А.И. Маркушевич - Краткий курс теории аналитических функций (1118157), страница 12
Текст из файла (страница 12)
б4 гл. ш. элементленые егнкции и конеогмные отовглження Итак, при отображении чв = Р„(г) все углы с вершинами г в точках, в которых производная Р„(г) обращается в нуль, изменяются, а именно увеличиваютея в число раз, равное кратности соответствующего корня уравнения Р„(г) — Р„(гь) = О. 1 Используя преобразование ч = †, читатель легко убедится в том, что при и ) 1 конформность отображения нарушается также и в бесконечно удаленной точке. А именно углы с вершиной в бесконечно удаленной точке нри отображении ш = Р„(г) увеличиваются в и раз. 3.
Отображение вида ти = (г — а)". Рассмотрим, в частности, отображение вида тв =(г — а)" (и > 1). Оно отображает расширенную плоскость самое на себя так, что каждая точка ш имеет и прообразов в плоскости г. Исключение представляют точки тв = 0 и тв = оо, для которых прообразы сливаются в одну точку: а и оо соответственно.
Прообразы-г(Фа, +со) определяются из уравнения тв = (г — а)", так что г = а + ф тес= а + г' ~ы ~соз — + 1 51п — ) . + и и Очевидно, эти и точек располагаются в вершинах правильного и-угольника с центром в а. Отображение тв =(г — а)" является конформным во всех точках, за исключением точек г=а и я=со. Углы с вершинами в двух последних точках увеличиваются при данном отображении в и раз. Для того чтобы получить более отчетливое представление об этом отображении, заметим, что ! ш ! = 1г — а 1" и Аге'чв = и Ага(г — а).
Отсюда следует, что каждая окружность радиуса г с центром в точке я= а отображается на окру)кность радиуса г" с центром в точке тв = О. Если при этом точка г пробегает окружность 1г — а~ =г один раз в положительном направлении (т. е. Аге(г — а), непрерывно возрастая, увеличивается на 2к), то точка ш пробегает окружность 1ш(=г" в том же направлении и раз (т. е. Аге.чв, непрерывно возрастая, увеличивается на 2кп).
Заставим теперь точку г пробегать прямолинейный луч Агд(г — а)= ус+21гя от точки а до бесконечности. Наши формулы показывают, что соответствующая точка тв будет пробегать при этом прямолинейный луч Аге та= =пчьс+2тк от начала координат до бесконечности. Рассмотрим область д, представляющую внутренность угла рас2п тсораб, О(0~ —, с вершиной в точке а. Пусть этот угол огра- и ' 3. отозтьжвнив вида те =(г — а)" ничен прямолинейными лучами Агд (г — а) = грв+ 2йя Агя(г — а) = грг+ 2тп (р, — р.-О). Из сказанного следует, что образом области я в плоскости го является область й, представляющая угол раствора п0 с вершиной в начале координат, ограниченный прямолинейными лучами (черт. 10).
Соответ- Черт. 10. стане между й и й, устанавливаемое посредством функции тв = (» — а)", будет взаимно однозначным. Действительно, так как функция гэ=(г — а)" однозначна, то, чтобы проверить это утверждение, достаточно установить. что каждая точка гв из области й имеет лишь один прообраз в области й. Для этого заметим, что все и прообразов точки го располагаются в плоскости я в вершинах правильного и-угольника с центром в а, так что два из них могли бы попасть внутрь некоторого угла с вершиной в а лишь в том случае, когда раствор угла 2к 2я' больше чем †.
Но раствор угла й не превышает —, следовательно, и ' и углу й принадлежит лишь по одному прообразу каждой точки из а', чем и заканчивается доказательство нашего утверждения. Итак. функция го=(г — а)" отображает взаимно однозначно и конформно внутренность любого угла с прямолинейными сто- 2п ранами, вершиной в точке а и раствором О, О ( 0 ( —, на внутренность соответствуюигего угла также с прямолинейными сторонами, вершиной в начале координат и раствором п0.
Поэтому к рассматриваемой функции прибегают каждый раз, когда нужно отобразить один угол с,прямолинейными сторонами на другой угол, в несколько раз больший. Разумеется, было бы ошибочным думать, что при отображении ю = (г — а)" (и ) 1) всякая вообще прямая преобразуется в прямую, 56 гл. ш. злвмвнтлгныв етнкции и конеогмныв отовглжвния а всякая окружность — в окружность, Положим, например, а = О и и = 2. Тогда получим функцию пс = ле„ Рассмотрим, во что преобразуются посредством функции те = я' прямые, ие проходящие через начало и параллельные одной из координатных осей. Возьмем, например, прямую, параллельную мнимой оси: г = с+ сг, стыд, — оо ( с ( + со, В качестве образа получим линию пс = 1с + сй)з, или, полагая ш = и +Ы и отделяя действительные и мнимые части: и=с' — Р о=2сг 1 — со ( г ( + со).
Это и суть уравнения преобразованной линии, представленные в декартовых координатах в параметрической форме, Если исключить отсюда параметр г, то получим: па = 4с'1сз — и). Это --уравнение. параболы с осью, направленной по действительной оси в отрицательную сторону, с фокусом в начале координат Черт. 11. и с параметром р= 2с'. Совершенно так же обнаружим, что каждая прямая, параллельная действительной оси г = С +се', преобразуется в параболу о' = 4с' 1и+ с' ) с осью, направленной по действительной оси в полонсительную сторону, с фокусом в начале координат и с параметром р' = 2с'е. Итак, два семейства прямых, параллельных координатным осям, отображаютсп посредством функции тв = г' в два семейства 4.
