А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Очевидно, произведение чисел Сти )э равно единице, поэтому каждое из них отлично от нуля. Обозначая одно из них 1 через т, а другое через —, получаем из (38) два уравнения для определения л: ехр (гз) т (ч'.О) и ехр ()л) = — (чьб). 1 (41) Каждое из этих уравнений по п. 12 имеет бесконечное множество решений, выражаемых по формуле (24): !л' 1и!т)-)-!Агйт и гз"=!и ! — !+1Агй — = — (!и!т!+!Агйт), 1 ! 1 или лг=Агйт — !!и!т! и л"= — (Агйт — !1п!т!). (42) Мы получили два бесконечных множества точек, расположенных на паре прямых у = ~!и ! т 1, параллвльных действительной оси.
На каждой из них у глг соседние точки л', соответственно л", отстоят друг от друга на расстоянии 2я; при этом для каждой точхи л', лежа- -. , Г -зт!г! щей на прямой у = — !и!т ), имеется на другой прямой у = !и !т ! точка л", симметричная с л~ относительно начала координат (см. черт. 22, соответствующий случаю !т!ч,1). При ю -~ 1 кор- 1 низ и — уравнения(39) становятся рав- '(ерт 22 т ными ~1. Тогда обе прямые совмещаются с действительной осью и оба множества точэк л' и л" также совмещаются. Итак, уравнение (37) во всех случаях имеет решения и всегда множество решений является бесконечным. Отсюда следует, во-первых, что функция тв = соя л отображает конечную плоскость л на всю (конечную) плоскость ы, и, во-вторых, что каждая точка гя имеет бесконечное множество прообразов в плоскости л.
Отображение это является конформным во всех тачках, в которых (соя л)' = — з!ил+О, т. е. при лайк (я=0, -1-1, ~2,...). Заставим л описывать какую-либо прямую, параллельную одной из коор- динатных осей. Если это будет прямая я=с+!Г, параллельная мнимой 94 гл. ш. Блементлиные етнкции и конФОРмные ОтОБРАжения или, исключая параиетр 1(соз с+О и з!и с+О): цз оз — — — = !. совал з!пас (44) Мы получили уравнение гиперболы с полуосями ! соз с( и Рз!пс! и с фокусами в точках ~ !.
Не нужно думать, однако, что кривая й совпадает со всей втой гиперболой. Из параметрического представления (43) для й вытекает, что и сохраняет все время один и тот же знак, одинаковый со знаком соз с, тогда как о монотонно н непрерывно меняется от — со до + со (или обратно). Отсюда следует, что кривая й совпадает только с одной из двух ветвей Черт. 23.
гиперболы (43), а именно с правой ветвью, если соз с)0, или с левой ветвью, если созе(0. На правой половине черт. 23 представлены образы трех прямых плоскости ж ! (х= л), П (л = — 1! и П! ~я=с, где — (с(2и). Зи1 / Зи 21 2 Отображение прямой я= с+11 на соответствующую ветвь является при атом взаимно однозначным, и каждая из двух полупрямых, на которые наша прямая разделяется. действительной осью, взаимно однозначно отображается на одну из полуветвей, ка которые ветвь гиперболы разделяется в вершине. Пусть теперь л описывает прямую 1':л =1+ 1с', параллельную действительной оси.
Образом ее будет кривая Ы ы= соя л а соя 1сЛ сг — 1 3!П1зис~. оси, то образом ее будет кривая ул ш=созл=соя с сйг — 1з!псзЛ1 (см. первую из формул (33)). При с = яи получаем ш = соз Ди сЛ1= ( — !)Л сЛ1 ( — сс>С1~,+Ос), т. е. ш дважды описывает часть л ~ ! действительной оси при я четном и и ~ — 1 при Ф нечетном. При с = (2й — !) — получаем 2 ш =( — !)а1зйй т. е. ш описывает однократно всю мнимую ось в направлении возрастания и при й четном и в направлении убывания и при Д нечетном. и Пусть теперь с~а — (ни для какого целого т).
Перепишем уравнение 2 кривой й в виде и сов с ° сЛ1, о — з!пс ° БЛ1 ( — ООС1(со) (43) 15. пэодолжянив 95 При с'=0 р есть действительная ось и А' имеет уравнение в = сов с ( — оо(гк, +со); следовательно, в описывает бесконечно много раз отрезок — 1~и К',1 действительной оси, причем каждому отрезку прямой Р длины 2п соответствует двукратный обход указанного отрезка. Пусть с'+О; тогда переписываем уравнение кривой ьт в виде и=созтсйс~, о= — э!пгэйс' ( — соч, гч, оо) (45) и, исключая параметр г(ей сс ьО, гас'ФО), получаем: иэ оэ. сйэ с' эпэ с' + — =1 (45) Это — уравнение эллипса с поЛуосями сй с' и )з!те'1 и фокусами в точках ~ 1.
Из параметрического представления (45) кривой ьт вытекает, что точка в бесконечное мнохй ство раз пробегает эллипс ц одном и том же направлении, причем каждый пробег соответствует перемещению точки е по прямой е = г + гс' на расстояние, равное 2п (черт. 24, где на правой половине представлены образы двух прямых плоскости ж! (у = 0) и П (у = счЬО)). Черт. 24.
