А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Следовательно, множества значений та= Л(г), принимаемые во внутренности или во внешности единичного круга, должны быть одинаковыми. Чтобы исследовать отображение тв = Л (з) подробнее, найдем образы окружностей )а~=/ и радиусов А/да=к+2йе (черт. 14). При этом мы можем ограничиться, например, внутренностью единичного круга (л)(1. Положим 1О, Функция жуковского 77 Отсюда, исключая параметр г, получаем: + — 1 119) Это — уравнение эллипса с полуосями а = — ~ — +г) и Ь= — ~ — — г) и фокусами -+-1.
Из формулы (18) следует, что когда ! непрерывно Черт. !4. возрастает от нуля до 2я (т. е. точка г описывает однократно в положительном направлении всю окружность ( г ~ = г), соответствующая точка описывает однократно в отрицательном направлении весь эллипс 119). В самом деле, при О (г ( — и положительно и убывает от а до О, а о отрицательно и убывает от 0 до — д; при 2 —" ( ! ( к и продолжает убывать от 0 до — а, а о возрастает от — Ь Зк до 0; при я ( Г ( — и возрастает от — а до О, а о возрастает 2 Зп от 0 до д; наконец, при — ( г ( 2п и возрастает от 0 до а, а о 2 убывает от Ь до О.
Меняя 'радиус г окружности )а(=г от 0 до 1, мы заставим а убывать от со до 1 и д убывать от со до 0; соответствующие эллипсы пробегут всю совокупность эллипсов плоскости ш с фокусами:"-1. Отсюда следует, что та = 1;(г) отображает единичный круг взаимно однозначно на область О, представляющую внешность отрезка действительной оси Г: — 1 ( х ( 1. При этом образом центра единичного круга является бесконечно удаленная точка, а образом единичной окружности †(дважды пробегаемый) отрезок Г. 78 Гл. и!. элементАРные Функции и конФОРмные ОтОЕРАжения Для образа радиуса в= 1!сова+!а!Иа) (О (1 ( 1) получаем сначала уравнение 1 !'! .1!! м = — ! — + г) с0$ и — ! — ~ — — г) 5!и и 2!г ) 2 !г или и= — ! — +Г)сова, О= — 2 ~ — — Г)з!На (О <Г(1).
!20) Это — бесконечный полуинтервал действительной оси: 1 ( и ( со. Симметричный с ним интервал — со ( и ( — 1 является образом радиуса, соответствующего а = и. а При и= — имеем. 2 и = О, О = — ~ ( — — «) (О ( Г ( 1). Это — мнимая полуось: — оо <О( О. Другйя мнимая полуось О ( (о <со является образом радиуса, соответствующего а= — ' Итак, образом «горизонтального» диаметра единичной окружности является бесконечный интервал действительной оси, идущий от точки — 1 к точке + 1 через со, а образом «вертикального» диаметра является вся мни)аая ось, за исключением начала координат (и со включением бесконечно удаленной точки).
Пусть теперь 0 < а < — . Тогда, исключая из уравнений 120) 2' параметр Г, получаем: из цз — — — = 1. СОЗЕ а ЫПЗ а (21) Это — уравнение гиперболы с действительной полуосью а=сова, мнимой полуосью б=з!пп и с фокусами -1. Однако точка тп не описывает этой гиперболы полностью, когда точка я описывает весь радиус г = Г(сов а+ ! и!и а) 10 ( Г ( 1). Действительно, из урав- Отсюда видно, что образы двух радиусов, симметричных относителыю действительной оси !если один из них соответствует углу «, то другой соответствует углу — а), также симметричны относительно действительной оси, а образы двух радиусов, симметричных относительно мнимой оси (если один из них соответствует углу п, то другой соответствует углу и — п), симметричны относительно мнимой оси. Поэтому достаточно рассмотреть лишь образы радиусов, принадлежащих, например, первому квадранту: 0 ( а < †.
Заметим, что при а — 0 имеем: и= — ! — +Г), О=О (О (Г(1). 1 /! 2Ь Ф 10. ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО 79 пений (20) следует, что прн возрастании г от нуля до единицы и убывает от со до сова, а о возрастает от — со до нуля. Следовательно, точка описывает однократно лишь четвертую часть всей гиперболы, принадлежащую четвертому квадранту. В силу замеченного выше четверть, принадлежащая первому квадранту, т.
е. симметричная с данной относительно действительной оси, будет образом радиуса, симметричного с данным радиусом относительно действительной оси„т. е. радиуса, соответствующего углу — а. Но было бы неправильно сказать, что вся ветвь гиперболы, проходящая в первом и четвертом квадрантах, является образом пары указанных радиусов. Действительно, вершина гиперболы и = а, о = 0 не принадлежит этому образу (не забудем, что наши радиусы берутся без их конечных точек, а вершина гиперболы есть образ каждой из этих точек: С= 1).