гггпповыя свойствк дговно-линзйных пггозвлзовлний 57 будем рассматривать как одинаковые тогда и только тогда, когда ь!(г) ж !'.з(г) при всех значениях г. Для этого достаточно, чтобы соответствующие коэффициенты были пропорциональны между собой: аа —— Ла„ Ьз = ЛЬ„ ез = Ле„ йз = Лй! (Л чь 0). Этн же условия и необходимы. Действительно, если Ег(г) = Ез(з), то, в частности, 7-!(0) = ьз(0), (.г(1) = Ез(1) и Ег(со) = (.з(сю); это означает, что а! + Ь! аз + Ьз а! аз е! + й! ез + аз ' е, ез ! 2 парабол с общим фокусом в начале и с осями на дейслгвительной оси (черт.
11). Из того, что семейства прямых были взаимно 'ортогональны, а отображение конформное, вытекает, что и полученные семейства парабол взаимно ортогональны; это легко проверить и непосредственным подсчетом. Читатель должен помнить, конечно, что отображение всей плоскости г посредством функции ш = зз не является взаимно однозначным: каждая точка тв, отличная от нуля и от бесконечности, имеет два прообраза. В частности, прообразами параболы о' = 4сз(ее в и) являются две прямые, симметричные относительно мнимой оси! г = с+ 11 и з = — е+ 11; точно так же прообраайми параболы о' = 4с" (и+ с' ) являются две прямые, симметричные относительно действительной оси: г=1+1с' и г=1 — ге'.
Но если рассматривать только образ какой-нибудь полуплоскости а, ограниченной прямой, проходящей через начало координат (такая полуплоскость есть внутренность угла с вершиной в начале координат и раствором и), то по-предыдущему соответствие между 'и и ее образом а будет взаимно однозначным. й будет представлять здесь угол раствора 2п с вершиной в начале координат; обе стороны этого угла сливаются'"в один прямолинейный луч, выходящий из начала координат.
4. Групповые свойства дробно-линейных преобразований. В и. 10 главы П было показано, что дробно-линейная функция ае+ Ь в=1(е)=- —, для которой определитель ае( — Ье+-О, ег+й' взаимно однозначно и конформно отображает расширенную плоскость самое на себя. Изучим свойства этого отображения, называемого д р о б н о-л и н е й н ы и и являющегося наиболее простым и ча!це всего применяемым видом конформных отображений.
Мы будем изучать множество М всех дробно-линейн!4х отобра. женин (нлн преобразований) с определителями, отличными от нуля. Два отображения иге+ Ь! е,е+ й! 58 гл. иь элвмвнтлунын Функции и конфогмныв отовглжвния Подставляя Ьа = СЬ1Р Ьа= СЬзр аг=сЯ и аз= са~7 в среднее равенство, получим: С1с+ а,р сад+ пзр или (сфа — сас(г) ((7 — Р) = О.
аг Ь1 Но у+ р (иначе было бы — г= — ', т. е. аф,— Ь,с, =0 в противосг аг ' речии с предположением). Следовательно, сг сз аг пз ' Полученные соотношения можно переписать в виде аа Ьз са аа аа Ьа , са дг что и требовалось доказать. Из изложенного следует, что значение определителя дробно- линейного отображения само по себе не является характерным для этого отображения. В самом деле, при переходе от коэффициентов а„ Ь,, с, и с~, к коэффициентам Ла„ ЛЬ„ Лс, и Лс(, (Л чь 0) определитель помножается на Л'.
Но во всяком случае этот определитель, будучи отличным от нуля для каких-нибудь'значений коэффициентов, остается всегда отличным от нуля. Отображение У(г) =г, очевидно, принадлежащее множеству М, будем называть т о ж д еств енным или единичным отображением. Отображением, о б р а т н ы м по отношению к некоторому отображению г =Е(г) =— ал+ Ь сг+а ' мы назовем такое, при котором каждому г, в качестве образа ставится его прообраз г при данном отображении.
Обратным отображением служит: «сг — Ь г= — сг1+а' Мы будем обозначать отображение, обратное по отношению к Е, через Е Если г = Е(г) = — и г, = Е, (г,) =— ас+ Ь а1г,+Ьг сг+ а ссс1+ аа — два произвольных линейных отображения (Как всегда, с не равными нулю определителями). то отображение, получаемое, если выполнить 4. гггпповыи свойства дговно-линвйных пгвоввазовлний 59 их последовательно одно за другим в определенном порядке, пазы. вается яр о и з вед е н и ем данных отображений. Пусть мы производим сначала отображение г, =Л(г), а затем отображение ге= 1,1(г1). Тогда нх произведение обозначается через Е11.(г). Для него имеем: = 1(аа1+ сЬ,) г + (Ьа1 + 11Ь1)): 1(ас, + с!11) г+ (Ьс! + !Ы1)). Следовательно, гз =Л1Е(г) есть также дробно-линейное отображет!не; для его определителя получаем: (аа, + сЬ1) (Ьс, + сЫ1) — (Ьа, + йЬ1) (ас, + с!11) = = (ас( — Ьс)(а1а!1 — Ь,с,) ~ О.
Итак, отображение Е,Е(г) принадлежит множеству М. Очевидно, Ы '(г) =-1. '1.(г)= У(г). Заметим, что отображение г =!'.!'.1(г), получающееся, если сначала выполнить отображение г, = Ц (г), а затем отображение гз = Е(г1), вообще отличается от отображения 1.11'. (г). Так, например, если Е(г) = — и !'. (г)=— г г+1 г+1 ' г — 1' то Е1Е(г) = — 22 — 1. а Ы1(г) = г+1 Определенная нами операция умножения отображений ассоциа: тивна, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
