А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В силу Черт. 19. й сказанного в п. 3 зта функция отображает угол раствора — (О с,. й ~ 2я) с вер- и шиной в точке А„( — и, 0),ограниченный частью действительной оси х~ — и й (у=0) и лучом Агд(л+н)= — +2йи, на угол раствора Ь с вершиной Черт. 20. в начале координат, ограниченный лучами Асям =0 и Агиш =Ь+2глк (чевт. 20). Если л стремится к бесконечности, то вершина А„удаляется в бесконечность вдоль отрицательной части действительной оси и длина й отрезка ОВ„стремится к пределу Иш н !и — = Ь так, что предельное в+ а» См. А. И.
М ар к уше вич, Элементы теории аналитических функций Учпедгиз, 1944, стр. 106 — (07. 88 Гл. н!. элементАРные Функции и конФОРмные ОтОБРАжения положение луча А„В„есть прямая у = д, огрзничнва!Ощая вместе с действительной осью полосу шириной д. Прн этом очевидно, что предельным положением для лучей, выходящих из вершины угла, будут прямые, параллельные действительной осн, а предельными положениями для дуг окружностей с центром в точке А„— отрезки прямых, перпендикулярных к действительной оси, заключенные внутри полосы.
Мы видим, что картина отображения посредством показательной функции может быть получена из соответствующей картины отображения посредством степенной функции при помощи наллежащего предельного перехода. 13. Тригонометрические функции. Перейдем к определению синуса и косинуса комплексного аргумента. Из формул ехр(1х)=соах+1апх и ехр( — 1х)=созх — 1лйпх получаем известные формулы Эйлера соа х = ехр (1х) + ехр ( — 1л) з1пх= ехр (1х) — ехр ( — 1х) 21 справедливые, таким образом.
при любом действительном х. Так как правые части этих формул определены при любом комплексном г (я~со) и являются, очевидно, аналитическими функциями от з, то мы имеем здесь две целые функции от Рл ехр (1л) + ехр ( — 1л) ехр (1л) — ехр ( — 1л) 2 21 принимающие при действительных значениях л = х действительные значения, совпадающие соответственно с соах и з1пх.
Естественно, что, по определению, первую из них обозначают созл, вторую — з!из и называют основными тригонометрическими функциями— косинусом и синусом гп соя г= ехр (1л) + ехр ( — 1л) . ехр (1г) — ехр ( — 1г) 2 , жил= 21 (25) Формулы(2б) называются формулами Эйлера. Формулой Эйлера называется также и формула, получающаяся путем умножения обеих частей второй формулы на 1 и почленного сложения с первой формулой (26) ехр(1г) =созл+1апг Из формул (25) непосредственно вытекает, что сов г — ч е т н а я, а з(пз — нечетная функции: сОЕ( — л) =соя(я), яп( — л) = — 5!па.
(2У) Из тех же формул (25) следует, что соаз и з!Ег обладают периодом 2я (так как при изменении л на 2я аргументы показательных функций в правых частях формул изменяются на - 2е1 †величины периодов показательной функции). Покажем, что 2я является 89 13. твигономвтвическиз евнкции основным периодом функций созг и 5!Пг. В самом деле, если и есть период функции созг, то сов(г+ в) = сонг, и при г = — получаем: ~м( + — ) =0. Но отсюда следует, что еХР ~! (и + 2)~+ ехр ~ — ! (м + 2)) = О, или ехр 11(2м+л)) = — 1. Следовательно, по формуле (24) !(2а+л)=!п/ — 1!+!Атд( — 1) =!(л+2йл), т, е. м= ил, и так как сов в = СОЯ О = 1, то 7$ есть четное число и Подобным же образом устанавливаем, что 2л является основным периодом функции Яшг.
Перейдем к выводу теорем сложения для функций созг н 5!и г, т. е. к отысканию соотношений между соз(г, + г,) и 5!П(г,+га), с одной стороны, и созг,, созг,, 5!пг, и апгз, с другой стороны (г, и гз — произвольные комплексные числа). Мы получим требуемые соотношения как следствия из теоремы сложения для показательной функции. Заменяя в формуле (26) г суммой г,+г,, находим: сов(г +гз)+!51п(г +гз) = ехр(!($1+гз)) = ехр (!г1) ехр(зга)— =(сОБг, + ! 51п г )(созгз+! Б1п гв) или, выполняя умножение: соз (гз + гз) + ! $!и ($1 + гз) = = (с0$ гс с0$ гз — 51п $$5!п гз)+ ! (5!и г~ соз гз+ сов г1 51п гз).
Если сюда подставить — г, и — гз вместо г, и гз н воспользоваться соотношениями (27), то потучим: соз(г,+г,) — 15!п(г,+гз) = (СОБ г1 СОБ гз — 51П гз 51П гз) — ! (51П г1 СОЯ гз + СОБ г| Б!П гз). Складывая и вычитая почленно две последние формулы, найдем: соз(г, + «,) = соз г, соз гз — 5!и г, 5!и г,, $!П ($1-+ гз) = 51П г1 СОЯ гз+ СОЯ г1 51П гз, (28) 90 гл. П1. элвмзнтлвныз ехнкции и конеогмныв отовглжвния Эти формулы являются основными в теории тригонометрических функций.
В частности, в них содержатся так называемые «формулы приведения аргумента». Действительно, полагая в формулах (28) 51 = г и $$ = †, получаем: 2' «1 « .. « с0$ (я+ — ) = соя х с0$ — — 51п х 5!п — = — 51п а, 2) 2 2 51п (х + — = 51п х с0$ — + соз х 5! и — = с0$ я. 2) 2 2 При 51=я и х, =к находим другую пару формул приведения: соя(х + я) = — сова, 51 п (г -[- я) = — 5!и л ит. п.