Далее получаем, что образами радиусов, соответствующих углам я — а и а+и (или а — к), будут четверти той же гиперболы, расположенные в третьем и втором квадрантах. Полная гипербола, за исключением своих двух вершин, является образом четверки радиусов: ьа, я -а. Заметим, что образом каждого из двух диаметров, составленных из этих радиусов, будет часть гиперболы, составленная из пары ее симметричных относительно начала координат четвертей, связанных между собой в бесконечно удаленной точке. 1/ 1Л Итак, функиия чв = Л («) = — 1«+ — ! отображает взаимно 2(, г! однозначно как внутренность, таки внешность единичного круга на внешность отрезка — 1(и(+1 (действительной оси). При этом окружности («~ = т отображаются на эллипсы ! 11 с фокусами -+-1 и полуосями: — ~ — -Г ~, а пары диаметров,сим- 2~с метричных относительно координатных осей (составленных из радиусов «=-+-т(сова + Ез)па) (0(т(1)), отображаются на гиперболы с фокусами -~-1 и полуосями ~сова!, /В1яа! с исключением вершин этих гипербол.
Так как производная нашей функции (? 2( гз) отлична от нуля при «+ -1, то отображение является конформным во всех точках рассматриваемых областей (внутренность и внешность единичного круга). Отсюда следует, что гиперболы пересекают эллипсы под теми же углами, под которыми радиусы пересекают окружности, т. е. под прямыми. Рассмотрим еще образы окружностей, проходящих через точки ~1. Из равенства 1с 1л Гв = — ~г+ — ! Л (г) 2 2 80 гл. ш. элвмвнтьгнып схнкции и конеовмныи Отопглжкния иолучаетс гз — 2г+ в — 1= 2г откуда 1 (г — 1)з за+ 2г+ 1 (г+ 1)э это уравнение эквивалентно заданному.
Полагая найдем, что отображение в = Х(г) можно заменить Легко видеть, что г — 1 в — 1 г+1 в+! — =г' и — = в' следующим: й+!' в+1 (22) Первое из иих переводит окружности, проходящие через точки +. 1, в прямые, проходящие через начало координат, второе преобразует каждую из этих прямых в луч, выходящий из начала координат, и, наконец, последнее отображает каждый нз этих лучей на дугу окружности, соединяющую точки ~1. Из формул (22) легко'видеть, что если угол между окружностью и положительным направлением действительной'оси в точке г'= 1 был равен 6, то угол в точке в = 1 между ее образом (дугой окружности) и положительным направлением действительной оси будет равен 26 (черт.
15). Черт. 15. Итак, функция в = Х(г) отображает каждую окружность у, проходящую через точки ~1 и составляющую в точке ! угол 6 с положительным напра. влением действительной оси, на лугу 5 окружности, проходящей через точки ~1 и составляющей угол 26 с положительным направлением действи. тельной оси. Те же формулы (22) показывают, что при этом каждая из двух дуг т с концами ~1 в отдельности отображается на одну и ту же дугу ь.
Заметим, что внешность окружности т при первом из отображений (22) преобразуется в полуплоскостзь при втором из отображений (22) мы получаем область, ограниченную прямолинейным лучом, выходящим из начала координат, н, наконец, при третьем отображении — область, границей которой служит дуга 6. Так как все зтн отображения являются взаимно однозначными в соответствующих областях, то и функция в ='ь(г) дает взаимно однозначное конформное отображение внешности окружности 1 (а также и внутренности зтои окружности) на область, границей которой является дуга окружности 6, соединяющая точки ~1.
Полезно заметить, что функция 'в=).(г) отображает полукруг й;. )г~ с. 1, находящийся в верхней полуплоскостн, на нижнюю полу- плоскость в, а полукруг Йз, находящийся в нижней полуплоскости,— 1!. опгвдвлвнив поккзлтвльной еункции 81 на верхнюю полуплоскость ш.
Но в силу соотношения Л(г)= Л! — у! /!ь Лх) функция принимает в точках полукруга лк те же значения, что и в точках верхней полуплоскости, внешних к полукругу йо Если мы обозначим множество последних точек через К, (черт. !б), то можно будет утверждать, что образом области К, также является верхняя полуплоскость. Учтем, наконец, что образом полуокружности, Черт.
18. разделяющей л, и Ка, служит однократно пробегаемый отрезок — ! ( и (1, Отсюда следует, что образ верхней полуплоскости при отображении то=Л(г) состоит нз верхней и нижней полуплоскостей и из отрезка действительной оси: — 1 ( и ( 1, т. е. зто есть вся плоскость, за исключением бесконечного отрезка действительной оси, соединяющего точки — 1 и + 1 через бесконечно удаленную точку. 11. Определение показательной функции. Покааательную функцию е* действительного переменного х можно определить каа"решение дифференциального уравнения — =у, удовлетворяющее начальному еух условию у(0)=1. Поставим целью найти аналитическую функцию ,у'(л) =и(х у)+!о(х, у), удовлетворяющую аналогичным условиям Ф вЂ” = У и У(0), а(0, О)+!о(0, 0)=1.
ау дк до до ди Так как — = — + ! — = — †! — , то наше дифференциальное Ж дх дх ду ду ' уравнение принимает вид ди до до ди — +1 — = — — ! — =и+го, дх дх ду ду откуда ди до до ди — — — =и, — = — — — и дх ду ' дх ду ди . Из уравнения — ='и н начального условия и(0, О) 1 находим: дх и(х, у) = е 'Л(у); где Л(у) — дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию Л(0)=1. Аналогично из уравнения о- — — о и до дх б Звк. !ббб. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