Итак, отображение в созе переводит ортогональную сетку прямых, параллельных координатным осям, э сетку эллинсоэ и гииербол с обя(ими фокусами ~!. Так как отображение является конформным во всех точках плоскости е, исключая точки вида е = Ля (й = О, ~ 1. ~ 2,...) (образами которых как раэ к являются указанные фокусы), то сетка конфокальных эллипсов и гипербол также должна быть ортогональной. С этим выводом мы уже встречались в п.
10. 15. Продолжение. Возьмем э плоскости е область я, которая отображалась бы посредством функции в соз е взаимно однозначно на соответствующую область плоскости в. Выбор такой области можно произвести многими способами. Нужно лишь позаботиться о том, чтобы ей не принадлежали два прообраза одной и той же точки в. Выберем, например, в качестве е полуполосу шириной и(0(5~2п), параллельную мнимой оси, с основанием, расположенным на действительной оси (черт. 25). Очевидно, она удовлетворяет поставленным условиям. Действительно, если для какой- либо точки еэЕ», сойка вь, то все другие прообразы точки вэ в плоскости е должны, как мы уже знаем (стр. 93), располагаться в одной своей части на прямой, параллельной действительной оси, проходящей через точку еэ, а в другой части — на прямой, симметричной с первой относительно действительной оси.
Но прообразы, расположенные на первой прямой, отстоят от точки еэ на расстояния, кратные2п; так как ширина полуполосыиебольше, чем 2я, то ни один нз них не попадет ни внутрь полуполосы, ни на ее границу. Вторая же прямая вообще не имеет общих точек с полуполосой. Итак, функция в = соэ е отображает область я взаимно однозначно и конформно на некоторое множество точек плоскости в. Чтобы построить это множество, заставим точку е описывать границу 1 области я так, чтобы она последовательно и непрерывно пробегала сначала 96 гл. нн элкмкнтлвнык егнкцин и конеогмныв отовгажяния сторону 1 полуполосы, затем основание П и, наконец, другую сторону Ш полу= полосы.
Точка ш = срз л опишет при этом также последовательно и непрерывно полуветвь (У) одной гиперболы, затем пройдет часть (1У) кривой, являюпгейся образом действительной оси и изображаемой отрезком — 1 ~ и ( 1, о = О (так как основание полуполосы не длиннее, чем 2и, то ш обойдет последний отпезок не более чем двукратно), и, наионец, пройдет еще одну полуветвь (Ш ) некоторой гиперболы. Черт. 25. Полученный нами в плоскости ш полный образ границы области и— обозначим его Р— делит плоскость на две области; мы утверждаем, что одна из них есть искомый образ с( области л (см.
п. 4 главы 1). Укажем два общих приема, с помогцью которых можно установить, каиая именно( из найденных областей является образом области и. Первый прием, применявшийся в п. 5 этой главы, заключается в том, что берут какую-нибудь точку ла5д и отмечают ее образ шэ= сов лэ. Этот образ не может принадлежать контуру Г, так как иначе один из прообразов точки шэ принадлежал бы области л, а другой — границе Т этой области, что, как мы видели, невозможно. Следовательно, точка тяэ попадет в одну из указанных выше областей. Эта область и будет искомой.
другой привм, применявшийся в-.п. 7 этой главы, заключается в том, что мы отмечаем направление обхода границы т области л. Это можно сделать, например, вообразив наблюдателя, перемещающегося вдоль границы области л вместе с точкой л и замечающего, с какой стороны от него находится внутренность области. При обходе, принятом на нашем чертеже, область л остается, очевидно, слева от наблюдателя. Заставим теперь того же наблюдателя перемещаться по Г вместе с точкой ш = созж Тогда он должен будет увидеть образ области л с той же стороны, т. е.
в нашем примере слева от себя. Заметим в заключение, что вид области г( будет вообще меняться вместе с изменением расположения и ширины полуполосы 'д. На черт. 26 мы изобразили случай, встречающийся, когда основание полуполосы принадлежит одному из интервалов вида (Ак, (А + 1)и). Случай же, представленный на черт. 25 и характеризующийся тем, что основание полосы как бы переламывается в результате отображения в точке ш 1 или ш = — 1, встречается, когда основание полуполосы содержит внутри точку аида дк. В качестве упражнения предлагаем читателю изучить отображение полосы О ( к с, и посредством функции ш = соз л, рассматривая это ото- !б.
однознлчныв ввтви многознлчных эвикций 97 бражеиие как совокупность последовательно выполненных одно зв другим отображений ет = йп еа = е ', ю = еа = — ~лз + — в) . 2 ~ евГ' В результате читатель должеи будет получить, что ю = соз л отображает Черт. 26. указанную полосу взаимно однозначно и конформио ив область плоскости тв, ограниченную бесконечным отрезком действительной оси, соединяющим точки — 1 и 1 через бесконечно удаленную точку. 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