Полагая в первой из формул (28) $1= я и $5= — я, находим следующее соотношение между 51пх и созг: ! = созе 5+ 5!па г. (29) Мы видим. что все известные из тригонометрии соотношения между тригонометрическими функциями действительного аргумента сохраняются и в комплексной области. Однако из формулы (29) нельзя ааключать, что [сояя[(1 и !5!их[(1, так как совал и 51пвг не является, вообще говоря, действительными неотрицательными числами. С тригонометрическими функциями 5!па и сояг тесно связаны гиперболические функции ейг и $11л, определяемые посредством формул С11$= ехр л+ ехр ( — а) При г=х действительном эти функции, очевидно, принимают действительные значения и совпадают тогда с известными из анализа функциями СЬх и 5!1х.
Первая из них (четная) убывает на полу- интервале — оо ( х (О от со до единицы и затем возрастает от единицы до оо на полуинтервале О ( х ( оо; вторая (нечетная) возрастает на всем бесконечном интервале — оо ( х ( + оо от †до +со, обращаясь в нуль при х= О.
Из сравнения формул (30) с формулами (23) следует, что между тригонометрическими и гиперболическими функциями существуют следующие соотношения: с!1 $ = соз(1л), ай г = — ! 5!и (Ех). (31) Отсюда, в частности, вытекает, что с[15 5 — айва х = [соя(!$)! + [5!п (!$)1~ 1. (32) 91 13. тгигономвтгичяскии егнкции Определим действительные и мнимые части, а также модули функций сове и в!пх. Полагая в=х+!у, получаем по формулам (28) и (30): соя(х+ !у)=сов х соя(!у) — в!их я!п(Еу)=сов х сЬу — !з!их вЬу,~ в!п(х+!у)=в1пхсов(!у)+соя хяп(Ку)=в!пхсйу+! сов хвйу) ~(ЗЗ) Отсюда ке сов (х+ !у) = соя х сЬу, !т сов(х+ !у) = — в!п х вЬ у, Ке яп (х + !у) = в!и х сЬ у, !т в1 п (х+ !у) = соя х вЬ у. (34) Для модулей функций сове и я!пх получаем следующие выражения: ~сове! = 3/(сов хспу)ь+(в!их вЬу)'= = Tсйву(1 — йпв х)+ яп' х зЬ'у = ф"спьу — в!пв х ~н.*~-~ Ру+вв' . и ~ соя х ! УсЬьу — япь х, ! в1п х ~ = 1/ айву+ в!пв х.
(35) Отсюда следуют неравенства сЬ у )~ ~ соя х ! )~ у' ей ау — 1 = ! вЬ у ~, )Г вЬв у+ 1 = сЬ у )~ ~ в!п х ~ ~~ ~ вй у !. (Зб) ч х (2Ф вЂ” 1) — для уравнения сове=О 2 для уравнения в!их = О. ь) Чертеж заимствован ив еТаблиц фуикцийь Янке н Эмде, Гостехиэдат, 1943. Мы видим, что модули функций сов х и вп х бесконечно возрастают вместе с !у~ по мере удаления от действительной оси, причем это возрастание происходит ие быстрее возрастания сЬу и не медленнее возрастания вйу. На черт. 21 представлена поверхность и=!в!пх~, так называемый рельеф синуса ").
Так как вйу+О при учьО. то иа неравенств (Зб) вытекает, далее, что сове и впх не могут обращаться в нуль ане действительной оси, т. е. чао уравнения сове=О или в1пх=О не имеют мнимых корней. Следовательно, все корни этих уравнений сводятся к известным иа тригонометрии: д2 л. нь влементлвные ехнкции и конеогмные отовглжения гл. нь Отметим еШе формулы для производных от тригонометрических и гиперболических функций ехр(!г) + ехр ( — !г)1!' ехр (!г) — ехр ( — !г) (сов г)'— 2 ) 2 (апг)'=сове, (сйг)'=вЬ'г, (вйг)'=ей'г.
Вслед за функциями в1пг и совы могут быть определены и изу- Черт. 21. чены и другие тригонометрические функции комплексного аргумента: а!аг сова 1 1 !яг= —, с!я г= —, весе= —, сасг= —. соа г а!п г сов г а!п г 14. Геометрическое поведение. Займемся изучением геометрического поведения тригонометрических функций. При атом мы можеы ограничиться изучением отображения тя = соя г, так кая отображение тя = а!я г может быть представлено в виде иl = — соя я+в 2 и, следовательно, сводится к сдвигу г! = г + — плоскости в направлении 2 действительной оси, отобра!кению га = сов гт, и, наконец, повороту всей плоскости относительно начала координат на угол, равный я: тя = — га. )4.
гкомвтгичнсков повкдкннв Рассмотрим сначала прообразы точки ш при отображении м соз з, т. е. корни уравнения гя = соз л, (37) где тв — произвольбое комплексное число, отличное от со, Заменяя соз л по формуле Зйлера (25) и полагая для краткости ехр(!л) = Г, получим для определения Г уравнение г+ г-т 2 или Гз — 2гв1 + 1 = О, (39) откуда Г = ю + Рггв~ — 1 (/ = 1, 2) (40) (мы не ставим перед квадратным корнем двойного знака, так как этот корень сам по себе имеет два значения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
