! ш = Агссозг = — Ьп(я+7 яз — 1).
Т (63) Яе точками разветвления являются прежде всего точки л ~1. В свмом деле, при одноиратном обходе точкой л какой-нибудь замкнутой жордановой кривой, заключающей внутри лишь одну из этих точек, одно из значений г' зо†1 заменяется другим, отличающимся от первого знаком. При этом значение л + Тг зэ — 1 Г, являющееся корнем квадратного уравнения (59), 1 заменяется другим корнем того же уравнения, равным — (мы уже указывали, что произведение обоих корней равно единице.) Следовательно, от зиа- 1 1 1 чений ш — Ьп! мы переходим к значениям — Ьп —, наверное отличным ! 1 1 от исходных, если тольио ! чэ —. Но ! может равняться — только при ! = ~1; как видно из (59) или (60), это возможно только при з ~-1.
Так как обходимые нами жораановы кривые не проходят через точки л ш 1, то указан. ный случай ие может встретиться, и мы действительно можем утверждать, что значения ш Агссозз изменяются в результате отмеченных обходов. Итак, точки ~1 являютея точками разветвления для Агссоз ж Они обязаны своим существованием присутствию в формуле (62) квадратного радикала. 1 но формула (62) имеет вид ш = — ьпг (Ф з+ г'хе+1), и мы можем еще ! ожидать точки разветвления, соответствующие двум точкам разветвления дла ).пй ! 0 и г' со.
Мы знаем из п. 14 втой главы, что каждому однократному обходу точкой Г окружности с центром в начале координат соответствует в плоскости л однократный обход точкой л эллипса с фокусами ~ 1 и обратно. Итак, однократному обходу точкой л эллипса с фокусами +.! соответствует изменение Агдас на ш 2п и изменение — Ьп 1 ва ш 2я. Так как такой 1 эллипс может принадлежать любой, наперед заданной окрестности точки л = оо, то она является точкой разветвления для Агссоз л и притом бесконечнего порядка. Конечно, обход любого эллипса с фокусами в точках .1- 1 можно рас. сматривать так же как обход вокруг точии л О. Но ни один из зтих зллмпсов не лежит целиком в окрестности )л! ~ р, где 6 ~ 1. Покажем, что ни точка з = 0 и никакая вообще точке ло расширенной шшскости, за исключением указанных выше (л ш! н л= со), не может быль точкой разветвления для Агссоз з.
В самом деле, формула (60) дает дзя Ф ло два Различных значениЯ: Г н !о, отличных" от О, ш1 н со и Удовлетворяющих условию ! ! = 1. Можно взять настолько малые окрестности У' о о и Уо этих точек, чтобы они не заключали точек 0 и со и чтобы ни УЬ ни У" ПОРоень не содержали двух точек вв Гз, УДовлетвоРяюЩих условию 1г4з 1. В самом деле, если точка ( не лежит на единичной окружности, например !го ~ С! то и точка Г не лежит на этой окружности н ! Го !) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
